楊文聽，易黃建，陳 躍，李小南

(1 西安電子科技大學 數(shù)學與統(tǒng)計學院，陜西 西安 710126；2 西北大學 信息科學與技術學院，陜西 西安 710127)

Pawlak提出的粗糙集理論是一種處理不確定性問題的有效工具，此外，概率粗糙集[1-2]和決策粗糙集[3-5]作為經(jīng)典粗糙集模型的重要推廣，也是處理不確定問題的一種有效方法。Yao等在粗糙集和決策粗糙集的基礎上提出三支決策理論[6-7]，作為粗糙集的一個有效改進模型，三支決策同樣是處理不確定性和復雜問題的有效工具且得到廣泛應用。Hu等在三支決策空間中提出了2種新型的三支決策，并討論了參數(shù)變化及三支決策的性質(zhì)等問題[8]；Sun等研究了在論域上基于多粒度模糊決策理論粗糙集的三支群決策[9]；Li等將包含關系推廣至一般評價函數(shù)，研究了雙論域上的三支決策，提出了一種計算閾值的方法[10]；Li等將三支決策模型從0-1表推廣到一般的信息表，研究了現(xiàn)有相關模型間的聯(lián)系，提出加權信息熵這一測度來確定閾值和最優(yōu)的三劃分[11]。

沖突是反映支持與反對的一種對立狀態(tài)，為更好地解釋沖突問題，Pawlak提出了基于粗糙集理論的沖突分析，而沖突分析與三支決策之間存在著某些天然的聯(lián)系[12-13]。因此，部分學者開始將三支決策的思想用于沖突分析的研究中[14-16]。如Lang等在決策粗糙集和三支決策理論的基礎上，通過推廣Pawlak沖突分析模型，引入了沖突分析的概率模型，使用一對閾值而不是Pawlak模型中的閾值0.5來定義聯(lián)盟、沖突和中立關系[17]；Sun等提出了一種基于粗糙集逼近算子的沖突分析方法[18]；Fan等以基于評價的三支決策模型為基礎，并運用形式概念分析中的求導算子研究了沖突分析的定量模型[19]；Yao等將Pawlak的沖突分析模型進行推廣重構，通過一個距離函數(shù)定義代理間的三支沖突模型[20]。

在分析沖突原因和尋求沖突解決辦法時，通常需要統(tǒng)計各個代理對問題的態(tài)度值，并整理成信息表。理想情況下，我們假設每個代理對問題都給出支持、中立或反對態(tài)度，即每個代理的態(tài)度值都是可獲取的，不存在缺失的情況。這樣理想狀態(tài)下獲得的態(tài)度值表，稱之為完備信息表。目前，大多數(shù)學者對沖突分析所做的研究也正是基于完備信息表，如Lang等提出基于畢達哥拉斯模糊集理論的三支群沖突分析[21]；Sun等提出基于概率粗糙集的沖突分析[22]，Yao等提出基于Pawlak模型拓展的三支沖突分析[20]；Li等提出將一般的信息系統(tǒng)推廣到三角模糊信息系統(tǒng)中，用相對面積來定義代理對問題的態(tài)度，再對問題賦予模糊權重，最后根據(jù)決策理論粗糙集計算閾值得到代理的三劃分，從而建立了三角模糊信息系統(tǒng)的沖突分析模型[23]；Bashir等提出了用博弈論和粗糙集來解決沖突[24]。但是，人類社會的沖突往往是動態(tài)復雜的，代理對問題的態(tài)度受各種因素的影響，代理可以給出明確的態(tài)度，也可以保持沉默，這就很有可能造成部分代理態(tài)度值暫時或永久的缺失，從而得到的是不完備信息系統(tǒng)[25]。Liu等提出了在不完備信息系統(tǒng)中一種新的三支決策模型[26]；Luo等提出了基于相似性和滿意度的不完備信息三支決策[27]。因此，將沖突分析從完備的信息系統(tǒng)推廣到不完備的信息系統(tǒng)是十分有意義的。本文將在不完備信息系統(tǒng)背景下，重新建立一個新的三支沖突分析模型進行問題研究。首先，介紹了完備信息系統(tǒng)下的沖突分析，在此基礎上將其推廣至不完備的信息系統(tǒng)中。其次，通過處理信息表中的缺失值定義了代理之間的沖突相似距離，進一步定義了代理之間的沖突關系，從而建立了不完備信息系統(tǒng)上的三支沖突分析模型。最后，基于決策理論粗糙集，并運用貝葉斯最小風險決策原理得到了該模型中代理三劃分所需的閾值，從而得到最為合理的決策結果。

1 相關知識

1.1 完備信息系統(tǒng)下的沖突分析

定義1[12](三值信息系統(tǒng))三值信息系統(tǒng)是一個四元組S=(U,A,Va,f)，其中U={x1,x2,…,xn}是一個非空有限代理集，A={a1,a2,…,am}是一個非空有限問題集，a(∈A)的值集Va={-1,0,+1}，f:U×A→Va是一個二元映射。

注1在以上三值信息系統(tǒng)中，用二元映射f表示代理對問題所持的態(tài)度，即?xi∈U,aj∈A，若f(xi,aj)=-1，表示代理xi對問題aj持反對態(tài)度；f(xi,aj)=0，表示代理xi對問題aj持中立態(tài)度；f(xi,aj)=+1，表示代理xi對問題aj持肯定態(tài)度。

表1是一個三值信息系統(tǒng)，其中每個代理對問題都給出了清晰明確的態(tài)度，不存在態(tài)度值缺失或暫時不明晰的情況，因此這是一個完備信息系統(tǒng)。下面介紹一個輔助函數(shù)來描述一對代理間的關系。

表1 完備三值信息系統(tǒng)

定義2[12]對每個a∈A，代理間的一個二元關系φa:U2→{-1,0,1}定義為

若φa(x,y)=1，則代理x和y對問題a持相同的態(tài)度，即代理x和y在問題a上是聯(lián)盟的；若φa(x,y)=0，則x和y至少有一個對問題a持中立態(tài)度，即代理x和y在問題a上是中立的；若φa(x,y)=-1，則x和y對問題a持有相反的意見，即代理x和y在問題a上是沖突的。

以表1為例，對于問題a1，可得

定義3[12]設S=(U,A,Va,f)是一個三值信息系統(tǒng)，問題集?≠B?A,代理x與y的距離函數(shù)

其中

定義4[17]設S=(U,A,Va,f)是一個三值信息系統(tǒng)，問題集?≠B?A,α、β是一對給定閾值且滿足0≤β<α≤1，則代理對(x,y)∈U2在問題集B上的關系如下:

定義5[17]設S=(U,A,Va,f)是一個三值信息系統(tǒng)，問題集?≠B?A,α、β是一對給定閾值且滿足0≤β<α≤1，定義代理x的聯(lián)盟、中立和沖突集如下:

1.2 概率粗糙集近似

定義6[2]設S=(U,A,Va,f)是一個信息系統(tǒng)，α、β是一對給定閾值且滿足0≤β<α≤1，則X(?U)的上下近似定義為

r(α,β)(X)={x∈U|P(X|[x])≤β}。

定義7[2]設S=(U,A,Va,f)是一個信息系統(tǒng)，α、β是一對給定閾值且滿足0≤β<α≤1，X(?U)的概率正、負以及邊界域P(α,β)(X)、N(α,β)(X)、B(α,β)(X)為

P(α,β)(X)={x|U|P(X|[x])≥α};

N(α,β)(X)={x∈U|P(X|[x])≤β};

B(α,β)(X)={x∈U|β

注2由上述定義可知，正域、邊界域以及負域的三劃分與閾值的大小密切相關。因此，可以將其運用在不完備信息系統(tǒng)的沖突分析中，從而可以得到在不完備信息系統(tǒng)中閾值的大小以確定代理的三劃分。

2 不完備信息系統(tǒng)下的沖突分析

2.1 不完備信息系統(tǒng)下的沖突相似距離

定義8[25]不完備信息系統(tǒng)是一個四元組S=(U,A,Va∪{*},f)，其中U={x1,x2,…,xn}是一個非空有限代理集，A={a1,a2,…,am}是一個非空有限問題集，a(∈A)的值集Va={-1,0,+1,*},f:U×A→Va是一個二元映射。

注3在不完備信息系統(tǒng)中，-1、0、+1表示的含義與完備信息表相同，*表示信息缺失。

對于缺失值*，它表示代理對于問題的態(tài)度，且對決策起著十分重要的作用。缺失值*可能為Va的子集，即Bai?Va,|Bai|>0。從而將不完備的信息表轉換為完備的信息表，即表2、表3。

表2 不完備信息表

表3 混合信息表

定義9設S=(U,A,Va∪{*},f)是一個不完備信息系統(tǒng)，問題集?≠B?A，則代理x和y的相似距離函數(shù)為

S(ai)(x,y)=

S(ai)(x,y)=1表示代理x和y對問題ai的態(tài)度一致且不缺失的情況下，二者間的相似程度；

S(ai)(x,y)=0表示代理x和y對問題ai的態(tài)度不一致，且其中一個代理對問題持中立態(tài)度，另外一個代理對問題的態(tài)度缺失情況下，二者間的相似程度；

S(ai)(x,y)=-1表示代理x和y對問題ai的態(tài)度不一致，一個代理對問題持支持，另外一個代理對問題持反對態(tài)度的情況下，二者間的相似程度；

定義10設S=(U,A,Va∪{*},f)是一個不完備信息系統(tǒng)，問題集?≠B?A，則代理x和y的沖突相似距離為

式中：|B|表示問題集B的基數(shù)；SB(x,y)表示代理x和y面對多個問題時，二者間的平均相似程度。

注4該定義的沖突相似距離表示的是兩個代理之間相似程度的大小。若兩個代理的沖突相似距離越大，則聯(lián)盟機率越大；反之，若沖突相似距離越小，則具有沖突的機率越大。

由以上的沖突相似距離，可得以下性質(zhì)。

性質(zhì)1(1)0≤S(x,y)≤1;

(2)S(x,y)=S(y,x);

(3)S(x,y)=1,當且僅當x=y。

例1在不完備信息系統(tǒng)中(如表2)，對缺失值進行處理可重新得到一個完整的混合信息系統(tǒng)，如表3。代理間對單個問題的態(tài)度相似程度可以通過定義9的沖突相似距離計算得到：

Sa3(x1,x2)=1,Sa4(x1,x2)=1。

表4 代理對多個問題的沖突相似距離

采用政治選舉問題表示這個不完備信息表，U={x1,x2,x3,x4,x5,x6}代表6個選民，即代理集，A={a1,a2,a3,a4}代表4個黨派，即問題集。在不完備信息系統(tǒng)的背景下，研究選民對黨派的支持與否，從而得到選民間的聯(lián)盟、中立以及沖突關系，并且它是根據(jù)以上得到的沖突相似距離而確定的。沖突相似距離越大，說明選民對黨派所表明的態(tài)度一致，因此可以判斷為聯(lián)盟機率較大；沖突相似距離越小，說明選民對黨派所表明的態(tài)度不一致，因此二者之間的沖突較大；其余則為中立者。

2.2 不完備信息系統(tǒng)下的三支沖突分析

將Pawlak模型這一完備信息系統(tǒng)推廣至不完備信息系統(tǒng)上，從而研究不完備狀態(tài)下的沖突分析情況。在不完備信息系統(tǒng)中，將沖突相似距離這個相似度作為沖突函數(shù)，從而得到代理之間的聯(lián)盟、中立以及沖突關系。

定義11設S=(U,A,Va∪{*},f)是一個不完備信息系統(tǒng)，問題集?≠B?A，?x,y∈U，則代理x與y之間的沖突函數(shù)為

沖突函數(shù)的大小在一定程度上表示了代理x與y的沖突程度。

定義12設S=(U,A,Va∪{*},f)是一個不完備信息系統(tǒng)，?x,y∈U,α、β是一對給定閾值且滿足0≤β<α≤1，x與y的沖突函數(shù)為S(x,y)，則x與y在問題集B上的關系如下:

(1)S(x,y)≥α，表示代理x與y是聯(lián)盟關系；

(2)β

(3)S(x,y)≤β，表示代理x與y是沖突關系。

定義13設S=(U,A,Va∪{*},f)是一個不完備信息系統(tǒng)，?x,y∈U,α、β是一對給定閾值且滿足0≤β<α≤1，則可定義代理的沖突、中立以及聯(lián)盟集:

(1)AL(x)={y∈U|S(x,y)≥α};

(2)NE(x)={y∈U|β

(3)CO(x)={y∈U|S(x,y)≤β}。

由定義12、13可知，所得到的聯(lián)盟、中立及沖突集與閾值有關。閾值的大小決定著代理間的關系，但當α=1時，代理間的沖突最小，聯(lián)盟意愿最強；β=0時，代理間的沖突最大，聯(lián)盟意愿幾乎沒有。

定理1設S=(U,A,Va∪{*},f)是一個不完備信息系統(tǒng)，根據(jù)定義13可知，

(1)y∈AL(x)?x∈AL(y);

(2)y∈NE(x)?x∈NE(y);

(3)y∈CO(x)?x∈CO(y)。

證明：(1)由y∈AL(x)，得S(x,y)≥α，又由性質(zhì)1得S(x,y)=S(y,x)，所以得到S(y,x)≥α，即得到AL(y)={x∈U|S(y,x)≥α}，所以x∈AL(y)。

(2)由y∈NE(x)，得β

(3)由y∈CO(x)，得S(x,y)≤β，又由性質(zhì)1得S(x,y)=S(y,x)，所以得到S(x,y)≤β，即得到CO(y)={x∈U|S(y,x)≤β}，所以x∈CO(y)。

例2根據(jù)表4的沖突相似距離結果，得到以下結果。

在表4中，由于知道每個代理對多個問題的沖突相似距離，根據(jù)定義13可得每個代理對多個問題的聯(lián)盟集、沖突集以及中立集。

若取定閾值α=0.55,β=0.4，每個代理對應的聯(lián)盟集、沖突集以及中立集如表5。

表5 每個代理在多個問題中的聯(lián)盟集、沖突集以及中立集

以上例子表明，通過沖突相似距離以及給定的閾值得到了關于每個選民的聯(lián)盟集、中立集以及沖突集，但由于給定的閾值具有隨機性，導致在一定的程度上可能存在著決策的風險。因此，下面通過決策理論粗糙集來確定閾值的大小，從而得到風險較小的決策結果。

3 基于決策粗糙集理論的沖突分析

3.1 代理的三劃分

決策理論粗糙集是在2個狀態(tài)和3個行動中運用的，特征狀態(tài)集Ω={X,┐X)，這里X表示屬于X的代理對問題持支持態(tài)度，而┐X表示不屬于┐X的代理對問題持反對或者否定的態(tài)度。D={aP,aB,aN}表示行動集，這里P、B、N表示在決策中的3種行動方式，分別決定x∈AL(X),x∈NE(X),x∈CO(X)。關于3種行為在2種狀態(tài)下的風險或成本的損失函數(shù)由一個3×2矩陣(表6)給出。

表6 不同狀態(tài)下的損失函數(shù)矩陣

在這個矩陣中，λPP、λBP、λNP表示代理在支持狀態(tài)下，在3種行動aP、aB、aN下遭受的損失。同樣，λPN、λBN、λNN表示代理在反對或者中立狀態(tài)下，在3種行動aP、aB、aN下遭受的損失。由于本文研究的是不完備信息系統(tǒng)的三值表，因此在本文中所涉及的損失函數(shù)考慮采用單值函數(shù)。

由定義9可得在不完備信息系統(tǒng)上的相似性關系。

a∈B}。

這里h表示一個閾值，只有在沖突相似距離大于h時，才會確定代理間的相似關系，從而得到兩代理之間較高的相似程度。

定義15設S=(U,A,Va∪{*},f)是一個不完備信息系統(tǒng)，對?≠B?A,則?x∈B，相似類可定義為

在不完備信息系統(tǒng)中，根據(jù)相似關系得到代理的相似類，對某一類問題可以得到代理間意見相對一致的集合，這在根據(jù)粗糙集決策理論進行三支沖突分析中更具有理論價值。

定義16設S=(U,A,Va∪{*},f)是一個不完備信息系統(tǒng)，?X?U,可基于相似關系得到條件概率

定義17設S=(U,A,Va∪{*},f)是一個不完備信息系統(tǒng)，?X?U，?≠B?A,且0≤β<α≤1。X?U的上下近似可定義為

定義18設S=(U,A,Va∪{*},f)是一個不完備信息系統(tǒng)，α、β是一對給定閾值且滿足0≤β<α≤1，則X?U的概率正域、負域、中立，即聯(lián)盟、沖突以及中立為

由定義17可知，若給定的代理集X在代理xi相似類的條件概率大于等于α時，可知代理U的某些代理是聯(lián)盟的；若給定的代理集X在代理xi相似類的條件概率在α、β之間時，可知代理U的某些代理是中立的；若假設給定的代理集X在代理xi相似類的條件概率小于等于β時，可知代理U的某些代理是沖突的。

在不完備信息系統(tǒng)中，假設λPP、λBP、λNP、λPN、λBN和λNN是損失函數(shù)，滿足λPP≤λBP≤λNP,λNN≤λBN≤λPN，則?x∈U，得到在3種行動aP、aB、aN下的期望損失如下:

根據(jù)貝葉斯最小風險決策理論可得定理2。

定理2設S=(U,A,Va∪{*},f)是一個不完備信息系統(tǒng)， ?x∈U，在3種行動aP、aB、aN下的期望損失為R(aP|x)、R(aB|x)和R(aN|x)，則

證明根據(jù)貝葉斯最小風險決策原理有

(P)R(aP|x)≤R(aB|x)?

λPN-λBN≤[(λBP-λBN)+

R(aP|x)≤R(aN|x)?

同理，得到

(B)R(aB|x)≤R(aP|x)?

R(aB|x)≤R(aN|x)?

(N)R(aN|x)≤R(aP|x)?

R(aN|x)≤R(aB|x)?

令

得到β≤γ≤α。即得到

所以，定理成立。

3.2 實例分析

例3根據(jù)例1中的政治選舉問題來分析代理之間的沖突關系，表7為政治選舉的決策損失矩陣，即λPP、λBP、λNP、λPN、λBN和λNN是損失函數(shù)，且滿足λPP≤λBP≤λNP,λNN≤λBN≤λPN。

表7 政治選舉決策損失函數(shù)

若取定h=0.3，可得每個代理的相似類，即在閾值確定的情況下得到每個代理的相似類集合

給定X={x1,x4,x5}，且X?U，由定義14得

根據(jù)定理2，由政治選舉決策損失函數(shù)可得閾值

再由定義18與定理2決策規(guī)則可得聯(lián)盟集、中立集以及沖突集

對于政治選舉，由于選民對問題所持態(tài)度不同，選民間會引起不必要的矛盾沖突。通過以上模型得到，當α=0.545、β=0.467時，選民間有一個較為合理的劃分:聯(lián)盟集為{x4,x5}，這表明選民x4、x5面對整個事件持有積極的態(tài)度；中立集{x6}，這表明選民x6對整個事件持有中立的態(tài)度；沖突集{x1,x2,x3}，這表明選民x1、x2、x3面對整個事件持有消極的態(tài)度。因此，在此事件中，以得到的選民三劃分為基礎，應充分考慮積極者面對整個事件所持有的信息數(shù)據(jù)，以預測選民間沖突演化的結果，從而為決策者提供有效的信息，這有效地避免了在信息缺少情況下出現(xiàn)的問題，也大大減小了所出現(xiàn)的決策風險，具有一定的應用價值。

4 結語

本文基于Pawlak的沖突分析模型，將Pawlak模型中完備的三值情況推廣至不完備的信息系統(tǒng)中，提出了不完備信息系統(tǒng)中的沖突分析模型。在不完備信息表中，通過對缺失值的處理，將不完備的信息系統(tǒng)轉換為完備的信息系統(tǒng)，進而研究代理間的聯(lián)盟沖突關系。本文定義了一個沖突相似距離，根據(jù)這個函數(shù)來判定代理間的沖突情況。閾值是沖突分析中一個重要的研究對象，本文根據(jù)決策理論粗糙集和貝葉斯最小風險決策原理，確定了閾值的大小，進而得到了最為合理的聯(lián)盟集、中立集和沖突集。本文是在不完備三值信息表中進行的研究，下一步的工作將推廣至模糊集中來討論研究。