彭軍龍，王夢瑤，彭超，胡珂

(長沙理工大學(xué) 交通運(yùn)輸工程學(xué)院，湖南 長沙410114)

工程項(xiàng)目的施工工期始終是國內(nèi)外建筑行業(yè)研究的重要內(nèi)容。近年來，我國重大突發(fā)事件頻發(fā)，而臨時(shí)救援場所、道路橋梁恢復(fù)和應(yīng)急醫(yī)院等工程需要每一個(gè)建設(shè)者做出快速反應(yīng)。由于事件的緊迫性，以新冠疫情下火神山醫(yī)院與雷神山醫(yī)院為例[1]，舉全社會之力提供大量資源在極限的工期內(nèi)保質(zhì)保量地快速建成。2座應(yīng)急醫(yī)院的建造速度令世界震驚，但是在大量人、財(cái)、物資源集聚，即資源寬容條件下，如何將項(xiàng)目的工期壓縮到極限就變成了一個(gè)可研究的問題。目前，工程項(xiàng)目管理中，學(xué)者們研究主要集中在“資源約束?工期最短”[2-4]，即在資源約束條件下，滿足項(xiàng)目各工作間緊前緊后的關(guān)系，合理安排工作開始時(shí)間，使工程項(xiàng)目工期最短，這已被證明為NP-hard問題[5]。然而在國內(nèi)新冠疫情及“十四五”規(guī)劃中創(chuàng)新驅(qū)動發(fā)展[6]的背景下，從資源寬容這一新的視角，對工程項(xiàng)目的極限工期進(jìn)行深入研究是十分必要的。研究過程中發(fā)現(xiàn)，即使資源寬容條件下，在管理[7-8]、技術(shù)[9-10]和環(huán)境[8,11]等方面，仍存在著許多影響項(xiàng)目極限工期實(shí)現(xiàn)的因素，而本文僅聚焦于有限工作面上勞動力均衡這一因素。這是因?yàn)樵谫Y源寬容條件下，由于工作面的限制，勞動力均衡也是影響項(xiàng)目極限工期實(shí)現(xiàn)的重要因素?；诖?，本文引入勞動力均衡隨機(jī)系數(shù)來衡量勞動力均衡的程度，建立以極限工期為目標(biāo)的勞動力均衡模型，設(shè)計(jì)基于標(biāo)準(zhǔn)粒子群算法的模型求解方法，得到勞動力趨于均衡時(shí)工程項(xiàng)目的極限工期。

1 問題描述

1.1 問題假設(shè)

為了方便問題的研究，建立以下假設(shè)：

1)本文在資源寬容條件下實(shí)現(xiàn)項(xiàng)目的極限工期不影響工程項(xiàng)目的質(zhì)量，并且為了求得極限工期的精確性，各工作的持續(xù)時(shí)間不取整，將其保留一位小數(shù)；

2)項(xiàng)目中各個(gè)工作的運(yùn)行過程不可中斷，且各個(gè)工作面上的工程量固定不變；

3)在資源寬容條件下，項(xiàng)目中各個(gè)工作面上勞動力分配量是相互獨(dú)立的，不存在因勞動力缺失而導(dǎo)致某工作推遲或者無法按正常的計(jì)劃進(jìn)行；

4)當(dāng)勞動力不均衡時(shí)，每個(gè)工作面上勞動力分配量大于或小于勞動力需求量相同單位量時(shí)對工期的影響程度相同。

1.2 符號定義

設(shè)某項(xiàng)目由工作V=[V0,V1,V2,…,Vn,Vn+1]組成，其中0和n+1分別表示項(xiàng)目的開始和結(jié)束，即表示不消耗時(shí)間和資源的2個(gè)虛工作，工作Vi(i=1,2,…,n)的持續(xù)時(shí)間和開始時(shí)間表示為di和si，且d0=dn+1=0；項(xiàng)目的工期T由虛工作Vn+1的開始時(shí)間sn+1表示；工作Vi中的勞動力總分配量、總需求量及產(chǎn)量定額分別為：Ri，Qi和Ei，其中Qi和Ei為常量；Ri為變量；工作Vi的工程量表示為Ci。

本研究中實(shí)現(xiàn)項(xiàng)目極限工期的目標(biāo)是在有限的工作面上勞動力均衡的前提下，為了衡量工作面上勞動力均衡的程度，即勞動力的分配量與一定的需求量之間的偏差大小，本文引入勞動力均衡隨機(jī)系數(shù)K。由于本文出現(xiàn)勞動力不均衡的2種情況為：Ri>Qi與Ri

其中：Ki為每個(gè)工作面上勞動力均衡隨機(jī)系數(shù)，當(dāng)Ki越來越接近1時(shí)，勞動力越來越均衡；當(dāng)Ki=1時(shí)，即Ri=Qi時(shí)，勞動力完全均衡，達(dá)理想狀態(tài)；zmax為大于1的常數(shù)，表示為能夠接受的最大勞動力均衡隨機(jī)系數(shù)。在有限的工作面上，考慮到安全距離及工作效率，本研究取zmax=1.5。

1.3 模型建立—以極限工期為目標(biāo)的勞動力均衡模型

基于以上假設(shè)和分析，本文通過在有限的工作面上不斷地優(yōu)化調(diào)整勞動力的分配量，減少勞動力分配量與一定的需求量間的偏差，使資源量分配量與需求量趨于均衡，最終實(shí)現(xiàn)工程項(xiàng)目的極限工期。故模型的目標(biāo)函數(shù)為式(2)，T代表極限工期：

目標(biāo)函數(shù)的計(jì)算步驟如下。

Step 1：根據(jù)有限工作面上能夠接受的最大不均衡系數(shù)zmax，則符合勞動力分配方案的分配量應(yīng)限制在2個(gè)已知常量最大值max Ri與最小值min Ri之間，其他方案不再予以考慮，則勞動力在工作i中的最佳總需求量為：

Step 2：根據(jù)Qi與勞動力均衡隨機(jī)數(shù)表達(dá)式(1)計(jì)算Ki。

Step 3：結(jié)合以上步驟計(jì)算工作的持續(xù)時(shí)間di。

Step 4：根據(jù)工作的持續(xù)時(shí)間，應(yīng)用關(guān)鍵路徑法，確定關(guān)鍵路徑CP，求出工期sn+1。

約束條件為

其中：式(5)控制勞動力的分配量進(jìn)行調(diào)整時(shí)不能超出范圍，確保有意義優(yōu)化；式(6)～(7)工程項(xiàng)目中各個(gè)工作的持續(xù)時(shí)間與勞動力非負(fù)約束。

2 模型求解的算法設(shè)計(jì)

粒子群算法(Particle Swarm Optimization，PSO)是由EBERHART等提出的一種仿生進(jìn)化算法[12]，被證明其具有簡便、易實(shí)現(xiàn)和魯棒性好等優(yōu)點(diǎn)[13-14]。由于本文所要研究的問題，在資源寬容條件下，通過解決項(xiàng)目中各個(gè)有限工作面上的勞動力均衡，從而實(shí)現(xiàn)工程項(xiàng)目極限工期，本質(zhì)上屬于工期優(yōu)化問題。因此，本文基于標(biāo)準(zhǔn)粒子群法，通過對進(jìn)化方程及慣性權(quán)重參數(shù)進(jìn)行改進(jìn)，設(shè)計(jì)出符合本研究模型相應(yīng)的求解算法，最終有效地解決本研究勞動力均衡時(shí)工程項(xiàng)目極限工期的問題。

2.1 編碼方案

在資源寬容條件下，本文建立的以極限工期為目標(biāo)的勞動力均衡模型。假設(shè)目標(biāo)問題的N維可行解搜索空間中有M個(gè)粒子，其中：N代表該問題中的工作數(shù)目，M代表粒子群規(guī)模大小，即粒子個(gè)數(shù)。粒子i當(dāng)前飛行速度表示為Vi(t)=(vi1,vi2,…,viN)；粒子i當(dāng)前位置表示為Xi(t)=(xi1,xi2,…,xiN)，是該目標(biāo)問題的一個(gè)可行解，其中xij(i=1,2,…,M;j=1,2,…,N)的值對應(yīng)工作的實(shí)際勞動力分配量。粒子i下一個(gè)時(shí)刻的速度Vi(t+1)取決于當(dāng)前速度Vi(t)，自身最佳位置Pi(t)與全局最佳位置Pg(t)，該粒子經(jīng)過速度更新移動到下一個(gè)位置Xi(t+1)，粒子在空間中的位置移動機(jī)制如圖1所示[14]。[xjmin,xjmax]為粒子在空間j維上的活動范圍，xjmin表示工作i最小勞動力分配量，xjmax表示工作i的最大勞動力分配量。粒子在搜索空間上不斷地優(yōu)化更新，逐步達(dá)到粒子的最佳位置，即項(xiàng)目各個(gè)工作面上的最佳勞動力分配方案，此時(shí)的適應(yīng)度值為優(yōu)化后的極限工期。

圖1 粒子在空間中的位置移動機(jī)制Fig.1 Mechanism of particle movement in space

2.2 粒子群算法進(jìn)化方程的改進(jìn)

在對粒子群算法進(jìn)化方程進(jìn)行改進(jìn)時(shí)，本文從實(shí)際工程項(xiàng)目的角度出發(fā)，一個(gè)工程中勞動力的數(shù)量要求為整數(shù)，那么xij所對應(yīng)工作面上勞動力實(shí)際的分配量應(yīng)為一個(gè)整數(shù)。因此，調(diào)整后的進(jìn)化方程為：

式中：ω是慣性權(quán)重值；c1和c2是自身認(rèn)識學(xué)習(xí)和社會學(xué)習(xí)的2個(gè)速度因子；r1和r2是2個(gè)隨機(jī)數(shù)，一般在[0,1]區(qū)間中取值；t=1,2,…,G是迭代次數(shù)，而G是最大的迭代次數(shù)。

通過式(8)~9)進(jìn)行速度與位置更新，即不斷調(diào)整勞動力的分配量，以達(dá)每個(gè)工作面上勞動力趨于均衡。

2.3 慣性權(quán)重ω的參數(shù)改進(jìn)

由于標(biāo)準(zhǔn)的粒子群算法中的ω為固定值，很可能出現(xiàn)粒子早熟而導(dǎo)致局部最優(yōu)的現(xiàn)象。因此，為了提高算法對該研究模型的求解精度和收斂速度，本文采用動態(tài)ω。該動態(tài)ω是由文獻(xiàn)[15]在引入聚焦距離變化率概念并將其定義的基礎(chǔ)上，對慣性權(quán)重進(jìn)行動態(tài)調(diào)整，即：

式中：k是聚焦距離的變化率；MaxDi st是最大的聚焦距離；Mean Dist是平均的聚焦距離；r是[0,1]區(qū)間內(nèi)均勻分布的隨機(jī)數(shù)；一般取α1=0.3，α2=0.2。

2.4 模型求解的算法步驟

綜上所述，本文針對以極限工期為目標(biāo)的勞動力均衡模型設(shè)計(jì)的算法流程如下。

1)算法執(zhí)行前準(zhǔn)備工作：輸入目標(biāo)函數(shù)及約束，讀取案例各工作的數(shù)據(jù)，設(shè)置該算法的各項(xiàng)參數(shù)；

2)初始化和適應(yīng)度值計(jì)算：根據(jù)項(xiàng)目的具體情況，對所有粒子的速度與位置初始化，形成一個(gè)初始矩陣；

3)迭代進(jìn)化更新：在式(10)～(11)的基礎(chǔ)上得到動態(tài)慣性權(quán)重ω，根據(jù)進(jìn)化更新公式(8)～(9)對群體中所有粒子進(jìn)行速度與位置更新，并計(jì)算此次迭代后的適應(yīng)度值；

4)評價(jià)粒子判優(yōu)劣：每次進(jìn)化迭代后，對各粒子的適應(yīng)度值進(jìn)行比較，得到pi與pg，進(jìn)入下次迭代；

5)迭代終止條件設(shè)置：當(dāng)?shù)螖?shù)滿足最大迭代次數(shù)G時(shí)，則終止算法進(jìn)程，最終輸出結(jié)果T(pg b est)，Ri，di和Ki；否則，轉(zhuǎn)3)繼續(xù)迭代；

6)結(jié)束。

具體求解流程如圖2所示。

圖2 改進(jìn)的粒子群算法求解流程Fig.2 Improved PSO solution flow

3 算例分析

3.1 工程項(xiàng)目案例

以某段公路工程項(xiàng)目為例，共有20個(gè)工作，合同工期為350 d。由于每個(gè)工作的計(jì)量單位不同，并且大部分工作又包含多個(gè)具體施工內(nèi)容，所以為了方便研究，現(xiàn)將各項(xiàng)工作的工程量抽象為無計(jì)量單位的綜合工程量，對應(yīng)的人工產(chǎn)量定額為綜合人工產(chǎn)量定額。根據(jù)各項(xiàng)工作間邏輯關(guān)系，繪制了網(wǎng)絡(luò)計(jì)劃圖，如圖3所示，各項(xiàng)工作的相關(guān)參數(shù)如表1所示。

表1 各項(xiàng)工作相關(guān)參數(shù)Table 1 Work-related parameters

圖3 項(xiàng)目雙代號網(wǎng)絡(luò)計(jì)劃圖Fig.3 Project double generation network plan

3.2 算例求解結(jié)果

在MATLAB R2017b環(huán)境下，本文導(dǎo)入實(shí)例的相關(guān)數(shù)據(jù)，并對基于改進(jìn)粒子群算法的模型求解流程進(jìn)行編碼。初始參數(shù)設(shè)置如下：搜索空間維數(shù)為N=20；種群的規(guī)模為M=50；初始慣性權(quán)重設(shè)置為：ωmax=0.95,ωmin=0.25；學(xué)習(xí)系數(shù)c1=c2=2；最大迭代次數(shù)G=200。算法運(yùn)行50次，結(jié)果如表2所示。

迭代結(jié)果可知，該項(xiàng)目極限工期為253.26 d，相較于合同工期提前了27.64%。此時(shí)該項(xiàng)目的關(guān)鍵線路為①→②→③→④→⑧→⑩→○12→○15→○16→○17→○18，對應(yīng)的進(jìn)度計(jì)劃橫道圖如圖4所示。

圖4 項(xiàng)目進(jìn)度計(jì)劃橫道圖Fig.4 Bar chart of project schedule

在各項(xiàng)工作不均衡系數(shù)Ki的基礎(chǔ)上得到了均衡性偏差ΔKi，具體數(shù)據(jù)如表2所示。除了人機(jī)配合的工作外，均不超過0.100，表明各項(xiàng)工作勞動力趨于均衡的基礎(chǔ)上實(shí)現(xiàn)項(xiàng)目極限工期。因此，得到的項(xiàng)目最佳人工分配方案及極限工期具有較好的可靠性。此外，求解過程是逐步收斂，大約25代以后已經(jīng)保持收斂達(dá)到最優(yōu)解，驗(yàn)證了模型和算法解決工程項(xiàng)目實(shí)際問題的可行性。

表2 計(jì)算結(jié)果Table 2 Calculation results

3.3 求解結(jié)果與計(jì)算效率對比分析

為進(jìn)一步驗(yàn)證改進(jìn)粒子群算法的優(yōu)越性，使用標(biāo)準(zhǔn)的粒子群算法，再次對同一個(gè)案例進(jìn)行模擬仿真，參數(shù)設(shè)置與本文改進(jìn)的粒子群算法一致。2種算法的性能對比表及進(jìn)化曲線對比分別如表3與圖5所示。

圖5 算法進(jìn)化過程對比Fig.5 Comparison of evolutionary processes

表3 算法對比結(jié)果Table 3 Comparison results

試驗(yàn)結(jié)果表明，本研究針對模型改進(jìn)粒子群算法的求解結(jié)果及計(jì)算效率較優(yōu)于標(biāo)準(zhǔn)的粒子群算法：在目標(biāo)函數(shù)值方面，改進(jìn)粒子群算法求得的極限工期為253.26 d，少于標(biāo)準(zhǔn)粒子群算法的256.49 d，精確性較強(qiáng)；在收斂速度方面，具有動態(tài)慣性權(quán)重的粒子群算法在25代保持收斂達(dá)最優(yōu)解，比標(biāo)準(zhǔn)的粒子群算法收斂速度快了5.2倍，效率較強(qiáng)。由此可見，本文提出改進(jìn)粒子群算法在實(shí)際案例求解時(shí)表現(xiàn)出明顯的優(yōu)越性。

4 結(jié)論

1)引入的勞動力均衡隨機(jī)系數(shù)，通過衡量有限工作面上勞動力均衡程度，能夠有效地對勞動力進(jìn)行優(yōu)化調(diào)整，減少勞動力分配量與一定需求量之間的偏差，使勞動力趨于均衡。

2)在實(shí)際工程項(xiàng)目仿真中，建立的以極限工期為目標(biāo)的勞動力均衡模型以及模型求解算法，能夠獲得最佳勞動力分配方案的基礎(chǔ)上實(shí)現(xiàn)項(xiàng)目的極限工期。模擬仿真結(jié)果不僅驗(yàn)證了該模型的簡單可操性，也表明了具有動態(tài)變慣性權(quán)重的粒子群算法在進(jìn)行模型求解的過程中，搜索精度及效率較高。

3)本研究結(jié)果不僅豐富了工程項(xiàng)目極限工期相關(guān)理論，而且為管理者實(shí)現(xiàn)工程項(xiàng)目極限工期提供了及時(shí)的科學(xué)依據(jù)。在未來研究中，將全面考慮資源寬容條件下影響項(xiàng)目極限工期的其他因素，以期綜合效應(yīng)下進(jìn)一步追求項(xiàng)目的極限工期。