■ 武漢城市職業(yè)學院初等教育學院 黎靜芳

數(shù)學課程標準（2011版）在總體目標中第一次提出了“四基”的理念和目標，特別重視數(shù)學思想及其具體實施。這對小學數(shù)學教師而言挑戰(zhàn)很大，他們除了數(shù)學思想方法的專業(yè)知識不足外，還有課堂教學中應該具備的相關理念、策略也不足；基于以上原因，我們有必要研究數(shù)學思想方法的相關問題。

數(shù)學思想方法有不同的分類，王永春教授把它們分成四類；本文探討與推理有關的“轉化思想”及其在教學中的運用和培養(yǎng)。

一、對轉化思想的理解

“轉化思想，就是指把數(shù)學中不能解決或需要解決的問題，在頭腦中經過重組和變化，與原有的知識經驗建立聯(lián)系，化歸為之前已經解決過的問題，最終使新問題獲得解決的一種手段和方法”這是張奠宙教授對轉化思想的定義。

應用轉化思想的本質就是將一個新問題轉化為舊問題、將一個繁雜的事物轉化為簡明的事物，從而揭示數(shù)學本質，最終達到優(yōu)化解題策略的過程。

二、轉化思想在教材中的體現(xiàn)

轉化思想在小學數(shù)學知識的四大領域及“數(shù)學廣角”中都有體現(xiàn)，分布在每冊教材里并不成體系，我們有必要將相關內容進行梳理，幫助教師在教學時順利把轉化思想的應用滲透給學生。

1.在學習抽象的“數(shù)及運算的意義”時運用轉化

表1對人教版教材中“數(shù)及運算的意義”教學內容進行了梳理，我們發(fā)現(xiàn)將比較抽象的“數(shù)的意義”及“運算的意義”運用實物的操作或者直觀圖展示后，可以幫助小學生更好地理解這些概念，這種化抽象為具體的轉化策略需要教師不斷滲透，學生才能在解決問題的過程中慢慢領會這種思想方法。

表1 人教版教材學習“數(shù)及運算的意義”時轉化思想應用

2.在學習四則運算法則時，將新運算轉化成已學過的運算

表2對人教版教材中四則運算法則的教學內容進行整理，發(fā)現(xiàn)利用轉化就可以把新的運算法則轉化為已經學習過的相應的法則來計算，這樣不僅優(yōu)化了解決問題的方法，也讓學生在學習新知過程中體會轉化思想方法的應用。

表2 人教版教材“四則運算的意義和運算法則”轉化思想應用

3.在各種計算中利用運算定律和性質進行轉化達到化繁為簡

例1 三年級上冊，第2單元萬以內的加減法

①兩位數(shù)加減兩位數(shù)的口算轉化：63-48=63-40-8=23-8=15；

②幾百幾十加減幾百幾十的筆算轉化：

求550-380轉化為55-38=55-30-8=25-8=17，所以550-380=170；

例2 四年級下冊，第23頁第9題，利用恒等變形把等式化簡：

1+2+3+…+98+99+100=（1+99）+（2+98）+…（49+51）+100+50=100×50+50=5050

例3 四年級下冊，第29頁例8，利用運算定律進行簡算：

12×25=（3×4）×25=3×（4×25）=3×100=300

或者12×25=（10+2）×25=10×25+2×25=250+50=300

從這三個例子可以看出，我們將新的運算轉化為已經學過的定律和性質來計算，可以達到簡算和速算以及靈活運用的目的。

4.在多邊形內角和、多邊形的面積與體積公式學習中應用轉化

以人教版為例，在圖形與幾何方面轉化思想的應用如下：

從表3我們可以看出，轉化思想在各冊教材的“圖形與幾何”這一部分基本都有體現(xiàn)。因此需要教師認真領會教材，在教學中有目的、有組織地將所運用到的轉化思想揭示給學生，進行合理滲透。

表3 圖形與幾何領域轉化思想的應用

三、轉化思想在課堂中的培養(yǎng)路徑

轉化思想的運用無時不有、無處不在，對培養(yǎng)學生的探究能力十分重要。教師要注重數(shù)學思想轉化的方式，以便呈現(xiàn)清晰的數(shù)量關系，降低學習的難度，從而提高課堂教學效果。下面探討在教學中培養(yǎng)轉化思想的幾點思路及應用原則。

1.在數(shù)學教學中使學生逐步養(yǎng)成轉化的習慣

轉化思想的形成是一個循序漸進的過程，讓學生經歷應有的歷練是形成的前提，教師在教學過程中提供時間與空間則是數(shù)學思想形成的保證。

（1）做好教師引領示范。教師的引領一方面是授課時應用轉化思想方法的示范，另一方面是教給學生進行轉化的技能，在課堂上為學生創(chuàng)造運用轉化思想的時間和空間。教師示范所展示的結論要令人信服，在解決問題的全過程中如何體現(xiàn)轉化思想則更為重要，也就是讓學生弄明白解題的思路是如何想到的、思想方法是如何運用的，通過比較反思，轉化思想方法的優(yōu)勢就能體現(xiàn)出來了。

（2）用好集體互動功能。學生數(shù)學思想的形成離不開班集體的互動，因為每個人的成長都會受到集體影響，與同學交流中獲得肯定是學生進步的動力。個體將他人的觀點與自己的方法進行比較，在相互交流和爭論中，讓多種思維方式匯集在一起，這樣轉化思想解決問題的優(yōu)勢就會顯示出來，從而讓學生開闊思路、體驗成功。這個過程讓每個學生的思維更清晰，也使班集體解題的方式更豐富，全班一起受益。

（3）發(fā)揮評價的導向作用。轉化思想的應用在數(shù)學活動的結果中往往體現(xiàn)不出來，而是呈現(xiàn)在思維方式與過程中，呈現(xiàn)在解決問題手段的有效性、策略的合理性上，因此在評價方式和內容上，教師鼓勵學生展示轉化的思維過程，通過對策略和方法的優(yōu)劣做比較，來強化和刺激學生的行為，就能很好地促進小學生轉化思想的形成。

2.轉化思想應用的原則

轉化思想的本質是在已學過的相關知識的基礎上，把繁雜問題化為簡潔的問題、把抽象事物化為具體事物、把非常規(guī)對象化為常規(guī)對象，從而達到問題解決的目的。為此，在運用轉化思想時要遵循的原則有以下幾個：

（1）數(shù)學化原則，就是把一般問題向數(shù)學問題轉化，通過建立數(shù)學模型，應用已有的知識來解決問題的方法。數(shù)學具有廣泛的應用性，利用所學知識解決生活中的問題是學習數(shù)學的目的之一。

（2）熟悉化原則，就是把陌生的事物轉化為熟知的事物。數(shù)學的學習過程就是一個把新知內化為舊知、使新問題不斷解決的過程。這個過程不僅是一個探索的過程，也是一個創(chuàng)新的過程，培養(yǎng)探索能力和創(chuàng)新精神也是課程標準所提倡的。

（3）簡單化原則，即把數(shù)量關系繁雜的問題轉化為數(shù)量關系簡單的問題。對學習者而言，復雜的問題或許能夠解決，但所經歷的過程往往會很麻煩，而經過相關的轉化后，可以尋找到一些技巧和捷徑，使解決問題的過程得到優(yōu)化。

（4）直觀化原則，即把抽象的問題轉化為直觀具體的問題。數(shù)學的特點之一是抽象性，直接解答抽象的問題難度較大，借助直觀手段把抽象問題轉化為比較具體的問題后，解決起來就比較容易了。

下面是遵循以上原則，我們利用轉化思想解決幾類典型問題的案例。

四、轉化思想的拓展應用

1.分率轉化

對于某些比較復雜的分數(shù)應用題，當題目里出現(xiàn)多個單位“1”，即有多個不同的分率時，我們應當通過轉化把它們化成單位“1”相同的分率，再根據(jù)數(shù)量關系進行解答。

例1 把一根木材裁成三節(jié)，使第一節(jié)的長度等于余下兩節(jié)的和；第二節(jié)又等當于第一節(jié)與第三節(jié)之和的一半；已知第三節(jié)長米，求這根木材長多少米？

分析與解：此題如果把木材分成三個小節(jié)分別去計算，那是相當困難的，但把全長作為單位“1”，把幾個分率進行轉化就非常簡捷了。題目說“第一節(jié)的長度等于余下兩節(jié)的和”，從全長考慮，第一節(jié)即為全長的，再從“第二節(jié)又等于第一節(jié)與第三節(jié)之和的一半”，如果把第二節(jié)看成1份，另外2節(jié)之和就是2份，從全長考慮，第二節(jié)就占全長的。第三節(jié)所對應的分率為：

答：這根木材全長4米。

2.題型的轉化

在各種轉化中，難度最大、應用范圍最廣的應是題型的轉化了。

例2 已知四個自然數(shù)A、B、C、D，它們的大小依次增加。B、C、D三個數(shù)和的正好與甲相等，A、B之和與C、D之和的是相等的。想使A、B、C、D的總和最小，而C盡可能大，D的取值是多少？

分析與解：這道題中有兩個分率，第一個分率是以B、C、D三個數(shù)的和為單位“1”，第二個分率是以丙、丁的和為單位“1”，如果用分數(shù)問題的一般解法是很困難的，我們運用轉化就可以使問題變得簡單。

題目的條件“想使A、B、C、D的總和最小”，7和11的最小公倍數(shù)77即為這四個數(shù)的最小總和。那么C、D兩個數(shù)的和為：

因為C＜D（A、B、C、D數(shù)值是依次增加的），又要“讓C盡可能大”，所以，D只能為25。

答：D應當?shù)扔?5。

3.圖形轉化

例3 已知三角形ABC的面積是40平方厘米，它的面積是平行四邊形CDEF面積的倍。求三角形EFB的面積？

分析與解：陰影三角形BEF是一個一般三角形，題目中只有一個數(shù)值40，根據(jù)這個值想得到所求三角形EFB的底和高都是不可能的。那么我們能不能找到一個三角形與所求三角形面積相等呢？如右上圖，連接E、C后發(fā)現(xiàn)：新三角形ECF和三角形BEF的底EF是相同的，而CDEF是平行四邊形，則它們的高也相等。那么，這兩個三角形面積相等，題目就轉化為求三角形EFC的面積了。

在平行四邊形CDEF中，三角形EFC的面積是平行四邊形CDEF面積的一半，所以EFB面積也就等于平行四邊形CDEF面積的一半。

通過“轉化”，列式可求出：

答：三角形EFB的面積為8平方厘米。

以上三個例題說明，我們通過恰當?shù)霓D化，就能把未知變成已知，把繁雜的問題轉化成已有的經驗，從而使問題順利得以解決。

五、結語

轉化思想是數(shù)學解題中重要的、基本的思想方法之一，許多困難問題通過轉化變得容易。教師在教學中轉化思想的滲透不僅拓寬了學生的思路，還提高了學生分析和解決問題的能力；在培養(yǎng)學生多角度考慮問題的過程中，不僅讓他們養(yǎng)成了良好的思維習慣，而且學生的思維品質得到了優(yōu)化，運用數(shù)學思想方法的能力不斷提升。