岳明凱，王程遠(yuǎn) ，焦志剛，陳 偉

(1.沈陽理工大學(xué) 裝備工程學(xué)院，沈陽 110159；2.遼沈工業(yè)集團(tuán)有限公司，沈陽 110045)

坦克裝甲車輛在現(xiàn)代地面戰(zhàn)爭中占據(jù)主導(dǎo)地位，反裝甲任務(wù)日益加重，而具有較高效費(fèi)比的末敏彈可以有效毀傷裝甲目標(biāo)[1-3]。

末敏子彈工作時(shí)以母彈為載體抵達(dá)目標(biāo)上空，在規(guī)定高度從母彈中拋出，經(jīng)過減速減旋后，張開主旋傘，并繼續(xù)減速，直到達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，此時(shí)傘-彈系統(tǒng)一邊勻速下降，一邊繞鉛垂線勻速旋轉(zhuǎn)[4]，達(dá)到末敏子彈掃描、識別目標(biāo)的要求。

末敏子彈的傘-彈系統(tǒng)具有復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)特性，一直以來都是末敏彈穩(wěn)態(tài)掃描運(yùn)動(dòng)特性研究的重點(diǎn)，其穩(wěn)態(tài)掃描運(yùn)動(dòng)對末敏子彈識別、命中目標(biāo)起到?jīng)Q定性作用[5-6]。張俊等[7]在牛頓力系下建立了傘-彈系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)模型，分析了各彈道諸元的變化規(guī)律；董嚴(yán)等[8]忽略了傘-彈間滾轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的自由度，使用拉格朗日力學(xué)方法建立了傘-彈系統(tǒng)平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)模型；馬宗成等[9]將傘與傘盤視為一個(gè)剛體，子彈視為另一個(gè)剛體，建立了傘-彈二剛體動(dòng)力學(xué)模型。在傘-彈系統(tǒng)二剛體動(dòng)力學(xué)模型中，通過球鉸鏈連接的約束未必能符合其連接機(jī)構(gòu)及約束類型，并且在二剛體模型中忽略了傘盤的運(yùn)動(dòng)情況。因此，為進(jìn)一步準(zhǔn)確描述末敏子彈穩(wěn)態(tài)掃描階段的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，建立柱鉸連接的傘-彈三剛體動(dòng)力學(xué)模型十分必要。

本文將傘、傘盤、彈體視為剛體，傘盤與彈體之間通過柱鉸連接，基于第二類拉格朗日力學(xué)方法推導(dǎo)出傘-彈系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)掃描階段動(dòng)力學(xué)方程組，并使用Adams軟件進(jìn)行仿真，驗(yàn)證傘-彈系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型的準(zhǔn)確性。

1 末敏子彈穩(wěn)態(tài)掃描階段傘-彈系統(tǒng)模型

1.1 拉格朗日力學(xué)方程

本文采用第二類拉格朗日力學(xué)方程分析傘-彈系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)特性，其方程為

(1)

(2)

(3)

式中：T為系統(tǒng)的動(dòng)能；t為時(shí)間；qk為系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)；Q為系統(tǒng)的廣義力；k為系統(tǒng)自由度個(gè)數(shù)；n為組成系統(tǒng)的剛體個(gè)數(shù)；s為系統(tǒng)完整約束的個(gè)數(shù)；W為主動(dòng)力所做的虛功；mi為質(zhì)點(diǎn)i的質(zhì)量；vi為質(zhì)點(diǎn)i的速度；Ji為質(zhì)點(diǎn)i的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；ωi為質(zhì)點(diǎn)i的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度。

1.2 模型假設(shè)

本文將傘-彈系統(tǒng)簡化為彈體、傘盤和傘系統(tǒng)(傘和傘繩)三部分，并作如下假設(shè)：

(1)忽略主旋傘張開過程；

(2)將傘、傘盤、彈體視為剛體；

(3)傘與傘盤為球鉸連接，傘盤與彈體為柱鉸連接；

(4)忽略傘繩拉力及附加質(zhì)量；

(5)穩(wěn)態(tài)掃描階段傘-彈系統(tǒng)速度較低，故忽略彈體和傘盤的空氣動(dòng)力影響。

1.3 傘-彈系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型

1.3.1 坐標(biāo)系定義及廣義坐標(biāo)選取

為方便分析傘-彈系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，建立如下坐標(biāo)系。

(1)基準(zhǔn)坐標(biāo)系O-XYZ

拋撒點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O，OZ軸鉛垂向上，OY軸沿水平方向指向射向，OX軸由右手法則確定。該坐標(biāo)系用于確定傘、傘盤和彈體的質(zhì)心坐標(biāo)。

(2)平動(dòng)坐標(biāo)系Oi-XiYiZi

原點(diǎn)Oi取剛體i質(zhì)心Ci處，各軸方向同基準(zhǔn)坐標(biāo)系。該坐標(biāo)系用于確定傘軸、傘盤軸、彈軸和速度方向。

選取傘盤與彈體的連接點(diǎn)D的坐標(biāo)(x,y,z)、主旋轉(zhuǎn)傘的空間姿態(tài)角(θ,ψ,φ)、傘盤的空間姿態(tài)角(θ2,ψ2,φ2)以及彈體坐標(biāo)系相對于傘盤坐標(biāo)系轉(zhuǎn)動(dòng)的角度θd作為廣義坐標(biāo)，即k=10，q=(x,y,z,θ,ψ,φ,θ2,ψ2,φ2,θd) 。傘-彈系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖1所示，圖中l(wèi)a為傘繩長度，lc為子彈彈長，CA為主旋傘質(zhì)心。

圖1 傘-彈系統(tǒng)結(jié)構(gòu)示意圖

1.3.2 系統(tǒng)動(dòng)能

將傘剛體質(zhì)心坐標(biāo)系平移到連接點(diǎn)D，則傘剛體質(zhì)心坐標(biāo)表示為(0，0，la)。通過坐標(biāo)轉(zhuǎn)換關(guān)系，可得到傘剛體的質(zhì)心在基準(zhǔn)坐標(biāo)系下的坐標(biāo)為

(4)

將式(4)對時(shí)間t求導(dǎo)，可得到傘剛體質(zhì)心速度為

(5)

傘剛體角速度為

(6)

傘盤剛體質(zhì)心坐標(biāo)可認(rèn)為與連接點(diǎn)D重合，故傘盤剛體質(zhì)心坐標(biāo)表示為(0，0，0)。傘盤剛體質(zhì)心速度為

(7)

傘盤剛體角速度為

(8)

(9)

將式(9)對時(shí)間t求導(dǎo)，可得到子彈剛體質(zhì)心速度為

(10)

同理可求得vcy和vcz。

子彈剛體角速度為

(11)

將式(4)～(11)帶入式(3)可得到各剛體的動(dòng)能，因此末敏子彈穩(wěn)態(tài)掃描階段的系統(tǒng)動(dòng)能為

T=Ta+Tb+Tc

(12)

式中：T為傘-彈系統(tǒng)動(dòng)能；Ta為主旋傘動(dòng)能；Tb為傘盤動(dòng)能；Tc為子彈動(dòng)能。

1.3.3 系統(tǒng)廣義力

作用在傘-彈系統(tǒng)上的力和力矩包括

G=mg

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

為區(qū)別于實(shí)位移，虛位移采用變分符號表示。傘-彈系統(tǒng)在x、y、z方向的虛位移可分別表示為δx、δy、δz，主旋轉(zhuǎn)傘、傘盤及彈體的空間旋轉(zhuǎn)角表示為δθ、δψ、δφ、δθ2、δψ2、δφ2、δθd。則傘-彈系統(tǒng)虛功為

∑δW=∑Fδq

(20)

式中F為作用在系統(tǒng)上的主動(dòng)力。

以廣義坐標(biāo)θd為例，將式(20)帶入式(2)可得系統(tǒng)廣義力為

Qθd=θd(Mdycosθd+Mdzsinθd)-Mdzcosθd+

Mdysinθd

(21)

同理可將其他廣義坐標(biāo)帶入第二類拉格朗日力學(xué)方程，求解得到末敏子彈穩(wěn)態(tài)掃描階段的動(dòng)力學(xué)模型為

(22)

式中Ek、Fk、Gk、Hk為由拉格朗日力學(xué)方程求出的系數(shù)矩陣。

2 仿真計(jì)算及分析

本文基于拉格朗日力學(xué)方法，建立末敏子彈傘-彈系統(tǒng)三剛體動(dòng)力學(xué)模型。為驗(yàn)證模型的準(zhǔn)確性，在SolidWorks中建立傘-彈系統(tǒng)三維模型，并將其導(dǎo)入Adams軟件中，設(shè)置剛體質(zhì)量、材料、初速等參數(shù)，根據(jù)各剛體之間的接觸和相互運(yùn)動(dòng)關(guān)系設(shè)置鏈接副與運(yùn)動(dòng)副，并添加廣義力。在Adams軟件中，設(shè)置好約束、接觸、鏈接副和運(yùn)動(dòng)副的傘-彈系統(tǒng)模型如圖2所示。

圖2 Adams前處理設(shè)定完成模型圖

計(jì)算中各參數(shù)取值為：傘質(zhì)量ma=0.46kg；主旋傘特征面積S=1.77m2；傘特征長度l=0.8m；傘繩長度la=1.2m；傘盤質(zhì)量mb=0.1kg；彈體質(zhì)量mc=10.85kg；彈長lc=0.225m；初始下落速度v=50m/s；靜懸掛角θ0=22.5°。仿真得到末敏子彈速度隨時(shí)間的變化如圖3所示，末敏子彈高度隨時(shí)間的變化如圖4所示，末敏子彈轉(zhuǎn)速隨時(shí)間的變化如圖5所示，末敏子彈掃描角度隨時(shí)間的變化如圖6所示。

圖3 傘-彈系統(tǒng)速度隨時(shí)間變化曲線

圖4 傘-彈系統(tǒng)高度隨時(shí)間變化曲線

由圖3可見，傘-彈系統(tǒng)在主旋轉(zhuǎn)傘張開后，速度迅速降低，經(jīng)過3.6s后，系統(tǒng)重力、空氣阻力、空氣升力達(dá)到平衡狀態(tài)，系統(tǒng)加速度降為零，此時(shí)系統(tǒng)勻速下降，落速穩(wěn)定于10.29m/s。

由圖4可見，傘-彈系統(tǒng)在20s內(nèi)高度下降了217m，且在傘-彈系統(tǒng)落速穩(wěn)定后，系統(tǒng)下降高度和時(shí)間成正比。

圖5 傘-彈系統(tǒng)轉(zhuǎn)速隨時(shí)間變化曲線

由圖5可見，在空氣導(dǎo)轉(zhuǎn)力矩的作用下，傘-彈系統(tǒng)轉(zhuǎn)速在初始0.4s內(nèi)迅速增大至7.7r/s，之后受傘極阻尼力矩的影響，轉(zhuǎn)速開始下降，在4.4s穩(wěn)定于4.04r/s。相較于系統(tǒng)落速，系統(tǒng)轉(zhuǎn)速進(jìn)入穩(wěn)定狀態(tài)多用時(shí)0.8s，這是由于傘極阻尼力矩和空氣導(dǎo)轉(zhuǎn)力矩均與速度有關(guān)，只有在下落速度達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)以后，轉(zhuǎn)速才會(huì)逐漸達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)。

圖6 傘-彈系統(tǒng)掃描角度隨時(shí)間變化曲線

由圖6可見，系統(tǒng)掃描角度在初始階段波動(dòng)較大，經(jīng)過5s后波動(dòng)減小并逐漸趨于穩(wěn)定，最終在 7.5s左右穩(wěn)定于29.8°左右。這是由于彈體與傘盤之間為柱鉸連接，存在擺動(dòng)自由度，落速及轉(zhuǎn)速變化會(huì)使彈體發(fā)生擺動(dòng)，在主旋轉(zhuǎn)傘張開后，系統(tǒng)落速及轉(zhuǎn)速變化較大，故系統(tǒng)掃描角度波動(dòng)也較大，當(dāng)系統(tǒng)速度和轉(zhuǎn)速穩(wěn)定后，掃描角最終進(jìn)入穩(wěn)定掃描狀態(tài)。

傘-彈系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)掃描階段的下落速度一般為10～20m/s、轉(zhuǎn)速為4～10r/s[10]，故仿真結(jié)果與實(shí)際情況相符，建立的動(dòng)力學(xué)模型準(zhǔn)確可靠。

3 結(jié)論

采用第二類拉格朗日力學(xué)方法，建立了傘-彈系統(tǒng)三剛體動(dòng)力學(xué)模型，并使用Adams軟件進(jìn)行仿真，得到以下結(jié)論：

(1)在主旋轉(zhuǎn)傘完全張開后，傘-彈系統(tǒng)的下落速度在3.6s后穩(wěn)定于10.29m/s，轉(zhuǎn)速在空氣導(dǎo)轉(zhuǎn)力矩的作用下，先迅速增大至7.7r/s，隨后由于傘極阻尼力矩的影響在4.4s穩(wěn)定于4.04r/s，掃描角進(jìn)入穩(wěn)定狀態(tài)用時(shí)最長，在6s穩(wěn)定于29.8°，20s內(nèi)系統(tǒng)高度下降217m，符合末敏子彈穩(wěn)態(tài)掃描階段的運(yùn)動(dòng)規(guī)律；

(2)在由傘、傘盤、彈體構(gòu)成的三剛體模型中，傘與傘盤之間采用球鉸連接、傘盤與彈體之間采用柱鉸連接，與傳統(tǒng)拉格朗日力學(xué)方法相比，考慮了傘盤的運(yùn)動(dòng)特性，提高了傘-彈系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)掃描階段動(dòng)力學(xué)模型的準(zhǔn)確性。