秦 雨

(西安電子科技大學 數(shù)學與統(tǒng)計學院，陜西 西安 710071)

研究具有非局部擴散的Lotka-Volterra競爭系統(tǒng)

(1)

最小波速的選擇機制，其中t>0,x∈R,ri,di,bi>0;ui=ui(x,t)表示在時間t和位置x處的種群密度；ri表示種群內部增長率；bi表示種間競爭系數(shù)；di表示擴散系數(shù)；擴散項

近年來，具有局部擴散的Lotka-Volterra競爭系統(tǒng)的最小波速選擇機制已經(jīng)得到了廣泛研究[1-9]，其中文獻[5]研究了時間周期Lotka-Volterra競爭系統(tǒng)，文獻[6-7]研究了Lotka-Volterra格競爭系統(tǒng)，文獻[8-9]研究了三種群Lotka-Volterra競爭系統(tǒng).眾所周知，Laplace擴散是一種局部擴散，只描述種群中個體影響近鄰區(qū)域的平均擴散效果，而非局部擴散可以衡量和刻畫大區(qū)域的空間擴散過程.近年來，非局部擴散模型在生物學、流行病學等多個領域備受關注[10-15].研究非局部擴散最小波速選擇機制較為困難,除了文獻[16]以外，關于具有非局部擴散的Lotka-Volterra競爭系統(tǒng)行波解的最小波速的工作較少，文獻[16]只得出線性選擇和非線性選擇的定理條件，未構造具體上下解從而得出線性選擇和非線性選擇的顯式條件.目前對具有非局部擴散的高維Lotka-Volterra競爭系統(tǒng)行波解最小波速的選擇機制仍沒有結果.受三種群局部擴散競爭系統(tǒng)最小波速選擇機制研究的引導,以及文獻[13,16]的啟發(fā)，本文研究系統(tǒng)(1)的速度選擇機制,并構造具體上下解得出線性和非線性選擇條件下各參數(shù)之間的關系.

本文主要采用文獻[2]的研究方法，將具有局部擴散的兩種群Lotka-Volterra競爭系統(tǒng)的最小波速選擇機制推廣到了系統(tǒng)(1).首先，將非局部擴散Lotka-Volterra競爭系統(tǒng)轉化為合作系統(tǒng);然后，基于行波解的存在性、比較原理及上下解方法得到系統(tǒng)最小波速選擇機制的判定定理；最后，通過構造合適的上下解推導出系統(tǒng)最小波速是線性選擇或非線性選擇的參數(shù)范圍.

1 預備知識

令u=1-u1,v=u2,w=1-u3，將競爭系統(tǒng)(1)轉化為合作系統(tǒng)：

(2)

其中，r0=1-b1-b3.初值條件為

本文假設下列條件成立：

(H3)b2>1,b1+b3<1.

假設(H3)表明物種v的競爭能力強于物種u和物種w.易知，對應的動力系統(tǒng)存在平衡點

引入一個新變量ξ=x-ct,c≥0,并定義

(u,v,w)(x,t)=(U,V,W)(ξ)

為系統(tǒng)(2)連接平衡點α1和α0的行波解，則U(ξ),V(ξ)和W(ξ)滿足：

(3)

其中(U,V,W)(ξ)稱為波廓，c稱為波速.由文獻[11]可知，存在cmin>0，當且僅當c≥cmin時，系統(tǒng)(3)存在非負單調解，在平衡點α0處線性化可得

定義1當cmin=c*時，系統(tǒng)(3)的最小波速是線性選擇的；當cmin>c*時，系統(tǒng)(3)的最小波速是非線性選擇的.

定義2如果連續(xù)函數(shù)(U,V,W)(ξ)在R上除了有限個點ξi(i=1,…,n)外都可微，并且滿足以下不等式:

(4)

且對所有ξi都有

那么(U,V,W)(ξ)稱為系統(tǒng)(3)的一組上(下)解.

引理1(行波解的存在性) 假設條件(H1)～(H3)成立，則存在一個正常數(shù)cmin，當且僅當c>cmin時，系統(tǒng)(3)存在一個解(c,U,V,W),且滿足V′>0，U′>0,W′<0.

為構造合適的上下解，下面研究其特征值問題.給定正常數(shù)y1,y2,y3和λ.令(U,V,W)(ξ)=(y1e-λξ,y2e-λξ,y3e-λξ)，代入系統(tǒng)(3)，并在α0處線性化得到

(5)

由文獻[12]知，假設條件(H1)～(H3)成立，如果系統(tǒng)(3)的波速滿足c*>0，則對每一個c>c*，特征方程F2(λ,c)=0有兩個正根λ1(c)<λ2(c).當c=c*時存在λ(c*)>0,使得F2(λ(c*),c*)=0.由文獻[13]可知，F(xiàn)i(λ,c)關于λ是凸函數(shù)，F(xiàn)1(λ,c)存在一個正根λ3(c)，F(xiàn)3(λ,c)存在一個正根λ4(c)，若λ1(c)<λ3(c),λ1(c)<λ4(c)，則F1(λ1,c)<0,F3(λ1,c)<0.

2 速度選擇機制

當c→c*時，構造系統(tǒng)(3)的一個下解.定義連續(xù)函數(shù)

其中，λ1<λ1+ε2<λ2,0<ε2?1，M是正常數(shù)，ξ0=lnM/ε2.

引理2當c=c*+ε2時連續(xù)函數(shù)(U,V,W)(ξ)是系統(tǒng)(3)的一組下解，其中U(ξ)和W(ξ)是系統(tǒng)(3)第一個方程和第三個方程在V(ξ)=V(ξ)時的下解.

證明只需要證明V(ξ)是系統(tǒng)(3)中第二個方程的下解即可.當ξ≤ξ0時，結論顯然成立,當ξ>ξ0時，有

其中，當ε2充分小時第一項F2(λ1,c)=0，第二項恒大于0.當M充分大時有y1>0且第二項指數(shù)函數(shù)可以控制第三項，最后兩項取值均為正值，故

定理1令系統(tǒng)(3)中的參數(shù)di,ri,bi(i=1,2,3)固定，其中F2(λ1,c)=0.當條件(6)成立時，系統(tǒng)(3)的最小波速是線性選擇的.

引理3如果c1>c*,假設(U,V,W)(x-c1t)≥0是微分系統(tǒng)

(7)

的下解.如果V(ξ*)(ξ*=x-c1t)單調，并且滿足

則當c∈[c*,c1]時，系統(tǒng)(3)不存在行波解.

證明假設系統(tǒng)(7)在c∈[c*,c1]時存在單調的行波解(U,V,W)(x-ct),初值滿足u(x,0)=U(x),v(x,0)=V(x),w(x,0)=W(x).

定義連續(xù)函數(shù)(U,V,W)(ξ)滿足系統(tǒng)(3).假設V(x)≤V(x)，運用到系統(tǒng)(3)可得(U,V,W)(x)≤(U,V,W)(x).由于(U,V,W)(x-c1t)是系統(tǒng)(7)的一個下解且初值為(U,V,W)(x)，則對所有的(x,t)∈(-∞,+∞)×(0,∞)，由比較原理可得

(8)

令ξ*=x-c1t,則有V(ξ*)>0,但是

故由(8)式可得V(ξ*)≤0，這與條件矛盾，于是引理得證.】

如果下列條件成立：

則(U,V,W)(ξ)是系統(tǒng)(3)的一個下解，其中

由引理3可得以下結論.

定理2令系統(tǒng)(3)的參數(shù)di,ri,bi(i=1,2,3)固定.當條件(9)成立時,系統(tǒng)(3)的最小波速是非線性選擇的.

3 速度選擇的判定定理

定理3令系統(tǒng)(3)的參數(shù)di,ri,bi(i=1,2,3)固定，且

如果

那么系統(tǒng)(3)的最小波速是線性選擇的.

易知

因此，當ε3充分小時，對所有的ξ∈(-∞,∞)有

下面討論系統(tǒng)(3)的第一個方程和第三個方程.當ξ≥ξ1且ε3→0時，有

對于ξ<ξ1，顯然有

定理4令系統(tǒng)(3)的參數(shù)di,ri,bi(i=1,2,3)固定，且

如果

則系統(tǒng)(3)的最小波速是非線性選擇的.

證明定義一組連續(xù)函數(shù)(U,V,W)(ξ)為

根據(jù)定理2，只需證明在條件(12)下，(U,V,W)(ξ)是系統(tǒng)(3)的下解.將(U,V,W)(ξ)代入系統(tǒng)(3)的第二個方程，并令ε4→0,則

易得

由定理2及(14)式可知，當ε4充分小時，對于所有的ξ∈(-∞,∞)，有

下面討論系統(tǒng)(3)中的第一個方程.因為當ε4→0時,有

根據(jù)(14)，(15)式，對所有的ξ∈(-∞,∞)，當ε4充分小時，有

綜上所述，由定理2可知結論成立.】

4 結論

本文在單穩(wěn)情況(b2>1,b1+b3<1)下，研究了非局部擴散的三種群Lotka-Volterra競爭系統(tǒng)行波解最小波速的選擇機制.首先，建立了三種群模型的最小波速選擇理論.然后，推廣文獻[16]中線性選擇的定理條件，得到了相對一般的結果.最后，通過構造出合適的上下解，得到了判斷三種群Lotka-Volterra競爭系統(tǒng)最小波速是線性選擇或非線性選擇的顯式條件.本文結果可以更有效地預測具有空間各向同性非局部擴散并爭奪相同資源的三物種的增長變化，從種群生物角度可以得到非局部擴散Lotka-Volterra模型強競爭物種的入侵速度.因此，本文工作在種群生物學中具有一定的理論意義以及實際意義.