袁海輝周 華顧建軍14趙明國(guó)

(1.之江實(shí)驗(yàn)室 智能機(jī)器人研究中心，浙江 杭州 311121； 2.清華大學(xué) 自動(dòng)化系，北京 100084；3.浙江大學(xué) 流體動(dòng)力與機(jī)電系統(tǒng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，浙江 杭州 310027； 4. Dalhousie University, Department of Electrical Engineering, Nova Scotia, Canada)

引言

內(nèi)嚙合齒輪泵由于結(jié)構(gòu)緊湊、噪聲低、脈動(dòng)小等顯著優(yōu)點(diǎn)，在注塑機(jī)械、機(jī)器人以及航空航天等領(lǐng)域均具有廣闊的應(yīng)用前景。如圖1所示，齒輪端面與浮動(dòng)側(cè)板組成內(nèi)嚙合泵的一對(duì)關(guān)鍵摩擦副，兩者之間形成軸向間隙。泵內(nèi)高壓腔(HP)及過渡腔(TP)油液通過該間隙往低壓腔(LP)泄漏，該泄漏會(huì)對(duì)泵的出口壓力脈動(dòng)產(chǎn)生較大影響[1]。

國(guó)內(nèi)外學(xué)者圍繞齒輪泵的出口壓力脈動(dòng)，通過齒廓建模[2-3]、集中參數(shù)法建模[4-5]、摩擦副的潤(rùn)滑膜建模[6-7]等多種建模方法開展了研究。相關(guān)研究結(jié)果指出，泵的出口壓力脈動(dòng)頻譜主要集中在齒輪軸的齒數(shù)與轉(zhuǎn)速乘積的倍頻處。然而，上述研究通常將齒輪端面視作一個(gè)平面，沒有考慮端面平面度誤差。

由于加工問題，齒輪端面不可避免存在平面度誤差，輪齒的齒寬存在輕微的差異。在泵的運(yùn)行過程，隨著齒輪的轉(zhuǎn)動(dòng)，輪齒交替進(jìn)入低壓腔、過渡腔及高壓腔。因此，當(dāng)不同的輪齒處于過渡腔及高壓腔時(shí)，端面與浮動(dòng)側(cè)板之間的軸向間隙將發(fā)生改變，進(jìn)而對(duì)泄漏量以及出口壓力脈動(dòng)產(chǎn)生影響。

本研究基于集中參數(shù)法對(duì)內(nèi)嚙合泵出口壓力脈動(dòng)建模，著重關(guān)注由于齒輪端面非平面度導(dǎo)致的軸向間隙的變化，進(jìn)而討論其對(duì)出口壓力脈動(dòng)的影響。此外，還對(duì)泵出口壓力脈動(dòng)進(jìn)行了測(cè)試，以驗(yàn)證齒輪端面非平面度對(duì)出口壓力影響的分析。

1 泵出口壓力建模

如圖2所示，內(nèi)嚙合泵內(nèi)部容腔被齒輪軸、齒圈以及月牙塊劃分成高壓腔(HP)、過渡腔(TP)以及低壓腔(LP)3部分。齒輪軸有13個(gè)齒，齒圈有19個(gè)齒，齒輪軸帶動(dòng)齒圈嚙合轉(zhuǎn)動(dòng)，油液被吸進(jìn)低壓腔，通過過渡

腔運(yùn)送到高壓腔后排出。

圖3為泵出口壓力建模的液壓系統(tǒng)原理圖。為減少系統(tǒng)對(duì)泵出口壓力脈動(dòng)的影響，采用節(jié)流閥口的加載方式。泵出口連接直徑不變的硬管，硬管另一端連接節(jié)流閥口對(duì)泵進(jìn)行加載。泵內(nèi)每一個(gè)容腔的壓力可用流量連續(xù)性方程表征，如式(1)所示；泵出口壓力視為高壓腔壓力。

(1)

式中，p—— 容腔壓力

t—— 時(shí)間

β—— 油液彈性模量

V—— 容腔壓力

qin,qout—— 流入及流出容腔的流量

dV/dt—— 容腔容積隨時(shí)間變化

流入及流出容腔的流量包括通過浮動(dòng)側(cè)板上孔槽結(jié)構(gòu)的流量、泄漏量等多項(xiàng)，具體的表述與求解見本課題前期工作[2]。在此，側(cè)重關(guān)注齒輪端面與浮動(dòng)側(cè)板之間的軸向泄漏，如圖4所示。1個(gè)齒的軸向泄漏量可表示如下：

(2)

式中，qj—— 1個(gè)齒的軸向泄漏量

b—— 1個(gè)齒的節(jié)圓長(zhǎng)度

μ—— 油液黏度

rp,rfp—— 齒輪端面密封帶半徑

δj—— 1個(gè)齒的端面與浮動(dòng)側(cè)板之間的軸向間隙

需要指出的是，由于齒輪端面平面度誤差，每個(gè)齒的端面與浮動(dòng)側(cè)板之間所對(duì)應(yīng)的軸向間隙δj均不一樣。

從文獻(xiàn)[2]可知，式(1)等號(hào)右邊均為關(guān)于容腔壓力p及時(shí)間t的關(guān)系式，因此，式(1)可寫為：

(3)

利用龍格庫塔法(RK4)對(duì)式(3)進(jìn)行數(shù)值求解，進(jìn)而可求得泵的出口壓力。需要指出的是，由于齒輪軸有13個(gè)齒，齒圈有19個(gè)齒，且每個(gè)齒對(duì)應(yīng)的軸向間隙不一樣，因此，當(dāng)1對(duì)齒嚙合分離后，下一次重新嚙合需經(jīng)過247個(gè)嚙合周期(13×19)。在此，定義1個(gè)數(shù)值計(jì)算周期為247個(gè)嚙合周期，每完成1個(gè)計(jì)算周期，將該計(jì)算周期的出口壓力來判斷數(shù)值計(jì)算是否收斂，如式(4)所示:

(4)

式中，pnew,pold—— 當(dāng)前計(jì)算周期及上一個(gè)計(jì)算周期的出口壓力

perr—— 連續(xù)2個(gè)計(jì)算周期的出口壓力誤差，收斂到10-8

2 仿真結(jié)果分析

為了對(duì)比分析齒輪端面平面度對(duì)出口壓力脈動(dòng)的影響，在此設(shè)定了兩種情況：一種為不考慮齒輪端面的平面度誤差(齒輪端面視為一個(gè)平面)，每個(gè)齒對(duì)應(yīng)的軸向間隙均為同一數(shù)值，設(shè)定為20 μm；另一種為考慮齒輪端面的平面度誤差，對(duì)于齒輪軸上的齒，軸向間隙在20～30 μm之間變化；對(duì)于齒圈上的齒，軸向間隙在20～35 μm之間變化；軸向間隙的變化規(guī)律服從高斯分布。

如圖5所示，為是否考慮齒輪端面的平面度誤差所對(duì)應(yīng)的出口壓力仿真曲線，泵轉(zhuǎn)速為3000 r/min，出口壓力為7 MPa。如圖5a所示，測(cè)試時(shí)長(zhǎng)為0.2 s，相當(dāng)于齒輪軸轉(zhuǎn)過10轉(zhuǎn)，經(jīng)過了130個(gè)嚙合周期?？梢?，出口壓力呈現(xiàn)周期性變化規(guī)律，當(dāng)不考慮平面度時(shí)，出口壓力的重復(fù)周期為1個(gè)嚙合周期；當(dāng)考慮平面度時(shí)，出口壓力的重復(fù)周期為247個(gè)嚙合周期。因此，當(dāng)考慮平面度時(shí)，出口壓力呈現(xiàn)了更長(zhǎng)的重復(fù)周期，更為復(fù)雜的變化規(guī)律。

當(dāng)不考慮平面度時(shí)，出口壓力在7.26～7.45 MPa之間變化；當(dāng)考慮平面度時(shí)，出口壓力在6.45～7.51 MPa之間變化?？梢?，當(dāng)考慮平面度時(shí)，出口壓力呈現(xiàn)了幅值更大的脈動(dòng)。這是由于當(dāng)考慮平面度時(shí)，軸向間隙相對(duì)更大，造成了更大的軸向泄漏量，從而導(dǎo)致幅值更大的壓力脈動(dòng)，這與先前工作中得到的結(jié)論一致。

如圖5b所示，截取了圖5a中時(shí)長(zhǎng)為0.02 s的一段，相當(dāng)于齒輪軸轉(zhuǎn)過1轉(zhuǎn)，經(jīng)過13個(gè)嚙合周期。從圖中可見，當(dāng)考慮平面度時(shí)，這一段的出口壓力整體呈現(xiàn)一個(gè)大波動(dòng)，在此稱為“大波”，如圖中虛線所示；沿著虛線，可以看到13個(gè)小波動(dòng)，在此稱為“小波”，如圖中實(shí)線所示，這與齒輪軸的齒數(shù)(13個(gè))一致。

當(dāng)不考慮平面度時(shí)，只有13個(gè)重復(fù)的“小波”?？梢?，當(dāng)考慮平面度時(shí)，出口壓力脈動(dòng)包括了“小波”和“大波”兩種脈動(dòng)成分；當(dāng)不考慮平面度時(shí)，出口壓力脈動(dòng)只有“小波”一種脈動(dòng)成分。從圖中可以看出，“大波”脈動(dòng)成分大大增加了泵的出口壓力脈動(dòng)，不應(yīng)忽視齒輪端面平面度誤差對(duì)出口壓力脈動(dòng)的影響。

如圖6所示，為考慮與不考慮齒輪端面的平面度誤差所對(duì)應(yīng)的出口壓力脈動(dòng)頻譜，泵轉(zhuǎn)速為3000 r/min，出口壓力為7 MPa。當(dāng)不考慮平面度時(shí)，脈動(dòng)頻譜的基頻為650 Hz (f0)，幅值為0.008 MPa。這與小波的頻率一致，由泵的轉(zhuǎn)速以及齒輪軸的齒數(shù)所決定，如式(5)所示。由于通常泵的轉(zhuǎn)速較高，因此小波的頻譜也通常處于高頻段。

f0=z1n/60

(5)

式中，z1—— 齒輪軸的齒數(shù)

n—— 泵的轉(zhuǎn)速,r/min

當(dāng)考慮平面度時(shí)，在以f0為基頻的頻段存在幅值，幅值比不考慮平面度時(shí)更大。這表明當(dāng)考慮平面度時(shí)，小波的波動(dòng)幅值變大。此外，除了以f0為基頻的頻段，可以看到在低頻段存在較大的幅值，主要分布在以33.8 Hz (fr)和49.4 Hz (fs)為基頻的頻段。這兩個(gè)頻段的基頻對(duì)應(yīng)圖5中的大波，幅值較大，且主要分布在低頻段。其中fr主要由泵轉(zhuǎn)速以及齒輪副的齒數(shù)決定，如式(6)所示；fs主要由泵轉(zhuǎn)速?zèng)Q定，如式(7)所示:

fr=z1n/(60·z2)

(6)

fs=n/60

(7)

式中，z2—— 齒圈的齒數(shù)

3 出口壓力脈動(dòng)試驗(yàn)

如圖7所示，為內(nèi)嚙合泵出口壓力脈動(dòng)試驗(yàn)過程。試驗(yàn)設(shè)置與圖3所示系統(tǒng)原理圖一致，內(nèi)嚙合泵出口連接1根不變直徑的硬管，硬管另一端連接節(jié)流閥進(jìn)行加載，硬管上安裝100 kHz的高頻壓力傳感器，用于采集泵出口壓力脈動(dòng)。傳感器量程為0～35 MPa，精度及非線性為0.5%。

如圖8所示，為所測(cè)試的內(nèi)嚙合泵的齒輪副的齒寬?？梢姡X輪軸的齒寬在15.505～15.535 mm之間變化，齒圈的齒寬在15.480～15.505 mm之間變化。由于泵在運(yùn)行過程，浮動(dòng)側(cè)板壓緊在齒輪副的端面上，因此，齒圈所對(duì)應(yīng)的軸向間隙比齒輪軸所對(duì)應(yīng)的軸向間隙更大。

圖9為測(cè)得的泵出口壓力脈動(dòng)頻譜，泵轉(zhuǎn)速為3000 r/min，壓力為7 MPa。從圖9a可見，在基頻為642 Hz (f0)的頻段存在較大幅值，這是對(duì)應(yīng)于小波成分的頻譜，與式(5)一致。

圖9b為截取的圖9a中的低頻段?？梢娫诘皖l段，以基頻為34 Hz (fr)和49 Hz (fs)的頻段存在較大幅值，這是對(duì)應(yīng)于大波成分的頻譜，與式(6)和式(7)一致。

圖9b中還可以看到fr對(duì)應(yīng)的幅值比fs對(duì)應(yīng)的幅值更大。從圖8的測(cè)量數(shù)據(jù)可知，齒圈所對(duì)應(yīng)的軸向間隙比齒輪軸所對(duì)應(yīng)的軸向間隙更大，從式(2)可知，通過齒圈端面的軸向泄漏比通過齒輪軸端面的軸向泄漏更大。從文獻(xiàn)[1]可知，泄漏增大會(huì)導(dǎo)致脈動(dòng)的增大，結(jié)合圖9b中fr與fs對(duì)應(yīng)的幅值，可知齒輪軸與齒圈兩者的齒寬的差異，也會(huì)導(dǎo)致fr或fs的幅值增大，導(dǎo)致出口脈動(dòng)增大。

可見，齒輪軸或齒圈自身齒寬的不一致會(huì)導(dǎo)致“大波”脈動(dòng)成分，進(jìn)而增大脈動(dòng)；齒輪軸與齒圈之間齒寬的不一致也會(huì)導(dǎo)致脈動(dòng)的增大。因此，在齒輪副加工過程，一方面應(yīng)注意降低齒輪端面的平面度誤差，另一方面應(yīng)注意保持齒輪軸的齒寬與齒圈的齒寬的一致性。

4 結(jié)論

本研究討論了內(nèi)嚙合泵齒輪端面平面度對(duì)出口壓力脈動(dòng)的影響，并對(duì)出口壓力脈動(dòng)進(jìn)行了試驗(yàn)驗(yàn)證，可得到以下幾個(gè)結(jié)論：

(1) 當(dāng)不考慮端面平面度時(shí)，泵出口壓力脈動(dòng)只有小波成分，小波成分通常處于高頻段，幅值較小，基頻由泵轉(zhuǎn)速及齒輪軸的齒數(shù)決定；

(2) 當(dāng)考慮平面度時(shí)，泵出口壓力脈動(dòng)包括了小波及大波2種成分，大波成分通常處于低頻段，幅值較大，有2個(gè)基頻，1個(gè)基頻由泵轉(zhuǎn)速及齒輪副的齒數(shù)決定，1個(gè)基頻由泵轉(zhuǎn)速?zèng)Q定；

(3) 齒輪端面的不平面度誤差會(huì)造成泵出口壓力脈動(dòng)的大波成分，會(huì)大大增加泵的出口壓力脈動(dòng)。在齒輪副加工過程，一方面應(yīng)注意降低齒輪端面的平面度誤差，另一方面應(yīng)注意保持齒輪軸齒寬與齒圈齒寬的一致性。