董浩，孫成飛，周震昊，王雨龍，丁應(yīng)章

（中建三局集團(tuán)有限公司，湖北 武漢 430000）

隨著人們對(duì)美好生活的不斷追求，出現(xiàn)了各色各異的建筑結(jié)構(gòu)，我國(guó)現(xiàn)行《混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范》（GB50010-2010）,經(jīng)過多次改進(jìn)其理論更為科學(xué)合理，更趨于國(guó)際化。但在應(yīng)對(duì)形形色色的建筑結(jié)構(gòu)時(shí),為使結(jié)果更好地與實(shí)際相符,規(guī)范中的某些計(jì)算公式會(huì)較為麻煩。例如計(jì)算對(duì)稱配筋矩形截面小偏心受壓構(gòu)件時(shí),求解相對(duì)受壓區(qū)高度ζ需解的三次方程，用于設(shè)計(jì)很不方便,故“規(guī)范”給出了求ζ的近似公式，但按此式計(jì)算在準(zhǔn)確度上有待商榷。因此，可以使用“牛頓法[4]”對(duì)高次方程進(jìn)行求解，由于需要應(yīng)用到工程計(jì)算之中求解過程不能繁瑣，且要求能夠快速收斂，以及運(yùn)用一種改進(jìn)牛頓法的方法：“牛頓—秦九韶法”[1]。根據(jù)數(shù)值分析[4]牛頓法與牛頓—秦九韶法的求解，需要對(duì)初值有準(zhǔn)確的估計(jì)，在這種情況下本文列舉了另一種解法“黃金分割法”[7]，利用黃金分割法收斂快且不需要定義初值的優(yōu)勢(shì)，可以更快速地求解高次方程。

1 基于“規(guī)范”的近似計(jì)算

下面作者簡(jiǎn)述“規(guī)范”中采用簡(jiǎn)化公式的過程，以便分析其不足。對(duì)于對(duì)稱配筋的小偏心受壓柱，根據(jù)基本公式和對(duì)稱配筋的特點(diǎn)，可以導(dǎo)出以下公式：

式（1）為ζ的三次方程，求解很麻煩，故“規(guī)范”基于以下理由做出了簡(jiǎn)化：

由式（2）知y也是ζ的三次函數(shù)。但因?yàn)樵谛∑氖軌悍秶鷥?nèi),y與ζ的關(guān)系是趨近于線性關(guān)系。小偏心受壓構(gòu)件ζ常見范圍為:ζb＜ζ＜ 1.6-ζb其中ζb為相對(duì)界限受壓區(qū)高度，對(duì)于常用的Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ級(jí)鋼筋,ζb值分別為0.614、0.544及0.528,則 ζ（1-0.5ζ）的值在 0.39～0.50之間，故“規(guī)范”取ζ（1-0.5ζ）=0.43,將其代入式(1)即得求ζ的近似公式：

則配筋公式：

可以總結(jié)兩點(diǎn)。

①在計(jì)算矩形截面對(duì)稱配筋小偏心受壓構(gòu)件時(shí)關(guān)鍵是需求解ζ。

②用上述規(guī)范所訴的近似算法進(jìn)行設(shè)計(jì)時(shí)，產(chǎn)生誤差的原因在于：在小偏心受壓范圍內(nèi),雖然ζ的三次式(2)趨近于直線，但對(duì)不同材料其直線回歸方程是不一樣。若不分情況，一律將 ζ(1-0.5ζ)的結(jié)果取為常數(shù)0.43，即把采用不同材料時(shí)的直線回歸方程全都視為y=0.43(ζb-ζ)/(ζb-0.8)，顯然與實(shí)際不完全相符，導(dǎo)致一定誤差[3]。

2 各類數(shù)值解法

2.1 牛頓法

牛頓法也稱牛頓—拉佛森法，是迭代法的一種，其收斂速度通常比一般的迭代法都快，下面簡(jiǎn)述一下牛頓法的原理[4]：

牛頓法是用泰勒公式展開的一種迭代方法，設(shè)方程f(x)==0的根x*的近似值為將函數(shù)f(x)在點(diǎn)xk展開：

舍去高階項(xiàng)上式可近似表達(dá)：

整理上式可得到迭代式：

根據(jù)以上迭代式選取初值x然后反復(fù)迭代就可以得到滿足精度的x值，利用此原理可以求解公式（1）的三次方程，根據(jù)上述迭代式可知求解f(x)的函數(shù)值與一階導(dǎo)數(shù)值即可，因此，可以發(fā)現(xiàn)由公式（1）得到的三次方程組多項(xiàng)式需要求解平方乘法然后再加法，在計(jì)算步驟中雖然較解三次方程組簡(jiǎn)單一點(diǎn)，但計(jì)算量太大，不適合手算。基于此，李汝庚[1]提出了改進(jìn)后的牛頓—秦九韶法。

2.2 牛頓—秦九韶法

上一節(jié)的“牛頓法”，雖然思路清晰，方法易懂，但有函數(shù)值及一階導(dǎo)數(shù)的求解，計(jì)算量大了。早在我國(guó)古代就有秦九韶法來解決有關(guān)于多項(xiàng)式f(x)在任意x的泰勒展開式前面系數(shù)的問題。牛頓—秦九韶法[5]由我國(guó)古代的秦九韶法與西方近代的牛頓迭代法相結(jié)合，本方法適用于解決建筑結(jié)構(gòu)中的高次方程。例如本文所述的矩形截面對(duì)稱配筋小偏心受壓構(gòu)件的計(jì)算求解，相對(duì)受壓區(qū)高度ζ的三次方程問題，若用牛頓—秦九韶法求解則頗簡(jiǎn)便。下面以一個(gè)三次多項(xiàng)式為例，說明該法的數(shù)學(xué)原理及算法步驟。

關(guān)于f(x)在任意點(diǎn)x0處的泰勒展開式：

按如下格式計(jì)算：

格式中第一行是式8的各項(xiàng)系數(shù)，然后以下各行數(shù)均按式10計(jì)算：

例如第二行的計(jì)算如下：（因?yàn)閎0左邊沒有數(shù)字所以b0=a0

由此可得按式（9）表示的f(x)在x0處的泰勒展開式：

上述方法就是秦九韶法[7]，此法利用乘法和加法代替求導(dǎo)計(jì)算，大大簡(jiǎn)化了計(jì)算過程，對(duì)于求任意高次多項(xiàng)式在任意點(diǎn)x0處的展開式系數(shù)非常簡(jiǎn)便適用。而牛頓法的迭代公式（7）首先需求解一階導(dǎo)數(shù)和函數(shù)值，再應(yīng)用迭代公式反復(fù)迭代才能得到數(shù)值解，對(duì)比而言計(jì)算量過大。

2.3 黃金分割法

根據(jù)以上分析，無論是迭代法還是改進(jìn)后的迭代法，對(duì)于方程的求解都依賴于初值的選取，對(duì)于對(duì)稱配筋小偏心受壓構(gòu)件ζ的常遇范圍為ζb＜ζ＜1.6-ζb，因此，ζ比較好的初始值ζb便可在此范圍內(nèi)擬定，可取ζb與(1.6-ζb)的平均值，近似為0.8左右[5]。但建筑結(jié)構(gòu)中高次方程多樣，并不都像對(duì)稱配筋小偏心受壓構(gòu)件中的ζ可以選取出初值。例如分析高層建筑的固有振動(dòng)時(shí)，設(shè)自振頻率為ω，特征值λ=1/ω2，經(jīng)推導(dǎo)可得高層建筑確定頻率的高次方程為另外，當(dāng)高次方程中存在多解時(shí)，上述迭代法會(huì)出現(xiàn)收斂速度慢的缺點(diǎn)。

黃金分割法[6]求高次方程的數(shù)值解，能克服上述兩大缺點(diǎn)。黃金分割法的算法思想為對(duì)于連續(xù)函數(shù)F(x)，在閉區(qū)間［a，b］內(nèi)有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根x，令x1=a，x2=b。若F(x1)=0或F(x2)=0，則x=x1或x=x2即為所求實(shí)數(shù)根；否則求取新的區(qū)間利用①=a+(b-a)×0.618(設(shè)a＜b)求取第一個(gè)點(diǎn)；再利用②=(a+b)-①=(大+小)-中求取第二個(gè)點(diǎn)，比較F(①)與F(②)的大小，得到新的區(qū)間在新區(qū)間內(nèi)重復(fù)以上過程，直到所求有根區(qū)間在精度范圍內(nèi)為止，即可得到實(shí)數(shù)根x[6]。

用黃金分割律求高次方程的數(shù)值解主要用到下面兩個(gè)公式：

①=a+(b-a)×0.618(設(shè)a＜b)

②=(a+b)-①=(大+小)-中

由于黃金分割法需要提前知道根的區(qū)間，可以利用以下兩種方式確定：a.利用連續(xù)函數(shù)根的存在性定理（二分法確定根所在的區(qū)間）2）根據(jù)建筑結(jié)構(gòu)的理論大致確定根的區(qū)間如小偏心受壓構(gòu)件ζ,可以明確知道它的根在［0，1］區(qū)間。

3 算例

例1已知：軸向力設(shè)計(jì)值N=3500kN，彎矩M1=0.88M2，M2=360kN·M，截面尺寸b=400mm，h=700mm，混 凝 土 強(qiáng) 度 等 級(jí) 為C40，鋼筋用HRB400鋼筋，構(gòu)件計(jì)算長(zhǎng)度Ic=I0=3.3m，對(duì)稱配筋[3]。

經(jīng)判斷為小偏心受壓，使用規(guī)范近似公式計(jì)算得ζ=0.6826：由（1）式化簡(jiǎn)得到以下高次多項(xiàng)式：

用解三次方程的方法算得的精確解為ζ=0.6975。

3.1 使用牛頓—秦九韶法求解

3.2 使用黃金分割法計(jì)算

a.F(0)=-0.841＜0；F(1)=0.1163＞0

則ζ的解在［0，1］之間；

第一個(gè)點(diǎn)：

①=0+（1-0）×0.618=0.618

第二個(gè)點(diǎn)：

②=（1+0）-0.618=0.382

比較F(0.618)與F(0.382)大小

b.得到區(qū)間［0.618，1］

第一個(gè)點(diǎn)：①=0.618+（1-0.618）×0.618=0.854076

第 二 個(gè) 點(diǎn) ：② =（1+0.618）-0.854076=0.763924

比較F(0.763924)與F(0.854076)大小

c.得到區(qū)間［0.618，0.763924］

第一個(gè)點(diǎn)：①=0.618+（0.763924-0.618）×0.618=0.708181

第 二 個(gè) 點(diǎn) ：② =（0.763924+0.618）-0.708181=0.673743

比較F(0.673743)與F(0.708181)大小

d.得到區(qū)間［0.673743，0.708181］

第 一 個(gè) 點(diǎn) ：① =0.673743+（0.708181-0.673743）×0.618=0.9650

第 二 個(gè) 點(diǎn) ：② =（0.708181+0.673743）-0.6950=0.686924

e.F(0.6950)=-0.001221075；

F(0.686924)=-0.0046769

此時(shí)可以看到F(0.6950)已經(jīng)很接近0，說明0.6950接近真實(shí)解；

利用精確度是1%此時(shí)F(0.6950)=-0.001221075精確度0.1%可以停止迭代。

f.取ζ=0.6950，精確值為0.6975

4 結(jié)語

對(duì)實(shí)際的建筑結(jié)構(gòu),其數(shù)學(xué)模型難以用數(shù)學(xué)分析得出解析解,須按數(shù)值計(jì)算方法尋求近似解，迭代法是數(shù)值計(jì)算中最常用的方法。本文僅介紹了建筑結(jié)構(gòu)中對(duì)稱配筋矩形截面小偏心受壓構(gòu)件有效又有特色的數(shù)值解法。此法同樣可用于求解建筑結(jié)構(gòu)中其他有關(guān)高次方程的問題。通過對(duì)比三種計(jì)算方法及分析算例可以得到以下結(jié)論。

①利用改進(jìn)的牛頓法與黃金分割法對(duì)小偏心構(gòu)件相對(duì)受壓區(qū)高度的計(jì)算，可以得到簡(jiǎn)化公式更加精確的解。

②對(duì)于小偏心構(gòu)件的計(jì)算，改進(jìn)的牛頓迭代法雖然求解速度較快且較精確，但是其對(duì)于第一次迭代的初值要求嚴(yán)苛，然而不是所有建筑結(jié)構(gòu)中的高次方程都有比較準(zhǔn)確的估值。因此，相比之下黃金分割法更適合應(yīng)用于特殊情況。

③黃金分割法更適用于計(jì)算機(jī)編程，通過計(jì)算機(jī)并行計(jì)算，可以對(duì)已有進(jìn)行算法優(yōu)化。