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        基于密碼結(jié)構(gòu)完全置換多項(xiàng)式的構(gòu)造

        2022-06-06 09:09:00劉靜琰肖同飛胡道歡謝小雨曹曉玉許小芳
        湖北理工學(xué)院學(xué)報 2022年3期
        關(guān)鍵詞:秘鑰黃石研究成果

        劉靜琰,肖同飛,聶 順,雷 卓,彭 昶,胡道歡,謝小雨,曹曉玉,許小芳*

        (1.湖北理工學(xué)院 數(shù)理學(xué)院,湖北 黃石 435003;2.黃石市第十六中學(xué),湖北 黃石 435000)

        0 引言

        完全置換多項(xiàng)式是一類特殊的置換多項(xiàng)式, 具有完全平衡性、雪崩特性等良好的密碼學(xué)性質(zhì)。因此,人們積極嘗試將完全置換多項(xiàng)式應(yīng)用于密碼、編碼及其組合設(shè)計等領(lǐng)域,如基于完全置換多項(xiàng)式的Lay-Massey密碼結(jié)構(gòu)[1]、流密碼Loiss[2]、分組密碼算法SM4[3]、秘鑰擴(kuò)展算法[4]等。我國基于完全置換多項(xiàng)式研發(fā)的SM4分組密碼算法在2021年6月25日正式成為了ISO/IEC國際標(biāo)準(zhǔn)[3]。因此,研究完全置換多項(xiàng)式的構(gòu)造具有重要的理論以及實(shí)際意義。

        1942年Mann提出了完全置換多項(xiàng)式的定義,主要用于構(gòu)造正交拉丁方[5]。1957年,Hall和Paige研究了有限群上的完全置換[6]。1982年,Niederreiter和Robinson首次詳細(xì)地討論了有限域上的完全置換多項(xiàng)式[7]。隨著完全置換多項(xiàng)式的應(yīng)用領(lǐng)域越來越廣泛,其研究成果越來越多,主要集中在完全置換多項(xiàng)式的構(gòu)造方面。比較有代表性的是:含有較少項(xiàng)數(shù)的稀疏型完全置換多項(xiàng)式[8-10]、形如(xpm-x+δ)s+L(x)的基于線性化多項(xiàng)式的完全置換多項(xiàng)式[11]以及完全置換多項(xiàng)式的遞歸構(gòu)造。有關(guān)完全置換多項(xiàng)式的其他研究成果可參考文獻(xiàn)[12]。

        1 基礎(chǔ)知識

        符號F2m表示元素個數(shù)為2m的有限域,其中m是正整數(shù)。

        定義1[3]如果有限域F2m上的多項(xiàng)式f(x)誘導(dǎo)的從F2m到其自身的映射f:c→f(c)是有限域F2m上的雙射,則稱f(x)為有限域F2m上的置換多項(xiàng)式。若f(x)和f(x)+x都是F2m上的置換多項(xiàng)式,則稱f(x)為F2m上的完全置換多項(xiàng)式。

        下面給出本文證明給定多項(xiàng)式為置換多項(xiàng)式所使用的準(zhǔn)則。

        引理1[3]有限域F2m上的多項(xiàng)式f(x)是F2m上的置換多項(xiàng)式,當(dāng)且僅當(dāng)下列條件之一成立:

        1)對任意的y∈F2m,方程f(x)=y在F2m中恰有1個解。

        2)對任意的y∈F2m,方程f(x)=y在F2m中至少有1個解。

        圖1 1輪Feistel結(jié)構(gòu) 圖2 1輪L-MISTY結(jié)構(gòu) 圖3 1輪R-MISTY結(jié)構(gòu)

        2 基于4路兩重Feistel結(jié)構(gòu)和MISTY結(jié)構(gòu)完全置換多項(xiàng)式的構(gòu)造

        在Feistel 結(jié)構(gòu)、L-MISTY以及R-MISTY結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上采用4路兩重Feistel和MISTY結(jié)構(gòu)來構(gòu)造完全置換多項(xiàng)式。

        圖4 省略輪秘鑰的一類4路兩重Feistel和L-MISTY結(jié)構(gòu)

        (1)

        (2)

        圖5 省略輪秘鑰的一類4路兩重Feistel和R-MISTY結(jié)構(gòu)

        不同于圖4的另一類省略輪秘鑰的4路兩重Feistel和L-MISTY結(jié)構(gòu)如圖6所示。

        圖6 另一類省略輪秘鑰的4路兩重Feistel和L-MISTY結(jié)構(gòu)

        (3)

        (4)

        (5)

        3 總結(jié)

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