董惠敏 ，張安師，舒 浩，張 楚

(大連理工大學(xué) 機械工程學(xué)院，遼寧 大連，116024)

轉(zhuǎn)子不平衡是旋轉(zhuǎn)機械振動的主要激振源，導(dǎo)致的劇烈振動會降低機器使用壽命和效率，甚至造成安全事故，因此轉(zhuǎn)子的動平衡非常重要。常用的平衡方法有影響系數(shù)法和模態(tài)平衡法，與影響系數(shù)法相比，模態(tài)平衡法無需添加試重，但其前提是需要先識別轉(zhuǎn)子不平衡參數(shù)和軸承特性參數(shù)，包括轉(zhuǎn)子不平衡量的大小和位置信息以及軸承的剛度、阻尼信息。轉(zhuǎn)子不平衡參數(shù)和軸承特性參數(shù)的辨識方法主要有基于集中不平衡模型和分布不平衡模型兩大類?；诩胁黄胶饽Ｐ偷膮?shù)辨識方法認為不平衡質(zhì)量存在于轉(zhuǎn)子的某幾個平面上，在已知軸承特性參數(shù)的基礎(chǔ)上辨識轉(zhuǎn)子的集中不平衡參數(shù)[1-6]。通常，軸承特性參數(shù)是未知的，對此有學(xué)者提出了軸承特性參數(shù)和集中不平衡參數(shù)同時辨識的方法，鄭鋼鐵[7]和畢世華等[8]基于有限元模型，以實測軸承處振動響應(yīng)辨識轉(zhuǎn)子集中不平衡參數(shù)和軸承特性參數(shù)；姚偉[9]提出了微調(diào)轉(zhuǎn)速四測點頻域融合辨識方法，實現(xiàn)了對滑動軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)、滾動軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的剛度阻尼系數(shù)和集中不平衡參數(shù)的同時辨識；Tiwari等[10]采用有限元子結(jié)構(gòu)法同時辨識軸承特性參數(shù)和集中不平衡參數(shù)。針對轉(zhuǎn)子任意位置都可能存在不平衡的情況，Lee等[11]首次提出了轉(zhuǎn)子“連續(xù)不平衡”的概念，認為轉(zhuǎn)子的不平衡質(zhì)量是任意分布的，并用傅里葉級數(shù)表征；隨后Yang等[12]提出采用多項式曲線表征分布的不平衡質(zhì)量，并結(jié)合有限元法通過軸承處振動響應(yīng)完成了多項式曲線系數(shù)的辨識；Deepthikumar等[13]完成了轉(zhuǎn)子分布不平衡參數(shù)的辨識和一階模態(tài)動平衡，并通過實驗進行了驗證。但上述方法只能辨識分布不平衡參數(shù)，無法辨識軸承特性參數(shù)。后來Lee等[14]將傅里葉級數(shù)表征的分布不平衡與傳遞矩陣法結(jié)合，完成轉(zhuǎn)子分布不平衡參數(shù)和軸承特性參數(shù)的分別辨識，但此方法需要獲取軸的各段連接處及圓盤處的振動數(shù)據(jù)，實際實施比較困難。

針對上述問題，本文引入轉(zhuǎn)子集中不平衡參數(shù)和軸承特性參數(shù)同時辨識的思想，采用有限元法建立轉(zhuǎn)子/軸承子結(jié)構(gòu)運動微分方程，以多項式曲線表征轉(zhuǎn)子的分布不平衡，通過虛功原理將連續(xù)的廣義不平衡力轉(zhuǎn)化為節(jié)點處集中的廣義不平衡力；把子結(jié)構(gòu)運動微分方程轉(zhuǎn)換至頻域，建立軸承特性參數(shù)和多項式曲線系數(shù)的同時辨識方程，根據(jù)軸承處振動響應(yīng)即可同時辨識轉(zhuǎn)子分布不平衡參數(shù)與軸承特性參數(shù)。以一轉(zhuǎn)子軸承系統(tǒng)為例進行仿真和實驗，驗證了該參數(shù)辨識方法的有效性。

1 轉(zhuǎn)子/軸承子結(jié)構(gòu)運動微分方程

以Timoshenko梁單元、點單元和經(jīng)典軸承單元分別模擬轉(zhuǎn)軸、圓盤和軸承。其中，轉(zhuǎn)軸和圓盤組成轉(zhuǎn)子子結(jié)構(gòu)，所有軸承組成軸承子結(jié)構(gòu)，采用有限元法建立轉(zhuǎn)子/軸承子結(jié)構(gòu)運動微分方程。

對于轉(zhuǎn)軸，采用如圖1所示的兩節(jié)點Timoshenko梁單元等效，每個節(jié)點考慮沿X和Y方向的平移自由度u、v和繞X和Y軸的旋轉(zhuǎn)自由度θx、θy等4個自由度。

根據(jù)經(jīng)典梁單元理論建立軸單元運動微分方程，將所有軸單元微分方程組裝得到轉(zhuǎn)軸的運動微分方程[15]為

(1)

式中：M、G和K分別為質(zhì)量陣、陀螺陣和剛度陣，下同；下標(biāo)a表示轉(zhuǎn)軸，Ω為轉(zhuǎn)子角速度；q={u1v1θx1θy1…un+1vn+1θx(n+1)θy(n+1))T，f={fx1fy1Mx1My1…fx(n+1)fy(n+1)Mx(n+1)My(n+1)}T分別為節(jié)點處廣義位移和廣義不平衡力向量，n為軸單元數(shù)。

圖1 軸單元的Timoshenko梁單元等效示意圖

對于圓盤單元，以具有4個自由度的點單元等效，其運動微分方程為

(2)

式中下標(biāo)d表示圓盤，當(dāng)不考慮圓盤偏心時fd=0。

對于轉(zhuǎn)子子結(jié)構(gòu)，其運動微分方程由式(1)和式(2)組合得到

(3)

式中fR為轉(zhuǎn)子的廣義不平衡力，下標(biāo)R代表轉(zhuǎn)子子結(jié)構(gòu)。

對于系統(tǒng)中的軸承，以具有4個剛度系數(shù)和4個阻尼系數(shù)的經(jīng)典模型等效，建立軸承單元的運動微分方程。將所有軸承單元運動微分方程組合，得到軸承子結(jié)構(gòu)運動微分方程：

(4)

通過有限元法建立單元運動微分方程，將其組合成轉(zhuǎn)子/軸承子結(jié)構(gòu)的運動微分方程，用于建立軸承處振動響應(yīng)與分布不平衡參數(shù)和軸承特性參數(shù)的關(guān)系。

2 轉(zhuǎn)子分布不平衡力向節(jié)點集中力的轉(zhuǎn)換

以λ次多項式表征轉(zhuǎn)子沿軸向連續(xù)分布的不平衡質(zhì)量，稱為全局質(zhì)量偏心曲線，如圖2所示，其在全局坐標(biāo)系{O;XYZ}中的XOZ和YOZ平面表達為

(5)

式中Am和Bm分別為XOZ和YOZ平面的偏心曲線系數(shù)。

考慮到連續(xù)分布的廣義不平衡力難以確定，將全局質(zhì)量偏心曲線按軸單元劃分，離散為局部質(zhì)量偏心曲線，以便通過虛功原理將軸單元分布的廣義不平衡力轉(zhuǎn)換為節(jié)點處集中的廣義不平衡力。局部質(zhì)量偏心曲線在各單元局部坐標(biāo)系{oi;xiyizi}(隨轉(zhuǎn)子以角速度Ω旋轉(zhuǎn))中的xioizi和yioizi平面表達為

(6)

式中：i代表第i段軸單元，ami和bmi為xioizi和yioizi平面的偏心曲線系數(shù)，l表示軸單元長度，s為軸單元中任意一點到該單元局部坐標(biāo)系原點的距離。

圖2 轉(zhuǎn)軸偏心曲線示意圖

基于局部質(zhì)量偏心曲線，利用虛功原理將軸單元連續(xù)分布的不平衡力轉(zhuǎn)換為該單元節(jié)點的集中不平衡力。當(dāng)軸單元具有分布的偏心距xi(s)和yi(s)，微元不平衡力在X和Y軸上的投影為

(7)

式中γ為對應(yīng)軸單元單位長度的質(zhì)量。廣義不平衡力fi在虛位移δqi上的虛功為

(8)

將式(8)化簡得

fsisinΩt+fcicosΩt

(9)

根據(jù)局部和全局質(zhì)量偏心曲線在節(jié)點處的值與(λ-1)/2階導(dǎo)數(shù)值相同[12]，局部與全局質(zhì)量偏心曲線系數(shù)的關(guān)系為

φλ=TΦλ

(10)

式中:φλ為所有局部質(zhì)量偏心曲線系數(shù)構(gòu)成的向量,Φλ為全局質(zhì)量偏心曲線系數(shù)構(gòu)成的向量，且φλ={φλ1xφλ1y…φλnxφλny}T,φλnx={aλn…a1na0n},φλny={bλn…b1nb0n},Φλ={Aλ…A1A0Bλ…B1B0}T,T為局部與全局質(zhì)量偏心曲線系數(shù)之間的關(guān)系矩陣。

將式(9)推廣至所有的軸單元即可將全局的分布不平衡力轉(zhuǎn)換為節(jié)點的集中不平衡力，并將式(10)代入式(9)(去下標(biāo)i)得

fs=Ω2QDsTΦλ,fc=Ω2QDcTΦλ

(11)

3 偏心曲線系數(shù)和軸承參數(shù)同時辨識方法

3.1 偏心曲線系數(shù)和軸承特性參數(shù)同時辨識方程

基于前面建立的轉(zhuǎn)子/軸承子結(jié)構(gòu)運動微分方程和節(jié)點集中不平衡力與全局偏心曲線系數(shù)的關(guān)系，引入轉(zhuǎn)子集中不平衡參數(shù)和軸承特性參數(shù)同時辨識思想，在頻域中建立全局偏心曲線系數(shù)和軸承特性參數(shù)與軸承處振動響應(yīng)的關(guān)系，并推導(dǎo)出同時辨識方程。

廣義位移和不平衡力在頻域中可表示為：

q=QejΩt,f=FejΩt

(12)

式中：Q和F分別為廣義位移和廣義力向量，包含幅值和相位。

轉(zhuǎn)子/軸承子結(jié)構(gòu)運動微分方程在頻域中表達為

(13)

式中：QDcs=QDc-jQDs，H為廣義剛度陣，下同。

為實現(xiàn)以軸承處振動響應(yīng)同時辨識不平衡參數(shù)和軸承特性參數(shù)，首先基于子結(jié)構(gòu)法將軸承處節(jié)點的X、Y向平移自由度記為連接自由度J，其余為內(nèi)部自由度I，然后將內(nèi)部自由度振動響應(yīng)用連接自由度振動響應(yīng)等量替換，構(gòu)造同時辨識方程。

根據(jù)連接自由度和內(nèi)部自由度的劃分，轉(zhuǎn)子/軸承子結(jié)構(gòu)在頻域中運動方程可表達為：

(14)

式中：QR,J=QB,J,FR,I=Ω2QDcsITΦλ,FR,J=-FB,J+FJ=-FB,J+QDcsJTΦλ,FR,I和FR,J分別為內(nèi)部自由度與連接自由度處的集中不平衡力，QDcsI和QDcsJ分別為QDcs中內(nèi)部自由度與連接自由度對應(yīng)的行構(gòu)成的矩陣。

將式(14)中兩個運動方程組合：

(15)

忽略軸承內(nèi)部自由度，則式(15)縮減為

(16)

將式(16)展開，QR,I用QR,J等量替換，整理得到軸承特性參數(shù)和全局質(zhì)量偏心曲線系數(shù)的同時辨識方程：

Uβ+VΦλ=P

(17)

β={βkβc}T

根據(jù)建立的辨識方程，只需測量軸承處振動響應(yīng)，即可對全局質(zhì)量偏心曲線系數(shù)及軸承特性參數(shù)同時辨識。當(dāng)系統(tǒng)中存在多個軸承時，式(17)中的β和U需進行相應(yīng)改變。假定軸承特性參數(shù)不隨轉(zhuǎn)速變化，為保證式(17)有解，可通過增加轉(zhuǎn)速數(shù)來增加方程數(shù)。由于偏心曲線系數(shù)和軸承特性參數(shù)數(shù)量級相差較大導(dǎo)致方程的病態(tài)問題，可通過共軛梯度法結(jié)合列處理進行求解。

3.2 偏心曲線系數(shù)和軸承特性參數(shù)同時辨識流程

偏心曲線系數(shù)與軸承特性參數(shù)同時辨識流程如圖3所示。

圖3 全局質(zhì)量偏心曲線系數(shù)與軸承特性參數(shù)同時辨識流程

基于辨識結(jié)果，可采用模態(tài)平衡方法將轉(zhuǎn)子連續(xù)的分布不平衡質(zhì)量分解至各階模態(tài)后逐階平衡。以第i階為例，其平衡配重大小和相位可由下式計算[17]：

(18)

式中：L為轉(zhuǎn)子長度，m(Z)為轉(zhuǎn)子沿軸向質(zhì)量分布函數(shù)，Px和Py分別為位置c處在XOZ和YOZ平面配重的大小，Γxi和Γyi分別為XOZ和YOZ平面第i階振型函數(shù)，P為位置c處總配重大小，α為位置c處配重相位。

4 參數(shù)辨識仿真與實驗

首先分析轉(zhuǎn)子偏心曲線階次對參數(shù)辨識精度的影響。以一轉(zhuǎn)子軸承系統(tǒng)為例(圖4所示)，給定軸承特性參數(shù)與偏心曲線系數(shù)，模擬不同轉(zhuǎn)速下軸承處的不平衡響應(yīng)，然后采用本文提出的參數(shù)辨識方法辨識轉(zhuǎn)子分布不平衡參數(shù)和軸承特性參數(shù)，比較相同振動響應(yīng)下不同偏心曲線階次的辨識效果。

給定5次多項式描述轉(zhuǎn)子在XOZ、YOZ平面的全局質(zhì)量偏心曲線：

(19)

kxx=kyy=4×107 N/m，kxy=kyx=6×105 N/m，cxx=cyy=500 N·s/m，cxy=cyx=40 N·s/m，ρ=7 870 kg/m3，μ=0.27，

在不考慮陀螺效應(yīng)的影響的情況下，結(jié)合式(3)及式(4)在MATLAB中編程計算軸承在2 800、2 700… …2 000 r/min下的振動響應(yīng)。以此振動響應(yīng)分別辨識3次、5次、7次偏心曲線系數(shù)及對應(yīng)階次下軸承特性參數(shù)。隨機選取50個點，以辨識得到曲線與給定偏心曲線(式(19))縱坐標(biāo)的平均誤差來判斷辨識出的偏心曲線與給定偏心曲線的相似度，辨識結(jié)果如表1所示。結(jié)果表明：偏心曲線階次的選取對參數(shù)辨識結(jié)果影響較小，但是對于高次的偏心曲線需要通過增加選定轉(zhuǎn)速數(shù)量以保證其辨識精度。

表1 轉(zhuǎn)速數(shù)量和偏心曲線階次對辨識結(jié)果的影響

為驗證該辨識方法的有效性，進行了參數(shù)辨識實驗。轉(zhuǎn)子實驗臺如圖5所示。該實驗臺所用轉(zhuǎn)子與圖4所示轉(zhuǎn)子相同。采用B & K4506型三向加速度傳感器測量左右軸承處不平衡響應(yīng)的振幅；采用轉(zhuǎn)速傳感器測量左右軸承處不平衡響應(yīng)的相位，通過PULSE數(shù)據(jù)采集器將測量數(shù)據(jù)傳輸至計算機。

由于病態(tài)方程對數(shù)據(jù)的精確性要求較高，為保證辨識結(jié)果的準(zhǔn)確性,需要盡可能降低由于單次測量導(dǎo)致的隨機誤差。因此，以2 502、2 599、2 702、2 805 r/min下多次測量平均后的軸承處不平衡響應(yīng)(表2所示)進行參數(shù)辨識。全局質(zhì)量偏心曲線和軸承特性參數(shù)辨識結(jié)果如式(20)(圖6)和表3所示。

1、3—三向加速度傳感器; 2—轉(zhuǎn)速傳感器; 4—PULSE數(shù)據(jù)采集器;

表2 不同轉(zhuǎn)速下軸承處不平衡響應(yīng)

(20)

圖6 全局質(zhì)量偏心曲線辨識結(jié)果

基于上述參數(shù)辨識結(jié)果，根據(jù)式(18)計算該轉(zhuǎn)子軸承系統(tǒng)在圓盤處添加的一階平衡配重的質(zhì)徑積為4.442 9 e-4 kg·m，相位為147.301°。動平衡后軸承處振動明顯降低，在2 599、2 702和2 805 r/min轉(zhuǎn)速下左/右軸承y方向的平衡效果如圖7和8所示，平衡后左軸承y方向的降振幅度在50%左右；右軸承y方向的降振幅度在55%左右，驗證了該參數(shù)辨識方法的有效性。

表3 軸承特性參數(shù)辨識結(jié)果

(a)2 599 r/min (b)2 702 r/min (c)2 805 r/min

(a)2 599 r/min (b)2 702 r/min (c)2 805 r/min

5 結(jié) 論

1)本文采用有限元方法建立了系統(tǒng)的運動微分方程，考慮轉(zhuǎn)子存在連續(xù)分布的不平衡質(zhì)量并用偏心曲線表征，同時將轉(zhuǎn)子集中不平衡參數(shù)和軸承特性參數(shù)同時辨識思想發(fā)展到具有分布不平衡質(zhì)量的轉(zhuǎn)子軸承系統(tǒng)中，推導(dǎo)出分布不平衡參數(shù)(偏心曲線系數(shù))和軸承特性參數(shù)同時辨識方程。

2)以一轉(zhuǎn)子軸承系統(tǒng)為例進行分布不平衡參數(shù)和軸承特性參數(shù)同時辨識的仿真，討論了偏心曲線階次對參數(shù)辨識結(jié)果的影響，仿真結(jié)果表明偏心曲線階次的選擇對辨識結(jié)果影響較小。

3)搭建轉(zhuǎn)子軸承實驗臺，采用本文提出的方法進行現(xiàn)場參數(shù)辨識實驗，基于辨識結(jié)果進行了動平衡。一階模態(tài)動平衡后左、右軸承處y方向振幅分別降低約50%、55%，驗證了本文提出的辨識方法及其在模態(tài)動平衡中的有效性。