曾慶橋 ，張亮 ，劉萍 ，王哲 ，王鏈 ，趙良言 ，李治平

（1.中國石油華北油田分公司勘探開發(fā)研究院，河北 任丘 062552；2.成都北方石油勘探開發(fā)技術(shù)有限公司，四川 成都 610051；3.中國地質(zhì)大學(xué)（北京）能源學(xué)院，北京 100089；4.中國石油華北油田分公司第五采油廠，河北 辛集 052300）

0 引言

致密油藏作為重要的非常規(guī)油氣資源，常采用注水開發(fā)的方式進(jìn)行生產(chǎn)，因此，研究水驅(qū)注水井動(dòng)態(tài)裂縫對(duì)于合理、高效的配注和科學(xué)開發(fā)致密油藏有著至關(guān)重要的作用［1-4］。注水井動(dòng)態(tài)裂縫的研究主要有流線模型方法、數(shù)值模擬方法、現(xiàn)代試井方法等［5-10］，但是，對(duì)于定量分析注水井動(dòng)態(tài)裂縫，這些方法具有理論復(fù)雜、計(jì)算量大和所需測(cè)試數(shù)據(jù)多等不足［11-12］。而分析井間連通性對(duì)于研究注水井動(dòng)態(tài)裂縫具有簡潔快速的優(yōu)勢(shì)，常用的連通性模型主要包括Spearman相關(guān)分析模型［13］、人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（ANN）模型［14-15］、卡爾曼濾波法［16］、多 元 線 性 回 歸 模 型［17-18］、 容 阻 模 型 （CRM）［19-22］等 。Spearman模型計(jì)算過程簡單、易于求解，但相對(duì)理想化；ANN模型收斂速度較慢，操作過程比較復(fù)雜；卡爾曼濾波法和多元線性回歸模型都能夠反演井間關(guān)系和儲(chǔ)層特征，但不能考慮井底壓力變化對(duì)油田生產(chǎn)的影響；容阻模型既可以表征生產(chǎn)井對(duì)注水井信號(hào)響應(yīng)的延遲程度，又可以考慮變井底壓力生產(chǎn)的狀況［23-25］。因此，本研究采用容阻模型分析注水井動(dòng)態(tài)裂縫。

本文考慮的注水井動(dòng)態(tài)裂縫特征主要有裂縫半長、裂縫高度和裂縫導(dǎo)流系數(shù)。首先，通過抽取不同裂縫參數(shù)樣本，結(jié)合數(shù)值模擬器獲得注采井生產(chǎn)數(shù)據(jù)；然后，根據(jù)油藏容阻模型，獲得不同裂縫參數(shù)下的注采井井間連通系數(shù)，并建立裂縫參數(shù)與連通系數(shù)的關(guān)系代理模型；最后，將實(shí)際生產(chǎn)數(shù)據(jù)分階段進(jìn)行容阻模型擬合，得到不同階段連通系數(shù)，代入代理模型，獲得注水井裂縫動(dòng)態(tài)特征。

1 油藏容阻模型

1.1 容阻模型推導(dǎo)

油藏容阻模型中［26-30］，假設(shè)生產(chǎn)井有一個(gè)控制區(qū)域，每口注水井與每口生產(chǎn)井之間通過連通系數(shù)fij（i，j分別為注水井、生產(chǎn)井編號(hào)）來表征注水井的注水分配情況，也反映出注采井之間的連通關(guān)系（見圖1）。

圖1 油藏容阻模型示意

模型中，假設(shè)油藏系統(tǒng)主要為單相微可壓縮流體，生產(chǎn)井卸油區(qū)內(nèi)流體綜合壓縮系數(shù)可描述為

式中：ct為卸油區(qū)流體綜合壓縮系數(shù)，1/MPa；Vp為卸油區(qū)容積，m3；pˉ為卸油區(qū)平均壓力，MPa；t為生產(chǎn)時(shí)間，d。

對(duì)于生產(chǎn)井卸油區(qū)的封閉系統(tǒng)，系統(tǒng)中隨時(shí)間而積累的流體體積等于流入流體與流出流體體積的代數(shù)和，將式（1）中平均壓力項(xiàng)采用線性產(chǎn)能模型消除，得到：

式中：I為卸油區(qū)流入液量，m3/d；Q為卸油區(qū)流出液量（生產(chǎn)井產(chǎn)液量），m3/d；J 為生產(chǎn)井產(chǎn)液指數(shù)，m3/（d·MPa）；pwf為生產(chǎn)井井底流壓，MPa。

1.2 容阻模型離散化

為了將油藏開發(fā)各階段實(shí)際生產(chǎn)動(dòng)態(tài)數(shù)據(jù)代入油藏容阻模型進(jìn)行參數(shù)擬合，對(duì)式（4）進(jìn)行離散化處理。假設(shè)注入井Wi注入的流體中有一部分流向生產(chǎn)井Pj，Wi和Pj之間的連通系數(shù)為fij。忽略生產(chǎn)井井底流壓時(shí)，生產(chǎn)井Pj在第n個(gè)月末時(shí)的產(chǎn)液量Qjn為

式中：Qj1為生產(chǎn)井 Pj初期產(chǎn)液量，m3/d；tn，t1，tk分別為第n個(gè)月末、第1個(gè)月末、第k個(gè)時(shí)間步末對(duì)應(yīng)的時(shí)間，d；N為到第n個(gè)月末時(shí)總的時(shí)間步，d；Ni為總的注水井井?dāng)?shù)，口；Iik為注水井Wi在第k時(shí)間步的注水量，m3/d。

式中：Δpwf，jk為生產(chǎn)井Pj在第k個(gè)時(shí)間步的井底壓力壓降，MPa。

1.3 注采井井間連通系數(shù)求解

在已知生產(chǎn)井Pj的初始產(chǎn)量Qj1、產(chǎn)液指數(shù)Jj、時(shí)間常數(shù)τj以及各注采井井間連通系數(shù)fij時(shí)，結(jié)合各注水井注入量，可根據(jù)式（6）快速計(jì)算各生產(chǎn)井的產(chǎn)液量。本研究中，結(jié)合注采井各階段實(shí)際產(chǎn)液量和井底流壓數(shù)據(jù)，獲取注采井井間連通系數(shù)變化情況，以進(jìn)一步表征各階段井間裂縫變化情況。

2 致密油藏?cái)?shù)值模擬方法

為獲得水力壓裂后不同裂縫與井間連通系數(shù)的關(guān)系，利用不同裂縫配置下的致密油藏?cái)?shù)值模擬方法，得到不同裂縫下的注采井動(dòng)態(tài)生產(chǎn)數(shù)據(jù)。本研究數(shù)值模擬方法采用對(duì)裂縫表征較為精確的離散裂縫模型，獲得不同裂縫配置下的注采井生產(chǎn)數(shù)據(jù)。

2.1 考慮水力裂縫的致密油藏?cái)?shù)值模擬方法

考慮致密儲(chǔ)層非線性滲流特征、強(qiáng)應(yīng)力敏感特征及多組分多相流動(dòng)特征，描述基巖-裂縫系統(tǒng)流體傳導(dǎo)特征，參考文獻(xiàn)［31］以致密油藏滲流模型為基礎(chǔ)，建立了致密油基巖-裂縫流動(dòng)耦合數(shù)學(xué)模型。水力裂縫致密油藏?cái)?shù)值模擬質(zhì)量守恒方程中，考慮巖石和流體的可壓縮性，基于控制體積的流動(dòng)方程為

式中：Ω為積分控制單元體；φ為控制單元體儲(chǔ)層孔隙度；ρ為儲(chǔ)層流體的密度，kg/m3；v為儲(chǔ)層流體的滲流速度，m/s；q為控制單元體內(nèi)儲(chǔ)層流體的體積流量，m3/d；n為控制單元體外圍?Ω法向量；S，σ分別為曲面積分變量和體積分變量。

考慮致密油藏基質(zhì)啟動(dòng)壓力梯度以及基質(zhì)和裂縫應(yīng)力敏感效應(yīng)，得到基質(zhì)和裂縫中流體運(yùn)動(dòng)方程：

式中：vm，vF分別為基質(zhì)網(wǎng)格和裂縫網(wǎng)格滲流速度，m/s；下標(biāo)m，F(xiàn)分別為基質(zhì)網(wǎng)格和裂縫網(wǎng)格；Km0，KF0分別為基質(zhì)網(wǎng)格和裂縫網(wǎng)格初始滲透率，10-3μm2；αm，αF分別為基質(zhì)和裂縫的應(yīng)力敏感系數(shù)，MPa-1；p，p0分別為當(dāng)前壓力和原始?jí)毫Γ琈Pa；▽p為相鄰網(wǎng)格間壓力梯度，MPa/m；▽z為相鄰網(wǎng)格間重力方向高度梯度，m；ξ1，ξ2分別為啟動(dòng)壓力梯度項(xiàng)系數(shù)；μ為流體黏度，mPa·s；g為重力加速度，m/s2。

采用調(diào)和平均方法，計(jì)算基質(zhì)網(wǎng)格與基質(zhì)網(wǎng)格、基質(zhì)網(wǎng)格與裂縫網(wǎng)格、裂縫網(wǎng)格與裂縫網(wǎng)格之間的傳導(dǎo)率。計(jì)算公式分別為

式中：T為網(wǎng)格間的傳導(dǎo)率；下標(biāo)a，b分別為不同的網(wǎng)格編號(hào)。

2.2 致密油藏注水井裂縫動(dòng)態(tài)表征及模擬

低滲致密油藏注水開發(fā)中，注水井動(dòng)態(tài)裂縫是油藏水驅(qū)及剩余油分布的主控因素之一。由于致密油藏物性差，“注不進(jìn)”導(dǎo)致的注入壓力變化往往引起注水井壓裂裂縫的動(dòng)態(tài)變化。注水井動(dòng)態(tài)裂縫受注水壓力和地應(yīng)力共同影響，本文考慮注水井動(dòng)態(tài)裂縫的變化特征主要體現(xiàn)在裂縫半長Lf、裂縫高度H和裂縫導(dǎo)流系數(shù)Fc3個(gè)方面， 用其參數(shù)組合 ［Lf， H，F(xiàn)c］來表征某時(shí)刻的裂縫特征，其中，裂縫高度通過裂縫與儲(chǔ)層的縫高比表征，導(dǎo)流系數(shù)通過裂縫滲透率與裂縫寬度的乘積表征。

圖2（圖中P為生產(chǎn)井，W為注水井）展示了注水井水力裂縫特征分別為［50，1，800］和［100，1，600］時(shí)，模型剩余油分布情況。

圖2 不同水力裂縫特征下的油藏含油飽和度分布

3 代理模型方法及裂縫參數(shù)預(yù)測(cè)

代理模型方法可以方便快速地建立不同數(shù)據(jù)之間的聯(lián)系，本文引入基于粒子群算法的最小二乘支持向量機(jī)方法（LS-SVM-PSO），建立起不同裂縫配置參數(shù)與注采井井間連通系數(shù)的關(guān)系。LS-SVM-PSO相比較于支持向量機(jī)（SVM）和最小二乘支持向量機(jī)（LSSVM），克服了SVM在大數(shù)據(jù)集中的應(yīng)用受到時(shí)間和內(nèi)存消耗優(yōu)化的限制?；诹Ｗ尤簝?yōu)化算法是一種模擬鳥群覓食行為的進(jìn)化算法，即隨機(jī)初始化粒子群，進(jìn)行LS-SVM訓(xùn)練，計(jì)算出每個(gè)粒子的適應(yīng)度值。若滿足終止條件，則輸出最優(yōu)參數(shù)值；否則，計(jì)算每個(gè)粒子和群體的歷史最優(yōu)值，并不斷更新粒子的位置和速度，反復(fù)迭代，直至滿足條件計(jì)算出最優(yōu)值。

用變量 y=［Lf， H，F(xiàn)c］來表征某個(gè)特定狀態(tài)下的裂縫特征，采用網(wǎng)格搜索抽樣、拉丁立方體抽樣以及蒙特卡洛隨機(jī)抽樣方法獲得M組不同的裂縫參數(shù)組合。將M組裂縫特征變量分別代入數(shù)值模擬器，獲得M組不同裂縫參數(shù)下的注采井生產(chǎn)數(shù)據(jù)Q=｛Qm，m=1，2，…，M｝。 若模擬區(qū)共有Ni口注水井，Np口生產(chǎn)井，則 q=［W1，W2，…，WNi；P1，P2，…，PNp］為Ni+Np維向量。進(jìn)一步將各注采井生產(chǎn)數(shù)據(jù)代入油藏容阻模型式（8）中，獲取不同裂縫參數(shù)配置下的各注采井井間連通系數(shù)。最后，采用LS-SVM-PSO建立不同裂縫參數(shù)對(duì)注采井井間連通系數(shù)的響應(yīng)模型：

式中：αm為PSO算法優(yōu)化獲得的模型權(quán)重系數(shù)；b為支持向量機(jī)模型位移量；K（ x，xm）為核函數(shù)。

4 實(shí)例應(yīng)用

選取華北油田實(shí)際低滲區(qū)塊某致密油藏反五點(diǎn)井組（見圖 3，圖中 P1，P2，P3，P4為生產(chǎn)井），根據(jù)區(qū)塊的實(shí)際生產(chǎn)動(dòng)態(tài)參數(shù)，為注水井設(shè)置不同裂縫參數(shù)進(jìn)行數(shù)值模擬，獲得不同裂縫參數(shù)下的模擬生產(chǎn)數(shù)據(jù)。

圖3 某致密油藏反五點(diǎn)井組單元模型

利用網(wǎng)格搜索抽樣原理，建立裂縫半長、裂縫高度和裂縫導(dǎo)流系數(shù)的設(shè)計(jì)樣本數(shù)據(jù)：裂縫半長分別取0，20，40，60，80 m；裂縫高度通過縫高比表征，分別取0.2，0.4，0.6，0.8，1.0；裂縫導(dǎo)流系數(shù)分別取 100×10-3，200×10-3，300×10-3，400×10-3，500×10-3μm2·cm。 根據(jù)抽樣共設(shè)計(jì)5×5×5=125套數(shù)值模擬方案，以樣本裂縫半長 60 m、縫高比 0.8、裂縫導(dǎo)流系數(shù) 400×10-3μm2·cm為例，模擬生產(chǎn)2 700 d，數(shù)值模擬得到各生產(chǎn)井的產(chǎn)液量如圖4所示。

圖4 特定裂縫參數(shù)下數(shù)值模擬各生產(chǎn)井產(chǎn)液量

采用容阻模型擬合各生產(chǎn)井產(chǎn)液量（見圖5），用前70%生產(chǎn)時(shí)間對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)進(jìn)行模型訓(xùn)練，后30%數(shù)據(jù)進(jìn)行測(cè)試。根據(jù)容阻模型預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)與模擬器真實(shí)產(chǎn)量數(shù)據(jù)擬合得到：P1井訓(xùn)練誤差為4.50%，測(cè)試誤差為1.62%；P2井訓(xùn)練誤差為8.09%，測(cè)試誤差為12.89%；P3井訓(xùn)練誤差為7.79%，測(cè)試誤差為2.82%；P4井訓(xùn)練誤差為5.35%，測(cè)試誤差為1.31%。各井平均訓(xùn)練誤差為6.43%，平均測(cè)試誤差為4.66%。擬合結(jié)果表明，油藏容阻模型能夠較好地反映油藏注采井間的動(dòng)態(tài)關(guān)系。在［60，0.8，400］條件下，注采井井間連通關(guān)系如圖6所示，其中，注水井至生產(chǎn)井的連通性大小由底邊中點(diǎn)在注水井、頂點(diǎn)位于生產(chǎn)井的等腰三角形表示，三角 形底邊長度與注采井之間的連通系數(shù)成正比。

根據(jù)LS-SVM-PSO模型和數(shù)值模擬的計(jì)算結(jié)果，對(duì)比驗(yàn)證LS-SVM-PSO模型的正確性。從數(shù)值模擬過程產(chǎn)生的125組數(shù)據(jù)中，選擇100組進(jìn)行學(xué)習(xí)，構(gòu)建LS-SVM代理模型，剩下25組對(duì)LS-SVM代理模型進(jìn)行精度驗(yàn)證，分別對(duì)動(dòng)態(tài)裂縫的裂縫長度、縫高比和裂縫導(dǎo)流系數(shù)進(jìn)行測(cè)試，其R2分別為0.948 9，0.925 8和0.934 8，驗(yàn)證了LS-SVM代理模型的可信度。

獲得裂縫參數(shù)與井間連通系數(shù)的代理模型后，通過獲取不同時(shí)間段注采井井間連通系數(shù)，進(jìn)一步結(jié)合代理模型，預(yù)測(cè)各時(shí)間段注水井壓裂裂縫特征。因?yàn)?口生產(chǎn)井位于模型的邊角區(qū)域，生產(chǎn)井泄壓范圍僅占1/4，根據(jù)流動(dòng)邊界數(shù)據(jù)對(duì)比，進(jìn)行生產(chǎn)井的產(chǎn)量劈分校正。

針對(duì)各生產(chǎn)井校正后的產(chǎn)量數(shù)據(jù)，將生產(chǎn)時(shí)間2 700 d等分為3個(gè)時(shí)間段，各階段分別采用油藏容阻模型擬合（見圖 7），P1，P2，P3，P4井的平均擬合誤差分別為3.46%，3.81%，3.76%，3.81%。各井各階段平均擬合誤差為3.72%，擬合效果較好。擬合出的各階段注采井井間連通關(guān)系如圖8所示。

圖7 4口井分階段容阻模型擬合結(jié)果

圖8 各階段注采井井間連通關(guān)系

將各階段井間連通系數(shù)代入通過樣本數(shù)據(jù)建立的LS-SVM代理模型中，獲得3個(gè)階段注水井裂縫半長分別為26，64，41 m；注水井裂縫縫高比分別為0.34，0.66，0.48；注水井裂縫導(dǎo)流系數(shù)分別為286×10-3，510×10-3，352×10-3μm2·cm。

將代理模型預(yù)測(cè)的裂縫參數(shù)進(jìn)行建模，設(shè)置3個(gè)時(shí)間段不同裂縫參數(shù)的井組數(shù)值模擬方案，數(shù)值模擬結(jié)果與原各井生產(chǎn)數(shù)據(jù)結(jié)果一致，結(jié)果表明，通過代理模型預(yù)測(cè)出的注水井壓裂裂縫動(dòng)態(tài)變化特征具有較好的可信性。

5 結(jié)論

1）本文建立了基于油藏容阻模型的井間連通系數(shù)反演方法，建立的容阻模型在井組生產(chǎn)數(shù)據(jù)擬合中精度較高，表明擬合參數(shù)能很好反映油藏注采井井間連通關(guān)系。

2）基于建立的裂縫參數(shù)與連通系數(shù)的關(guān)系代理模型，提出了致密油藏注水井動(dòng)態(tài)裂縫定量分析方法，能快速實(shí)現(xiàn)基于生產(chǎn)動(dòng)態(tài)數(shù)據(jù)的不同階段注水井動(dòng)態(tài)裂縫參數(shù)預(yù)測(cè)。

3）選取華北油田實(shí)際低滲區(qū)塊某致密油藏反五點(diǎn)井組，利用所建立的方法，快速實(shí)現(xiàn)了較為準(zhǔn)確的注水井動(dòng)態(tài)裂縫預(yù)測(cè)分析。