張瑞鵬 李仲勤，2 吳夢瑤

1 蘭州交通大學(xué)土木工程學(xué)院，甘肅蘭州，730070

2 蘭州交通大學(xué)測繪與地理信息學(xué)院，甘肅蘭州，730070

3陜西鐵路工程職業(yè)技術(shù)學(xué)院測繪與檢測學(xué)院，陜西渭南，714000

近幾十年來，高速鐵路建設(shè)中以橋代路的比率越來越高，由于復(fù)雜地質(zhì)條件的影響，橋梁在鐵路運(yùn)營過程中會產(chǎn)生相應(yīng)的變形。因此，橋梁變形監(jiān)測工作為高速鐵路施工提供了有力保障。影響橋梁變形監(jiān)測的主要因素有儀器精度、監(jiān)測環(huán)境和人為因素，所以監(jiān)測數(shù)據(jù)包含了真實(shí)信號和噪聲信號。其中，噪聲信號會對實(shí)際變形信息產(chǎn)生一定的影響，對噪聲信號進(jìn)行一定的消除和減弱，可以提高變形數(shù)據(jù)的精度，為后期的預(yù)測預(yù)報(bào)提供高質(zhì)量的基礎(chǔ)信息［1?4］。

本文針對橋梁變形監(jiān)測數(shù)據(jù)噪聲的特點(diǎn)，比較了小波去噪、卡爾曼濾波去噪以及小波?卡爾曼濾波、卡爾曼濾波?小波組合模型的去噪效果，并根據(jù)去噪后的數(shù)據(jù)建立了GM（1，1）模型，結(jié)合相關(guān)高速鐵路橋梁變形數(shù)據(jù)，分析模型的去噪效果和預(yù)測效果。

1 小波分析

小波變換是用小波函數(shù)系表示或逼近一個信號或者函數(shù)。小波函數(shù)系由一個基本小波函數(shù)經(jīng)過伸縮和平移得到。

設(shè)一個基本小波Ψ(t)∈L2(R)，其中，t表示時間，L2(R)表示平方可積的函數(shù)空間。其傅里葉變換滿足以下條件［4，5］：

{Ψa，b(t)}是Ψ(t)進(jìn)行平移和伸縮的小波函數(shù)集，表示如下：

式中，a、b分別表示平移和伸縮因子。

任意函數(shù)f(t)∈L2(R)的連續(xù)小波變換為：

式（3）為連續(xù)小波函數(shù)。在實(shí)際工程應(yīng)用中，變形監(jiān)測所得數(shù)據(jù)都是有限長的離散信號。為了使數(shù)值計(jì)算簡便，將連續(xù)小波函數(shù)進(jìn)行離散化。連續(xù)小波函數(shù)離散化針對的是平移參數(shù)和伸縮參數(shù)，而不是時間變量［6，7］。

令a=，b=，其 中，a>1；b0∈R；j、h∈Z。將其代入式（2），便可得到離散小波函數(shù)：

2 卡爾曼濾波

卡爾曼濾波是一種通過估計(jì)觀測值來進(jìn)行濾波的算法。由于卡爾曼濾波能夠剔除隨機(jī)干擾噪聲，獲得逼近真實(shí)信號的有用信息，因此經(jīng)常被用于多噪聲干擾的數(shù)據(jù)去噪［6］?？柭鼮V波由基本方程、觀測方程構(gòu)成，離散化形式如下：

式中，Xk是系統(tǒng)k時刻的狀態(tài)向量（n×1維）；Fkk?1是系統(tǒng)k?1時刻到k時刻的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣（n×n維）；Gk?1是系統(tǒng)k?1時刻的動態(tài)噪聲矩陣（n×r維）；Wk?1是系統(tǒng)k?1時刻的動態(tài)噪聲（r×1維）；Lk是系統(tǒng)k時刻的觀測向量（m×1維）；Vk是系統(tǒng)k時刻的觀測噪聲（m×1維）；Hk是系統(tǒng)k時刻的觀測矩陣（m×n維）。

根據(jù)最小二乘原理推導(dǎo)卡爾曼濾波遞推公式：

①狀態(tài)向量一步預(yù)測值為：

②狀態(tài)向量一步預(yù)測值方差陣為：

式中，Qk?1表示k?1時刻動態(tài)噪聲的方差陣。

③狀態(tài)向量估計(jì)值為：

式中，Jk表示濾波增益矩陣，可表示為Jk=Pkk?1HΤk(Hk Pkk?1HΤk+Rk)?1，其 中，Rk為 觀 測 噪聲的方差陣。

④狀態(tài)向量估計(jì)值方差陣為：

3 灰色理論模型

3.1 GM（1，1）模型

設(shè)非負(fù)離散數(shù)列為：

式中，n為序列長度。對x(0)進(jìn)行一次累加生成，即可得到一個生成序列x(1)={x(1)(1)，x(1)(2)，…，x(1)(n)}，對此生成序列建立如下一階微分方程，并將其記為GM（1，1）：

式中，v和u是灰參數(shù)，其白化值為a?=[vu]Τ。用最小二乘法求解，可得：

求出a?后代入式（11），解出微分方程：

或

式（13）、式（14）即為灰色預(yù)測的兩個基本模型。當(dāng)kn時，稱為模型預(yù)測值［9?12］。

3.2 GM（1，1）模型的精度評定

模型精度的評價方法有3種，分別是殘差大小檢驗(yàn)、關(guān)聯(lián)度檢驗(yàn)、后驗(yàn)差檢驗(yàn)。常用后驗(yàn)差檢驗(yàn)對GM（1，1）模型進(jìn)行精度評價，后驗(yàn)差檢驗(yàn)是對殘差分布的統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)，通常由后驗(yàn)差比值C和小誤差概率P評價［12?16］。表1列出了根據(jù)C、P取值確定的模型精度等級。模型精度等級判別式為：模型精度等級=max{P所在的級別，}C所在的級別。

表1 GM（1，1）模型精度等級Tab.1 Accuracy Grades of GM（1，1）Model

4 實(shí)例分析

4.1 工程簡介

表2為2009—2010年某高速鐵路大橋橋墩的變形監(jiān)測數(shù)據(jù)，共40期（數(shù)據(jù)選用的是文獻(xiàn)［3］中所測數(shù)據(jù)）。本文以此數(shù)據(jù)為原始數(shù)據(jù)，利用MATLAB進(jìn)行小波去噪、卡爾曼濾波去噪以及小波?卡爾曼濾波組合去噪，并運(yùn)用GM（1，1）模型對變形進(jìn)行預(yù)測。

表2 沉降觀測數(shù)據(jù)Tab.2 Settlement Observation Data

4.2 數(shù)據(jù)去噪

本文用小波去噪、卡爾曼濾波、小波?卡爾曼濾波和卡爾曼濾波?小波模型對26~35期數(shù)據(jù)進(jìn)行去噪處理。小波采用db10進(jìn)行3層分解。去噪前后的數(shù)據(jù)如圖1所示。

由圖1可知，經(jīng)小波去噪、小波?卡爾曼濾波組合去噪的數(shù)據(jù)較卡爾曼濾波去噪和卡爾曼濾波?小波去噪更加光滑、波動變化小，且保留了有用信號的完整性，很好保持了橋梁變形的本質(zhì)特征和變化規(guī)律，其去噪效果較另外兩種模型去噪效果更好。

圖1 去噪前后數(shù)據(jù)對比Fig.1 Comparison of Data Before and After Denoising

4.3 模型預(yù)測及精度評定

在去噪數(shù)據(jù)基礎(chǔ)上，選取26~35期數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，對36~40期數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測。選用原始實(shí)測數(shù)據(jù)、經(jīng)小波去噪的數(shù)據(jù)、經(jīng)卡爾曼濾波去噪的數(shù)據(jù)、經(jīng)小波?卡爾曼濾波去噪的數(shù)據(jù)和經(jīng)卡爾曼濾波?小波去噪的數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測，得到圖2所示結(jié)果，并與實(shí)測值進(jìn)行對比，得到表3所示結(jié)果。

圖2 模型預(yù)測結(jié)果Fig.2 Prediction Results of Models

由圖2可知，與其他模型相比，小波?GM（1，1）模型和小波?卡爾曼濾波?GM（1，1）模型的預(yù)測值更加接近實(shí)測值。由表3也可以看出，小波?卡爾曼濾波?GM（1，1）模型預(yù)測值的最大殘差為?0.48 mm，最小殘差為0.04 mm，小于其他模型的殘差。

表3 預(yù)測值與實(shí)測值對比Tab.3 Comparison of Predicted and Measured Values

由表4可知，小波?卡爾曼濾波?GM（1，1）模型的后驗(yàn)差比值為0.165 49，小誤差概率為1，其模型精度相比其他模型有明顯提高。這說明先進(jìn)行小波去噪后進(jìn)行卡爾曼濾波去噪，可以有效減弱隨機(jī)誤差噪聲對于預(yù)測結(jié)果的影響。

表4 模型精度對比Tab.4 Precision Comparison of Models

由表5可知，小波?卡爾曼濾波?GM（1，1）模型的預(yù)測誤差是5種模型中最小的。先進(jìn)行小波去噪能在一定程度上消除噪聲干擾，再進(jìn)行卡爾曼濾波可以優(yōu)化去噪效果，使數(shù)據(jù)更加接近真實(shí)的變形值。

表5 模型預(yù)測誤差/mmTab.5 Prediction Error Values of Models/mm

5 結(jié)束語

本文介紹了小波去噪、卡爾曼濾波和GM（1，1）模型的基本原理?；?種理論基礎(chǔ)，建立去噪模型對數(shù)據(jù)進(jìn)行去噪處理，并用GM（1，1）模型對去噪后的數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測。對比分析4種模型的預(yù)測精度，可以發(fā)現(xiàn)小波?卡爾曼濾波?GM（1，1）模型的預(yù)測精度最高，小波?GM（1，1）模型的預(yù)測精度次之。分析可知，由于高速鐵路橋梁變形監(jiān)測過程中影響因素眾多，小波去噪可以一定程度上消除噪聲誤差的干擾，最大程度保留真實(shí)信號數(shù)據(jù)。但是，由于白噪聲的頻率覆蓋整個頻率軸，小波去噪難以消除白噪聲的影響，而卡爾曼濾波可以較好地消除白噪聲的影響，提高數(shù)據(jù)的有效性，為后續(xù)工作提供可靠的信息。由此可見，基于小波?卡爾曼濾波的GM（1，1）模型在含有復(fù)雜噪聲干擾的橋梁變形分析預(yù)測預(yù)報(bào)中有較強(qiáng)的適應(yīng)性。