譚祖健 官丹萍 莫 愁 丁振偉 李曉霞

（1.廣西玉柴機器股份有限公司，廣西 玉林 537005；2.桂林電子科技大學(xué)，廣西 桂林 541004）

0 前言

基于已有產(chǎn)品銷售數(shù)據(jù)預(yù)測將來的訂單變化趨勢，進而配備合適的生產(chǎn)所需零部件庫存，并制定合適的生產(chǎn)方案，能夠在很大程度上提高訂單快速交付的能力。對于如何準確地預(yù)測產(chǎn)品訂單，眾多研究者均取得過較好成果。杜瑩利用平滑指數(shù)模型優(yōu)化了某汽車公司的訂單預(yù)測方法，并改善了該公司生產(chǎn)經(jīng)營流程中的重復(fù)環(huán)節(jié)，降低了庫存量，提高了效益。佟晶博將動態(tài)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法引入訂單預(yù)測模型中，建立了河蟹電商分銷系統(tǒng)，該系統(tǒng)能夠預(yù)測未來一段時間內(nèi)各分銷商的訂單。李浩等人構(gòu)建了一種融合VGG 網(wǎng)絡(luò)與全卷積網(wǎng)絡(luò)（FCN）的出租車多區(qū)域訂單預(yù)測模型，與基于BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的預(yù)測模型相比，該預(yù)測模型平均準確率更高且均方根誤差更低。也有一些研究的目標(biāo)并非提出成套的預(yù)測方法，而是著眼于提升預(yù)測過程中某個環(huán)節(jié)的質(zhì)量和/或簡便程度。例如DANIEL ORTIZ-ARROYO 等人在模糊邏輯預(yù)測模型中，將有序加權(quán)平均算子應(yīng)用于原始時間序列劃分并重構(gòu)，使一階預(yù)測模型精度比對比文獻高，盡管該模型精度仍達不到高階模型的水平，但仍然可以縮短計算時間。劉道元等人為了準確預(yù)測某批訂單的剩余完工時間（以便動態(tài)調(diào)整生產(chǎn)計劃、優(yōu)化制造過程），提出了一種基于自組織映射（SOM）網(wǎng)絡(luò)-特征加權(quán)模糊C 均值（FWFCM）的特征選擇算法。在現(xiàn)有的公開文獻中，直接針對發(fā)動機訂單預(yù)測進行研究的文獻數(shù)量較少。

1 模型選擇及模型特性分析

1.1 發(fā)動機訂單序列特性分析與模型選擇

根據(jù)時間先后順序?qū)⒁欢〞r間范圍內(nèi)的采樣數(shù)排列成1組或多組數(shù)列，這些時間序列可以表征某種特征變量隨著時間不斷變化的過程和趨勢。發(fā)動機月訂單數(shù)量、季度訂單數(shù)量就是一種典型的時間序列。但該時間序列在1 a 周期內(nèi)的每個月、每個季度都不是固定在某個范圍內(nèi)的，而是隨著企業(yè)產(chǎn)品質(zhì)量、企業(yè)供貨能力、客戶需求以及社會宏觀經(jīng)濟環(huán)境好壞等因素的變化呈一定規(guī)律的非平穩(wěn)變化，而且這個變化是隱含的，需要進一步挖掘才能用一定的模型來表征。由于非平穩(wěn)時間序列特征數(shù)據(jù)呈隨機變化的趨勢，其數(shù)理統(tǒng)計性質(zhì)也會隨著時間推移而發(fā)生變化，因此對這種特性的數(shù)據(jù)進行未來趨勢預(yù)測時，必須選擇能評估和處理序列中隨機擾動項、能處理數(shù)理統(tǒng)計性質(zhì)變化的模型。滿足這個要求的模型有自回歸條件異方差模型（ARCH 模型（Autoregressive Conditional Heteroskedasticity Model））、灰色模型和自回歸整合滑動平均模型（ARIMA 模型）等。其中，ARIMA 模型在建模時考慮了時間序列的自回歸特性和滑動平均特性，并進行了平穩(wěn)化處理，因此比較適合分析發(fā)動機訂單時間序列和預(yù)測未來訂單。

1.2 模型特征分析

自回歸功能可以描述一組變量在前后期的變化特征，即用前期若干時刻的隨機變量的線性組合來表征后期某時段隨機變量的線性回歸。其與用自變量預(yù)測因變量的其他線性回歸不同，該功能是用前期的預(yù)測后期的（自身）。將該自回歸模型記為（），將隨機序列記為X，其模型結(jié)構(gòu)如公式（1）所示。

式中：為時間點；為模型階數(shù)；，，…，a為自回歸系數(shù)（當(dāng)=0 時，（）去中心化）；{}為白噪聲序列。

對時間點來說，如果有? <，（Xε）=0，即如果任意小于時間點的時間點對應(yīng)的變量與白噪聲序列相乘，其數(shù)學(xué)期望均為0，則表明前面的時間序列與后面的白噪聲不相關(guān)，這是ARIMA 模型自回歸功能的基本條件和優(yōu)點。

對發(fā)動機訂單時間序列的非平穩(wěn)性特征來說，線性回歸模型等簡單模型的精度較低。自回歸模型將盡量消除白噪聲影響作為建模目標(biāo)，因此它可以獲得較高的精度。

對公式（1）來說，只有確定了系數(shù)a，其才有使用意義，否則公式（1）就是一個無窮多項式?？梢杂冒自肼曅蛄?span id="ywayaga" class="emphasis_italic">ε，ε，ε，…，ε表示隨機序列X，并將滑動平均模型記為MA（），其模型結(jié)構(gòu)如公式（2）所示。

式中：為多項式常數(shù)，由變量特征確定；為模型階數(shù)；，,…,b為滑動平均系數(shù)，且|b|<1，此處=1，2，…，。

如果設(shè)定了b的范圍，則公式（2）是收斂的。=1 的特例MA（1）如公式（3）所示。

由公式（3）可知，X為2 個擾動因子（白噪聲）ε和ε的加權(quán)平均。根據(jù)以上分析可知，MA（）模型是AR（）模型的模型階數(shù)受到某種限制時的情形。由于ARIMA 模型融合了AR（）模型和MA（）模型，且值和值的大小體現(xiàn)了這 2 個模型在 ARIMA 模型中作用的強弱，因此在應(yīng)用時需要確定值和值。

由于類似發(fā)動機訂單這樣的時間序列有明顯的趨勢性和/或季節(jié)性，因此在建立ARIMA 模型時需要先去除這2 個趨勢，再進行平穩(wěn)化處理。一般來說，進行1 次差分和2 次差分就可以剔除其中1 個趨勢和2 個趨勢。

1.3 ARIMA建模程序

使用ARIMA 模型進行訂單預(yù)測的一般步驟如下：首先，對樣本進行平穩(wěn)性檢驗，如果不平穩(wěn)，通常就進行若干次差分，直到樣本平穩(wěn)。其次，對模型進行定階，確定ARIMA（，，）（為為檢驗樣本平穩(wěn)性而進行差分的次數(shù)）中和值后即可建立模型。再次，對模型進行適應(yīng)性檢驗，達到誤差要求后才可用于預(yù)測未來變量，否則需要重新進行平穩(wěn)化處理或重新確定階數(shù)。ARIMA 建模和預(yù)測流程如圖1 所示。

圖1 ARIMA 預(yù)測建模流程

平穩(wěn)性檢驗可以判斷特征樣本隱含的是確定性趨勢還是隨機趨勢（或者二者兼有）。主要方法有以檢驗單位根為手段的笛基-福勒檢驗（Dickey-Fuller 檢驗）和以檢驗誤差項自相關(guān)或異方差為手段的菲利普斯-佩隆檢驗（Phillips-Perron 檢驗）。在對模型進行定階時，確定值和值的方法主要有自相關(guān)函數(shù)法、偏自相關(guān)函數(shù)法、赤池信息準則（Akaike Information Criterion，AIC 準則）法和貝葉斯信息準則（Bayesian Information Criterion，BIC 準則）法；模型適應(yīng)性檢檢驗的目的是評估建立的模型時間序列與樣本時間序列的相關(guān)性，評價手段是檢驗擬合殘差項{ε}是否為白噪聲。建立的模型建立的模型如果顯著有效，則表現(xiàn)為提取樣本中全部或接近全部相關(guān)信息后，殘差沒有相關(guān)性，即{ε}應(yīng)為白噪聲。通常會通過楊-博克斯Q 統(tǒng)計量檢驗（Ljung-Box Q Test，LBQ 檢驗）來評估模型是否顯著有效。

2 實例應(yīng)用及分析

以某發(fā)動機生產(chǎn)商1995—2017 年（共23 a）每季度的發(fā)動機訂單為樣本，基于以上理論，使用MATLAB 軟件編制相關(guān)程序，建立ARIMA（，，）模型，并預(yù)測未來3 a（2018—2020 年）的季度訂單。

2.1 建立一般預(yù)測模型

通過Phillips-Perron 檢驗對樣本進行平穩(wěn)性檢測的方法如下：首先，用最小二乘法估計樣本回歸模型，得到參數(shù)估計和殘差序列。其次，利用殘差自相關(guān)中的信息計算統(tǒng)計量Z，如果Z滿足設(shè)定顯著性水平的限值，則認為該樣本平穩(wěn)。在MATLAB 中調(diào)用pptest 函數(shù)進行Phillips-Perron 檢驗的程序語句為[h]=pptest（x,'model','AR'）。其中，（輸入?yún)?shù)）為檢驗的序列，該文為發(fā)動機訂單序列；'model','AR'為檢驗的模型選用AR（自回歸）模型；（即輸出參數(shù)）為測試結(jié)果的布爾決策向量，當(dāng)=1 時，表示拒絕有單位根的假設(shè)，當(dāng)=0 時，表示不能接受原假設(shè)，即模型有單位根。

將實例樣本發(fā)動機季度訂單序列作為語句中的量代入，得到=0，則該實例樣本不平穩(wěn)。因為實例樣本為季度訂單，具有典型的季節(jié)性和趨勢性，所以首先，應(yīng)以=4 的步長做1 次差分去除季節(jié)性。其次，以=1 的步長再做1 次差分去除趨勢性。最后，對差分后的時間序列進行同樣的檢驗，檢驗結(jié)果表明，該序列平穩(wěn)。

使用AIC 準則對模型定階的基本原理是針對樣本時間序列建立 ARIMA 模型，用極大似然方法估計模型參數(shù)，不同的AR 階數(shù)（值）、MA 階數(shù)（值）組合會得到不同的殘差、方差的極大似然值，最小極大似然值對應(yīng)的階次即為最優(yōu)值、值。在該實例使用AIC 準則時，根據(jù)經(jīng)驗確定最高階次為4，在MATLAB 軟件中運行AIC 準則程序得到的AIC 定階數(shù)值分布熱度圖如圖2 所示。圖2 中的數(shù)值均為熱度值，深淺不同的顏色表示不同熱度。由圖2 可知，有2 組階數(shù)組合的最小極大似然值為1.641，取階數(shù)較小者，得到最佳自回歸階數(shù)（）=3，滑動平均階數(shù)（）=3。

圖2 一般預(yù)測模型AIC 定階數(shù)值分布熱度圖

根據(jù)樣本平穩(wěn)化處理時所做的差分次數(shù)以及使用AIC法則定階時的（）階數(shù)、（）階數(shù)，可建立模型ARIMA（3，2，3）。然后用LBQ 檢驗來評估模型是否顯著有效。在MATLAB 中調(diào)用 lbqtest 函數(shù)進行檢驗的程序語句為[h]=lbqtest（reg,'Lags',1:4,'alpha',0.05）。其中，（輸入變量）為用于檢驗的殘差序列；（輸入變量）為檢驗的滯后項數(shù)目，這里分別取1、2、3 和4 共4 個項數(shù)；（輸入變量）為假設(shè)檢驗的顯著性水平，這里取0.05；（輸出變量）為檢驗結(jié)果，因為滯后項數(shù)目是4，所以這里的測試次數(shù)為4 次。在每次得出的結(jié)果中，如果=1，則表示拒絕殘差無自相關(guān)的零假設(shè)，如果=0，則表示不拒絕殘差無自相關(guān)的零假設(shè)，即說明殘差沒有自相關(guān)性。該模型的檢驗結(jié)果顯示4 個項數(shù)均有=0，可知建立的模型顯著有效。

2.2 未來訂單預(yù)測及分析

基于第2.1.3 節(jié)建立的模型，可預(yù)測2018—2020 年的季度訂單數(shù)量。在MATLAB 軟件中調(diào)用forecast 函數(shù)預(yù)測未來訂單的程序語句為[Y,YMSE]=forecast(mdl,12,'Y0',x)。其中，mdl（輸入變量）為建立的ARIMA 模型，即預(yù)測的推理依據(jù)；12（輸入變量）為預(yù)測范圍，即預(yù)測未來12 個季度的訂單；'Y0'，意為前樣本響應(yīng)數(shù)據(jù)為，即數(shù)據(jù)初值為發(fā)動機訂單序列；（輸出變量）為預(yù)測值，為的均值平方誤差。

運行此程序得到的結(jié)果如圖3 所示（”預(yù)測訂單1“部分）。為了分析預(yù)測訂單趨勢和以往實際發(fā)動機訂單的變化趨勢，該文將1995—2017 年發(fā)動機季度銷量繪制在同一圖中（即圖3“實際訂單”部分）。由圖3 可知，與實際訂單變化情況一樣，2018—2020 年的預(yù)測訂單逐年上升，且每年內(nèi)4 個季度的訂單也逐季上升，呈現(xiàn)明顯的季節(jié)性。實際訂單與預(yù)測訂單的曲線變化趨勢的一致性較好。

圖3 發(fā)動機實際訂單與預(yù)測訂單曲線

2.3 季節(jié)性預(yù)測與一般預(yù)測模型建模效果的比較分析

第2.1 節(jié)和第2.2 節(jié)是根據(jù)ARIMA 模型的一般流程來建模并分析的，而文獻[6]給出了一種在MATLAB 中直接利用arima 函數(shù)中的“Seasonality”來建立季節(jié)性模型的方法。與傳統(tǒng)方法相比，這種方法更簡潔，因為其保留了樣本的季節(jié)性，所以建模時只需要進行一次差分去除趨勢性即可。這種建模方法需要配合使用AIC 準則來判斷最優(yōu)的（）階數(shù)和（）階數(shù)，方法同第2.1.2 節(jié)所述。在MATLAB 中調(diào)用ARIMA 函數(shù)建立模型的程序語句為model=arima('D',1,'Sea sonality',4,'SARLags',i,'SMALags',j)。

語句含義為根據(jù)括號內(nèi)設(shè)置的參數(shù)建立一個ARIMA 模型。其中，'D',1 意為差分次數(shù)是1；'Seasonality',4 意為季節(jié)差分滯后算子多項式程度是4；'SARLags',i,'SMALags',j 意為（）階數(shù)和（）階數(shù)分別為由AIC 準則確定的最優(yōu)的值和值。

基于一階差分樣本得到的AIC 定階數(shù)值分布熱度如圖4所示。由圖4 可知，各組（）和（）組合對應(yīng)的極大似然值與樣本經(jīng)過2 次差分后得到的結(jié)果不同，最佳（）=4，（）=1，因此可建立模型ARIMA（4，1，1），并用LBQ 檢驗?zāi)Ｐ蜌埐?，由檢驗結(jié)果可知，該模型顯著有效。用該模型預(yù)測的2018—2020 年季度訂單數(shù)量如圖5 所示（“預(yù)測訂單 2”部分）。

圖4 季節(jié)性預(yù)測模型AIC 定階數(shù)值分布熱度圖

為分析模型可信度，該文將2018—2020 年實際的發(fā)動機季度訂單與2 種建模方法所得的預(yù)測訂單進行比較，繪制的變化曲線圖如圖5 所示。由圖5 可知，2 種方法所得的預(yù)測訂單都很好地跟隨了實際訂單的變化，且除2020 年第一季度外，季節(jié)性預(yù)測模型所得預(yù)測訂單均更接近實際訂單的變化。2 種方法所得的2020 年第一季度預(yù)測訂單與實際訂單的相對誤差分別為6.2%和9.3%，而其他季度的相對誤差均為0.9%～2.3%，誤差較小。整體分析預(yù)測值與實際值的相關(guān)性，在顯著性水平=0.05 的情況下，2 種模型的預(yù)測結(jié)果均有決定系數(shù)=0.89，在滿意范圍內(nèi)。

圖5 2018—2020 年預(yù)測訂單與實際訂單的比較

時間序列預(yù)測基于這樣一個假設(shè)：預(yù)測期與樣本采樣期的環(huán)境條件基本相同。而2020 年第一季度由于受新冠疫情影響，國內(nèi)外生產(chǎn)經(jīng)營環(huán)境嚴重惡化，樣本采樣公司當(dāng)季銷量同比增幅極小，而當(dāng)季的預(yù)測值與實際值較大誤差為9.3%。

3 結(jié)論

為了滿足快速交付訂單的客戶需求，首先，該文研究了某公司1995—2017 年（共23 a）的發(fā)動機銷量時間特性，選擇ARIMA 模型建立發(fā)動機訂單預(yù)測模型。其次，分析了ARIMA模型適用于非平穩(wěn)時間序列分析的自回歸功能、滑動平均功能和平穩(wěn)化處理特征，給出了訂單預(yù)測模型的建模步驟。再次，以某公司以往訂單為訓(xùn)練樣本，使用該模型預(yù)測了2018—2020 年3 a 的季度訂單，結(jié)果表明，預(yù)測訂單的變化曲線與以往實際銷售數(shù)量的變化曲線的一致性較好。從次，將2018—2020 年的預(yù)測訂單與實際訂單進行比較，結(jié)果顯示兩者誤差較小，決定系數(shù)較高。最后，得出該文所建立的預(yù)測模型具有較高的可信度，可以對發(fā)動機訂單進行預(yù)測。