□ 楊明明

武漢鐵路職業(yè)技術(shù)學(xué)院 鐵道機(jī)車車輛學(xué)院 武漢 430205

1 研究背景

隨著鐵路運(yùn)輸?shù)娘w速發(fā)展和人民生活水平的不斷提高,人們對(duì)列車的運(yùn)行速度與舒適性提出了更高的要求,車輛運(yùn)行速度不斷提高所引起的振動(dòng)問(wèn)題同樣日益突出。車輛懸掛系統(tǒng)的性能直接影響車輛行駛的安全性與平穩(wěn)性,因此研究懸掛系統(tǒng)對(duì)車輛振動(dòng)特性的影響顯得尤為重要。筆者以簡(jiǎn)化的1/4車輛系統(tǒng)模型為研究對(duì)象,對(duì)單自由度車輛懸掛系統(tǒng)非線性振動(dòng)特性進(jìn)行研究。

2 單自由度車輛系統(tǒng)建模

以1/4車體為研究對(duì)象,建立單自由度車輛力學(xué)模型,如圖1所示。圖1中,m1為車體質(zhì)量,Fs為彈簧恢復(fù)力,Fd為垂向減振器阻尼力,z1為車體位移,x0為軌道不平順度激勵(lì)。

在這一系統(tǒng)中,懸掛的空氣彈簧與液壓阻尼器均為非線性,這一結(jié)論通過(guò)對(duì)空氣彈簧和液壓阻尼器的測(cè)試數(shù)據(jù)擬合得到。

彈簧恢復(fù)力Fs為:

(1)

Δx1=z1-x0

(2)

▲圖1 單身由度車輛力學(xué)模型

式中:k1、k2為彈簧剛度。

垂向減振器阻尼力Fd為:

(3)

(4)

式中:c1、c2為減振器阻尼系數(shù)。

3 Melnikov方法分析

系統(tǒng)參數(shù)中,m1為42.8 t,k1為1 300 kN/m,k2為5.25×106kN/m,c1為8.5(kN·s)/m,c2為-65.5(kN·s)/m,可以得到發(fā)生混沌的U形曲線,如圖2所示。

▲圖2 U形曲線

斯梅爾馬蹄對(duì)應(yīng)一個(gè)非常容易把握的混沌不變集,若一個(gè)二維離散動(dòng)力系統(tǒng)具有不會(huì)發(fā)生混沌的軌道不平度幅值閾值,則此系統(tǒng)會(huì)產(chǎn)生斯梅爾馬蹄現(xiàn)象。所謂Melnikov方法,即是尋找不會(huì)發(fā)生混沌的軌道不平度幅值閾值的方法。這一方法是一種對(duì)動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)進(jìn)行解析分析的較為成熟的方法。

U形曲線之上表示混沌區(qū)域,在此區(qū)域內(nèi)的參數(shù)可能會(huì)使系統(tǒng)發(fā)生斯梅爾馬蹄混沌不變集意義下的混沌。U形曲線之下表示非混沌區(qū)域,在此區(qū)域內(nèi)的參數(shù)不會(huì)使系統(tǒng)發(fā)生斯梅爾馬蹄混沌不變集意義下的混沌。系統(tǒng)發(fā)生斯梅爾馬蹄混沌不變集意義下的混沌時(shí),軌道不平度幅值的閾值為0.002 45 m。所以在設(shè)計(jì)懸掛系統(tǒng)時(shí),應(yīng)盡量選擇合適的參數(shù),使軌道不平度幅值的閾值盡可能大,這樣車輛在運(yùn)行過(guò)程中才不會(huì)發(fā)生混沌,從而保證乘客的乘坐安全性和舒適性。

系統(tǒng)發(fā)生混沌的軌道不平度幅值閾值受阻尼平方項(xiàng)影響較小,這是因?yàn)樵谝淮谓魄蠼膺^(guò)程中,其積分項(xiàng)為0。

當(dāng)k2與c1變化時(shí),U形曲線的變化分別如圖3、圖4所示。由圖3、圖4可知,當(dāng)軌道不平度幅值的閾值為定值時(shí),發(fā)生混沌的角速度有一個(gè)范圍,并且隨著軌道不平度幅值閾值的增大而增大。

▲圖3 k2變化時(shí)U形曲線

▲圖4 c1變化時(shí)U形曲線

在一定范圍內(nèi),當(dāng)k2增大時(shí),系統(tǒng)發(fā)生混沌的區(qū)域變大,這說(shuō)明系統(tǒng)發(fā)生混沌的可能性增大。在一定范圍內(nèi),當(dāng)c1增大時(shí),系統(tǒng)發(fā)生混沌的區(qū)域會(huì)變小,這說(shuō)明系統(tǒng)發(fā)生混沌的可能性減小。

4 仿真分析

當(dāng)角速度為10 rad/s時(shí),系統(tǒng)發(fā)生混沌時(shí)的軌道不平度幅值閾值必須大于0.002 45 m,為了驗(yàn)證這一結(jié)論的準(zhǔn)確性,進(jìn)行仿真。

當(dāng)軌道不平度幅值的閾值為0.002 m時(shí),車體振動(dòng)相圖如圖5所示。由圖5可以看到,相圖為一個(gè)穩(wěn)定的極限環(huán),Poincare映射為一點(diǎn),可以判定系統(tǒng)此時(shí)做周期運(yùn)動(dòng)。

▲圖5 軌道不平度幅值閾值為0.002 m時(shí)車體振動(dòng)相圖

當(dāng)軌道不平度幅值的閾值大于0.002 45 m時(shí),系統(tǒng)通過(guò)倍周期分岔的形式通向混沌。當(dāng)軌道不平度幅值的閾值為0.145 m時(shí),系統(tǒng)做單周期運(yùn)動(dòng),如圖6所示。當(dāng)軌道不平度幅值的閾值為0.165 m時(shí),系統(tǒng)做兩周期運(yùn)動(dòng),如圖7所示。當(dāng)軌道不平度幅值的閾值為0.171 m時(shí),系統(tǒng)做四周期運(yùn)動(dòng),如圖8所示。當(dāng)軌道不平度幅值的閾值為0.178 m時(shí),系統(tǒng)發(fā)生混沌,如圖9所示。

▲圖6 軌道不平度幅值閾值為0.145 m時(shí)車體振動(dòng)相圖

▲圖7 軌道不平度幅值閾值為0.165 m時(shí)車體振動(dòng)相圖

▲圖8 軌道不平度幅值閾值為0.171 m時(shí)車體振動(dòng)相圖

5 誤差原因

由仿真結(jié)果得到,系統(tǒng)直到軌道不平度幅值閾值為0.178 m時(shí)才發(fā)生混沌,與Melnikov方法得到的閾值大于0.002 45 m相比,相差過(guò)大,產(chǎn)生了誤差。

產(chǎn)生誤差的原因主要是,Melnikov方法求出的軌道不平度幅值閾值是發(fā)生混沌必要條件,而不是充分條件。系統(tǒng)要發(fā)生混沌,必須要滿足軌道不平度幅值閾值大于0.002 45 m,但是閾值大于0.002 45 m時(shí),并不一定會(huì)發(fā)生混沌。

▲圖9 軌道不平度幅值閾值為0.178 m時(shí)車體振動(dòng)相圖

Melnikov方法從本質(zhì)上說(shuō)是一種一階近似方法,在求解過(guò)程中,對(duì)系統(tǒng)參數(shù)有一些要求與限制,并且會(huì)有一定的誤差產(chǎn)生。