馬朝永，申宏晨，胥永剛，張坤

(1.北京工業(yè)大學(xué),北京 100124；2.北京市精密測控技術(shù)與儀器工程技術(shù)研究中心，北京 100124)

滾動(dòng)軸承是機(jī)械設(shè)備重要的基礎(chǔ)部件，也是很容易發(fā)生故障的部件?；谡駝?dòng)分析的軸承故障特征提取方法取得了長足發(fā)展并在實(shí)踐中得到廣泛應(yīng)用[1]。奇異值分解將包含信息的矩陣分解至一系列正交子空間中，通過選取合適的奇異值提取信號中的特征成分。奇異譜分析源于奇異值分解，其在時(shí)間序列上構(gòu)建特定矩陣[2]，將原始序列分解為若干可解釋分量的總和并從復(fù)雜信號中提取特定分量[3]。文獻(xiàn)[4]將奇異譜分析應(yīng)用于滾動(dòng)軸承故障診斷，通過選取信號的主成分重構(gòu)信號從混疊強(qiáng)噪聲的信號中提取故障特征[5]，嵌入維數(shù)的選擇是奇異譜分析的重點(diǎn)與難點(diǎn)。

奇異譜分解(Singular Spectrum Decomposition，SSD)可以對非線性非平穩(wěn)時(shí)間序列進(jìn)行自適應(yīng)分解，能夠自適應(yīng)地設(shè)置軌跡矩陣的嵌入維數(shù)并用于重構(gòu)分量的特征向量組，從而有效提取機(jī)電設(shè)備振動(dòng)信號中的故障特征[6-7]。文獻(xiàn)[8]以優(yōu)化后的最小熵解卷積調(diào)整對信號進(jìn)行預(yù)處理，提出了改進(jìn)的奇異譜分解方法，降低了模態(tài)分量中的噪聲并增強(qiáng)了所提取分量的信噪比。文獻(xiàn)[9]提出了增強(qiáng)型奇異譜分解方法，對振動(dòng)信號進(jìn)行微分處理以提高信噪比，并將每個(gè)奇異譜分量集成在一起獲得增強(qiáng)的奇異譜分量從而增強(qiáng)故障特征。文獻(xiàn)[10]利用奇異值差分譜對信號重構(gòu)過程進(jìn)行改進(jìn)，提高了奇異譜分解的降噪能力。上述研究雖在降低噪聲、增強(qiáng)分量的信噪比上做出了努力，但都沒有從理論上解決奇異譜分解存在的模態(tài)混疊問題。

因此，以奇異譜分解本身的迭代過程為框架，依據(jù)迭代過程中劃分的頻段及重構(gòu)分量時(shí)特征向量的選擇來改變嵌入維數(shù)的確定準(zhǔn)則，提出了優(yōu)化奇異譜分解 (Optimized Singular Spectrum Decomposition,OSSD)，并嘗試將其應(yīng)用于滾動(dòng)軸承的故障診斷。

1 奇異譜分解基本原理

奇異譜分解是一種非線性非平穩(wěn)信號處理方法，能夠自適應(yīng)地提取具有物理意義的奇異譜分量。實(shí)現(xiàn)步驟如下：

1)若原始信號的離散形態(tài)為x(n)，n=1,2,…,N，其中N為信號長度；令z(n)為待處理信號，當(dāng)?shù)鷺?biāo)簽j=1時(shí)，z(j)(n)=x(n)。

2)將z(j)(n)頻譜中峰值最大的頻率設(shè)置為主峰頻率fmax，構(gòu)建一個(gè)具有疊加高斯函數(shù)的譜模型擬合功率譜密度的輪廓并估計(jì)主峰帶寬2Δf。

3)當(dāng)j=1時(shí)，若fmax遠(yuǎn)小于采樣頻率fs，首次迭代截取的頻段可以視為趨勢項(xiàng)。此時(shí)，令嵌入維數(shù)M=N/3，M為正整數(shù)且滿足11或不滿足上述條件時(shí)，令M=1.2fs/fmax。

4)令軌跡矩陣P(M×N)的第i行為pi={(z(j)(i),…,z(j)(N),z(j)(1),…,z(j)(i-1)}，i=1,2,…,M。

如果令A(yù)={1,2,3,4,5}，嵌入維數(shù)M=3，則軌跡矩陣P可表示為

(1)

左側(cè)主矩陣對應(yīng)于奇異譜分析中使用的標(biāo)準(zhǔn)軌跡矩陣。P形式的優(yōu)點(diǎn)是增強(qiáng)了時(shí)間序列z(n)的振蕩成分，保證迭代剩余分量的能量呈遞減趨勢。將矩陣P的右下角元素搬移至左上角，得到改進(jìn)后的軌跡矩陣Q為

(2)

各對角線元素相同且數(shù)量相等，其緣由是重構(gòu)過程中的對角線平均法需要軌跡矩陣如此的新定義。另外值得注意的是，當(dāng)首次迭代的序列確定為大趨勢項(xiàng)時(shí)，軌跡矩陣應(yīng)為奇異值分解的標(biāo)準(zhǔn)形式，而不是新定義的形式。

5)對于矩陣Q，存在一對正交矩陣U和V使Q=USVT，其中S為對角矩陣，則矩陣Q可表示為Qi的組合，即

(3)

式中：σi為第i個(gè)奇異值；ui為矩陣U的第i行；vi為矩陣V的第i行。

7)從待處理信號z(j)(n)中去除獲得的分量序列g(shù)(j)(n)，得到殘余項(xiàng)y(n)為

y(j)(n)=z(j)(n)-g(j)(n)。

(4)

計(jì)算所得殘余項(xiàng)與原始信號之間的標(biāo)準(zhǔn)均方誤差可得

(5)

(6)

若不滿足，令z(j+1)(n)=y(j)(n)，j=j+1，重復(fù)步驟2—步驟7。

奇異譜分解的重點(diǎn)步驟為奇異譜矩陣構(gòu)造時(shí)的參數(shù)確定以及分量重構(gòu)時(shí)特征向量組的選擇，這2點(diǎn)決定了奇異譜分解對信號有用分量的提取效果。奇異譜分解的流程如圖1所示。

圖1 奇異譜分解流程

2 優(yōu)化奇異譜分解

原始奇異譜分解中，嵌入維數(shù)的取值與每次迭代時(shí)捕獲的主峰頻率成反比，使得部分頻段提取時(shí)的嵌入維數(shù)太小，進(jìn)而導(dǎo)致用于重構(gòu)的特征向量中包含大量不屬于期待頻段的能量。另外，獲得的主峰頻率組及其頻段在實(shí)際應(yīng)用中會(huì)有相互重疊或過窄等問題。

為解決上述問題，采用基于順序統(tǒng)計(jì)濾波器[11]獲得主峰頻段[fimin,fimax]，此時(shí)對應(yīng)的帶寬為Hi=fimax-fimin。當(dāng)?shù)鷷r(shí)獲得的帶寬Hi較小時(shí)，令嵌入維數(shù)變大，所獲取奇異值的個(gè)數(shù)會(huì)增加，在左特征向量中能夠更精準(zhǔn)地選擇頻段[fimin,fimax]內(nèi)的所有特征向量組并獲得更精確的重構(gòu)分量；反之，當(dāng)帶寬較大時(shí)，令嵌入維數(shù)變小，參與重構(gòu)的奇異值和左特征向量中的特征向量組會(huì)相對減少。優(yōu)化奇異譜分解以迭代過程中劃分的頻段以及重構(gòu)分量時(shí)特征向量的選擇為依據(jù)確定新的參數(shù)，不僅可以使軌跡矩陣的構(gòu)造更加合理，還可以使分量的重構(gòu)更加準(zhǔn)確。嵌入維數(shù)重新確定為

M=jfs/Hi，

(7)

式中：Hi為第i次迭代時(shí)獲得的頻帶寬度；j為正整數(shù)。在第1次迭代過程中，首先令j=1，執(zhí)行(7)式并判斷構(gòu)造的M值是否超過N/10；若M不大于N/10，增加j并再次執(zhí)行 (7) 式，直至M值超過N/10時(shí)將當(dāng)前值確定為固定值，在隨后的迭代中不再更新j值。另外，每次迭代中的M值不得大于N/3。

上述過程為信號處理過程確定了固定的計(jì)算公式，可以使分解過程中的矩陣構(gòu)造與分量提取具有一致性。由于絕大多數(shù)信號在第1次迭代時(shí)獲得的帶寬都相對較窄并有N/10的限制，此時(shí)計(jì)算獲得的M不會(huì)太小，后續(xù)迭代時(shí)即使獲得帶寬較大時(shí)也不易獲得很小的M值，不會(huì)導(dǎo)致無法達(dá)到理想的重構(gòu)效果，亦不會(huì)計(jì)算出很大的M值，避免造成不必要的運(yùn)算過程。經(jīng)多次試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，以N/10為限定最小值的參數(shù)不僅合理，還可以在保證較好重構(gòu)效果的同時(shí)節(jié)省一定的運(yùn)算時(shí)間。

在處理強(qiáng)噪聲信號時(shí)，奇異譜分解獲得的模態(tài)分量的頻譜可能會(huì)跨越期待的頻段邊界，產(chǎn)生能量泄漏，不僅影響后續(xù)提取過程，而且影響故障診斷效果。在此，通過仿真信號展示優(yōu)化奇異譜分解的優(yōu)勢。

s=sc+η，

(8)

sc=1.2[sin(50πt)+0.8sin(100πt)]·

sin(1 600πt)+sin(1 600πt)，

式中：sc為仿真信號，采樣頻率fs=4 096 Hz，采樣點(diǎn)數(shù)N=1 024；η為噪聲，信噪比為-8 dB，能量集中在800 Hz附近。

仿真信號sc、加噪信號s及其頻譜如圖2所示。由于信號中包含了強(qiáng)噪聲，從時(shí)域波形上無法分辨仿真信號的類型與特征；頻譜中800 Hz處峰值較大的頻段包含了sc中的絕大部分能量。優(yōu)化奇異譜分解的目的是提取該頻段能量并減少能量泄漏，使最終獲得的分量中包含更少的噪聲。

圖2 仿真信號、加噪信號及其頻譜

分別采用奇異譜分解與優(yōu)化奇異譜分解處理加噪信號s，結(jié)果如圖3所示，頻譜分割為9個(gè)頻段，藍(lán)色虛線為劃分的各頻段的邊界。迭代過程中各奇異譜分量(Singular Spectrum Component,SSC)的主峰頻率與M值見表1。

圖3 加噪信號的奇異譜分解處理結(jié)果

表1 奇異譜分解迭代過程中主峰頻率及其M值

分析圖3及表1可知：

1)在奇異譜分解中，SSC1，SSC3，SSC6和SSC7分量都包含一部分期待頻段之外的成分。其中，SSC1與SSC3分量都包含800 Hz附近的信息，SSC6分量在左邊界之外有嚴(yán)重的能量泄漏，這部分能量應(yīng)當(dāng)屬于SSC7分量，出現(xiàn)了模態(tài)混疊現(xiàn)象。這種頻段劃分方法雖然在劃分頻段時(shí)避免了模態(tài)混疊，但提取的分量卻出現(xiàn)了與理論頻帶不同的情況。同時(shí)，SSC1，SSC3，SSC6,SSC7分量對應(yīng)的嵌入維數(shù)分別為6，4，3,4，較小的M值導(dǎo)致了不合適的重構(gòu)分量。另外，SSC4和SSC9分量處于頻率較高的范圍，其頻譜幾乎都位于期待頻段內(nèi)，二者的嵌入維數(shù)均為341，由M=N/3計(jì)算獲得。

2)優(yōu)化奇異譜分解獲得的9個(gè)分量的能量均集中于期待頻段內(nèi)，幾乎沒有能量泄漏。迭代過程中的M值相對較大，且不存在相同的M值，基于(7)式獲得的M值不僅增加了構(gòu)造矩陣的靈活性，也增強(qiáng)了矩陣與頻段內(nèi)信息的契合度，能量泄漏與模態(tài)混疊現(xiàn)象得到明顯抑制。優(yōu)化奇異譜分解采用了基于順序統(tǒng)計(jì)濾波器的頻譜分割法劃分頻譜來獲得主峰頻段[11]，避免了奇異譜分解可能出現(xiàn)預(yù)設(shè)頻段交叉的問題。

無論是奇異譜分解還是優(yōu)化奇異譜分解，800 Hz處的分量都作為第1個(gè)分量進(jìn)行提取，2種方法所得SSC1分量的波形如圖4所示：奇異譜分解所得SCC1分量中的噪聲較大，難以發(fā)現(xiàn)原信號中的調(diào)制特征；優(yōu)化奇異譜分解所得SCC1分量中雖然也包含噪聲，但可以明顯看出與原信號相同的周期性波峰。為量化優(yōu)化奇異譜分解的優(yōu)勢，計(jì)算了2種方法所得SSC1分量的信噪比。奇異譜分解所得SCC1分量的信噪比從原始的-8 dB增至-1.903 dB，優(yōu)化奇異譜分解所得SCC1分量的信噪比則增至3.591 dB，說明優(yōu)化奇異譜分解在邊界確定的前提下可以提取出更精確的分量。

圖4 SSC1分量的時(shí)域波形

3 工程應(yīng)用

采用美國凱斯西儲(chǔ)大學(xué)軸承數(shù)據(jù)中心的軸承外圈故障數(shù)據(jù)進(jìn)行驗(yàn)證。滾動(dòng)軸承型號為SKF6203，電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速為1 730 r/min，外圈滾道面上人為制造的故障直徑為0.534 mm，故障軸承和加速度傳感器位于風(fēng)扇端，采樣頻率fs=12 kHz。經(jīng)計(jì)算，軸承外圈的故障特征頻率fe為88.02 Hz。原始信號數(shù)據(jù)長度為121 351，為更貼近在線監(jiān)測系統(tǒng)的應(yīng)用，將該信號進(jìn)行截?cái)啵蝗∑渲? 048個(gè)數(shù)據(jù)，截取后信號的時(shí)域波形及其頻譜、包絡(luò)譜如圖5所示。時(shí)域波形中無明顯周期性沖擊成分，包絡(luò)譜中只有外圈故障特征頻率，需進(jìn)一步處理得到更準(zhǔn)確的診斷結(jié)果。

圖5 外圈故障軸承振動(dòng)信號的時(shí)域波形、頻譜與包絡(luò)譜

采用SSD和OSSD分別處理該信號，獲得的峭度指標(biāo)最大的分量均為SSC7，即頻段為[2 121，3 182] Hz的分量。SSC7分量的時(shí)域波形、頻譜與包絡(luò)譜如圖6所示，由圖可知：

圖6 SSC7分量的時(shí)域波形、頻譜與包絡(luò)譜

1)SSD獲得SSC7分量迭代過程中的嵌入維數(shù)M=4。在時(shí)域中，難以發(fā)現(xiàn)類似軸承外圈故障的周期性沖擊成分；在頻譜中，不僅高頻部分存在模態(tài)混疊，2 000 Hz附近也存在能量泄漏現(xiàn)象，說明該分量中包含了大量噪聲，另外，逐次迭代提取分量時(shí)的模態(tài)混疊也對SSC7分量造成了很大的影響，帶走了處于該頻段內(nèi)的部分能量，導(dǎo)致該分量的幅值較低；在包絡(luò)譜中，沒有發(fā)現(xiàn)軸承外圈故障特征頻率及其諧波，難以判斷該軸承是否存在故障。

2)OSSD獲得SSC7分量迭代過程中的嵌入維數(shù)M=124。時(shí)域波形中出現(xiàn)了明顯的沖擊，相鄰沖擊的時(shí)間差Te與外圈故障特征頻率吻合，可初步判斷該軸承外圈可能存在故障；該分量的頻譜集中于期待頻段內(nèi)，幾乎沒有能量泄漏；在包絡(luò)譜中存在軸承外圈故障特征頻率及其2，3倍頻，可以判定該軸承外圈存在故障。

采用快速峭度圖處理外圈故障軸承振動(dòng)信號，結(jié)果如圖7所示：信號分為4個(gè)等級共7層，峭度最大的頻段位于第4層左數(shù)第9個(gè)區(qū)域，其中心頻率fc=3 187 Hz，帶寬Bw=375 Hz，頻帶范圍[3 000,3 375] Hz。該分量的時(shí)域波形中有較明顯的周期性諧波，但并非沖擊樣式，包絡(luò)譜中只有外圈故障特征頻率的幅值較為突出，同時(shí)存在其他頻率成分的干擾，提取效果并不理想。

圖7 外圈故障軸承振動(dòng)信號的快速峭度圖處理結(jié)果

綜上分析可知，優(yōu)化奇異譜分解方法能夠使重構(gòu)分量的頻譜與劃分的頻段基本吻合，達(dá)到較高的分解質(zhì)量并抑制模態(tài)混疊和能量泄漏現(xiàn)象，提高強(qiáng)噪聲背景下滾動(dòng)軸承故障信號的處理效果。

4 結(jié)束語

提出了一種優(yōu)化奇異譜分解方法，用于對強(qiáng)噪聲信號進(jìn)行自適應(yīng)分解，新的嵌入維數(shù)確定方法不僅提高了模態(tài)精確度，減少了分量的能量泄漏，也抑制了模態(tài)混疊現(xiàn)象。仿真和試驗(yàn)信號的分析表明優(yōu)化奇異譜分解方法合理、可靠、高效，彌補(bǔ)了原始奇異譜分解方法的缺陷，能夠有效應(yīng)用于滾動(dòng)軸承的故障診斷。

優(yōu)化奇異譜分解方法適用于噪聲較強(qiáng)的滾動(dòng)軸承振動(dòng)信號處理，能夠得到較為清晰的故障特征信息，但奇異譜分解時(shí)仍需要進(jìn)行大量的矩陣運(yùn)算，如何優(yōu)化該算法的分解過程以適用于長數(shù)據(jù)的分析是下一步的研究方向。