丁 東，王 粲，余明星

(華北科技學院，北京 東燕郊 065201)

0 引言

作為量子計算和量子信息中的一種物理資源，量子糾纏態(tài)在量子計算[1]、量子密碼學[2]、量子隱形傳態(tài)[3,4]等領域都有廣泛的應用。量子態(tài)在傳輸過程中不可避免地會受到環(huán)境噪聲的影響而產生退相干。退相干通常是指量子系統(tǒng)與環(huán)境發(fā)生相互作用，導致量子相干性的退化，在某些情況下甚至可能導致量子糾纏的消失[5,6]。因此，減輕或避免環(huán)境噪聲引起的退相干是量子信息應用中面臨的一個重要難題。

目前已有的減輕糾纏態(tài)退相干的方法及原理包括糾纏蒸餾協(xié)議[7-10]，無退相干子空間[11,12]，量子Zeno效應[13,14]和弱測量和量子測量翻轉方法[15-17]等。糾纏蒸餾協(xié)議可以從退化的糾纏態(tài)中，提取出所需的最大糾纏態(tài)。無退相干子空間是指可以從Hilbert空間中找到幺正的子空間，在這個子空間中的狀態(tài)不會受到特定環(huán)境的退相干。量子Zeno效應是指可以通過對量子系統(tǒng)不斷地測量來保持量子系統(tǒng)的初始狀態(tài)以阻止系統(tǒng)的演化，從而減輕退相干。弱測量和量子測量翻轉方法是利用弱測量可翻轉性質來克服退相干。

常見的退相干信道包括振幅阻尼信道、相位阻尼信道和去極化信道，其中，振幅阻尼退相干適用于許多真實的量子系統(tǒng)，包括具有光子損耗的真空單光子量子比特和具有自發(fā)衰變的原子量子比特等。本文主要以振幅阻尼信道為例，研究弱測量和量子測量方法在退相干信道中對糾纏態(tài)的保護作用。以Wigner的朋友實驗中使用的三粒子糾纏態(tài)作為研究對象，計算該量子態(tài)在不同退相干強度和弱測量強度下的糾纏度和保真度，探索弱測量和量子測量翻轉方法對減輕或避免振幅阻尼量子信道退相干的可行性。

1 理論原理

振幅阻尼信道是一種常見的量子信道，量子態(tài)經過振幅阻尼量子信道時會發(fā)生能量耗散，造成糾纏特性的損失。以單量子比特為例，假設量子系統(tǒng)的初始態(tài)S處于{|0〉，|1〉}基中的任意一個基態(tài)，環(huán)境E為|0〉E態(tài)，振幅阻尼退相干信道對系統(tǒng)的影響為：

|0〉s|0〉E→|0〉s|0〉E，

(1)

(2)

對應到三粒子糾纏態(tài)中，振幅阻尼退相干信道對糾纏態(tài)的作用即為Mi?Mj?Mk，i,j,k=0,1。

弱測量和量子測量翻轉方法是基于弱測量可翻轉的事實，在糾纏態(tài)經過量子信道傳輸之前先對量子系統(tǒng)的糾纏態(tài)進行弱測量，將部分|1〉態(tài)演化為|0〉態(tài)，以降低環(huán)境對糾纏態(tài)的影響，此過程用非幺正算子表示為

(3)

其中P表示弱測量強度，0≤P≤1且P為實數。對應到三粒子糾纏態(tài)中，弱測量算子可表示為

(4)

經過弱測量后的糾纏態(tài)，進入振幅阻尼退相干信道進行傳輸。到達接收方后，應用量子測量翻轉對弱測量之后的量子態(tài)進行恢復，將部分|0〉態(tài)演化為|1〉態(tài)。此過程用非幺正算子表示為

(5)

(6)

2 弱測量和量子測量翻轉的實現(xiàn)

以三方Wigner朋友實驗[21]中的糾纏態(tài)

|φ〉abc=[cosθ(|001〉+|010〉-|100〉)

(7)

作為量子系統(tǒng)的初始態(tài)。假設三粒子糾纏態(tài)經過振幅阻尼信道分別分別發(fā)送至Alice、Bob和Charlie的實驗室，此時考慮由于糾纏態(tài)與環(huán)境相互作用產生的退相干。接下來，我們采用弱測量和量子測量翻轉方法[22]來避免或減輕糾纏度在振幅阻尼信道中的衰減。

首先考慮不使用弱測量和量子測量翻轉方法的情況，三粒子糾纏態(tài)|φ〉abc經振幅阻尼退相干后，演化為

(8)

其中ρφabc=|φ〉abc〈φ|abc，為表述簡單起見，我們假設三個振幅阻尼量子信道具有相同的退相干強度λ，進而得到系統(tǒng)經過振幅阻尼退相干信道后的密度矩陣

(9)

我們采用計算糾纏度來量化振幅阻尼量子信道對量子態(tài)的影響?？紤]三體糾纏度量[23]

(10)

(11)

接下來，考慮使用弱測量和量子測量翻轉方法給出針對量子態(tài)|φ〉abc克服退相干的效果。在量子態(tài)進行傳輸之前，首先對|φ〉abc進行弱測量，令三個粒子具有相同的弱測量強度P，得到態(tài)

(12)

隨后，經過振幅阻尼量子信道，同樣假設三個量子信道具有相同的退相干強度λ，從而得到密度矩陣

(13)

(14)

得到經過弱測量和量子測量翻轉后的量子系統(tǒng)密度矩陣

(15)

(16)

為直觀起見，我們繪制可視化圖像做進一步分析，如圖1所示。圖1(a)為弱測量和量子測量翻轉前糾纏態(tài)的糾纏度隨角度θ和退相干強度λ的變化；圖1(b)為弱測量和量子測量翻轉后糾纏度隨角度θ和弱測量強度P的變化(假設振幅阻尼量子信道的退相干強度為λ=0.5)。

由圖1可知，未進行弱測量和量子測量翻轉前，糾纏度依賴于量子態(tài)參數θ和信道強度λ。λ越大，退相干程度越大，當λ達到1時，F(xiàn)123=0，初始糾纏態(tài)的糾纏特性消失。經過弱測量和量子翻轉測量后，量子系統(tǒng)的糾纏度明顯上升，且始終高于未加弱測量和量子測量翻轉的量子態(tài)，當弱測量強度P達到1時，糾纏態(tài)恢復到未進行退相干時的糾纏度F123=0.8889。

圖1 弱測量和量子測量翻轉前后糾纏態(tài)|φ〉abc的糾纏度變化圖

為進一步表明相對于初態(tài)|φ〉abc，加入弱測量和量子測量翻轉前后糾纏態(tài)的還原程度，我們計算保真度

(17)

其中，ρ表示量子系統(tǒng)經過退相干信道演化后的密度矩陣。當系統(tǒng)未進行弱測量和量子測量翻轉時，量子系統(tǒng)的保真度為

(18)

當進行弱測量和量子測量翻轉后，量子系統(tǒng)的保真度為

(19)

此時，將信道退相干強度設置為λ=0.5，我們得到弱測量和量子測量翻轉前后糾纏態(tài)的保真度如圖2所示。

圖2 弱測量和量子測量翻轉前后糾纏態(tài)|φ〉abc的保真度變化圖

由圖2可知，保真度隨振幅阻尼強度λ的增加而下降。當量子態(tài)處于無噪聲的理想環(huán)境下，即振幅阻尼量子信道的強度λ為0時，不會對糾纏態(tài)造成退相干影響，保真度仍為1；當振幅阻尼強度λ達到1時，部分糾纏態(tài)保真度降為0，且對于不同參數的量子態(tài)，退相干效果不同。經過弱測量和量子測量翻轉后，糾纏態(tài)的保真度有了顯著提高，當θ一定時，弱測量強度越大，保真度越高，甚至當弱測量強度達到1時，保真度可恢復到1。

通過計算量子態(tài)的糾纏度和保真度表明，在振幅阻尼量子信道中傳輸糾纏態(tài)|φ〉abc，弱測量和量子測量翻轉方法確實能夠保護糾纏態(tài)，減小退相干影響。

3 結論

(1) 通過弱測量對量子系統(tǒng)的初始狀態(tài)應用Kraus算子，將系統(tǒng)部分|1〉態(tài)坍縮成|0〉態(tài)，然后對經過振幅阻尼信道傳輸后的量子態(tài)應用相應的測量翻轉將部分|0〉態(tài)恢復成|1〉態(tài)，從而實現(xiàn)對系統(tǒng)糾纏特性的保護。

(2) 根據弱測量和量子測量翻轉前后量子系統(tǒng)的密度矩陣，計算相應糾纏度F123與保真度F。結果表明，弱測量和量子測量翻轉方法對保護糾纏態(tài)減少退相干的影響具有顯著效果，且弱測量強度越大，糾纏態(tài)受到退相干的影響會越小。