姚能智 王浩 王斌? 王學生?

1) (華東理工大學機械與動力工程學院,上海 200237)

流動超材料與變換流體動力學的發(fā)展豐富了人們對于流體流動控制的方法.本文基于變換流體動力學,耦合流動旋轉與放大功能,設計出了具有張量化黏度的流動旋聚器.從數值模擬層面驗證了旋聚器可在蠕動流狀態(tài)下同時實現對流速的放大和旋轉功能.在旋聚器中心流域,流體流速被放大,呈現出文丘里效應;在旋聚器外部區(qū)域,流體流動狀態(tài)不會因旋聚器的存在而受到干擾,保持原有的流動狀態(tài).除此之外,本文發(fā)現并解釋了空間坐標變換的非互易性所造成的旋轉滯后現象的本質.本文所研究內容擴展并優(yōu)化了現有的流體流動聚集功能;提出了文丘里效應相關應用的一種新途徑;為超材料的非互易坐標變換設計提供了新的思路.

1 引言

作為超材料研究設計的一大理論基礎,變換理論提升了我們對于自然現象的操控能力.變換光學[1?5]的提出為我們開啟了通往變換理論的大門.自基于麥克斯韋方程形式經坐標變換后的不變性產生的變換光學[1?5],到聲學領域中的變換聲學[6?10],再到熱學領域的變換熱學[11?20],變換理論不斷被豐富.

為了將變換理論拓展到流動控制領域,有學者通過將坐標變換理論與Brinkman-Stokes 方程、達西定律相結合的方式設計出具有各向異性滲透率的流動隱身斗篷[21,22],實現了物體在多孔介質流場中的隱身.為推動變換理論在非多孔介質中的應用,研究人員[23,24]證明得出斯托克斯方程滿足坐標變換后的形式不變性,進而建立了變換理論一個新的分支—變換流體動力學.目前已有學者依據變換流體動力學,通過調控流體動力黏度實現了蠕動流下的物體隱身[23]和復雜形狀物體的流動隱身[25];通過張量化流體動力黏度,得到流體動力黏度的空間分布,在引導流體流動的同時避免流體與物體之間的接觸,達到物體隱身與減小阻力的效果[23].為克服上述各向異性流動超材料在實驗實現上的困難,部分學者利用散射抵消理論[26]、對流擴散抵消理論[27]、外加電場[28]等方式實現了各向同性流動超材料下的物體隱身效果.而隨著神經網絡學科的發(fā)展,也有學者通過深度強化學習[29]的方法實現流動隱身的效果.當然,變換流體動力學不僅可以應用于流動隱身超材料的設計,還可為流動旋轉[30]與流動聚集[31]裝置的設計提供理論支持.

與電磁聚集[32,33]、熱流聚集[12,34]及水波聚集[35]異曲同工,流動聚集[31,36]可將流體匯聚于指定區(qū)域,實現放大流速的效果.現階段關于流動聚集的研究局限于匯集單一方向的流體,這一點極大地限制了流動聚集器的實用功能.倘若可以在聚集流體的同時,改變流體在聚集域內的流向,即任意調控匯聚流體的速度方向,那么流動聚集器的適用范圍將會大大提高.基于上述想法,本文耦合流動旋轉與聚集功能,依托變換流體動力學,推導流體動力黏度在指定流域的空間分布,完成文丘里效應旋聚器(下文簡稱旋聚器)的理論設計.通過數值模擬驗證得出:本文所設計文丘里效應旋聚器可在蠕動流狀態(tài)下同時實現對流體的聚集和旋轉功能,打破傳統(tǒng)流動聚集器僅可匯集單一方向流體的限制.本研究可為流動旋聚器相關實驗奠定理論基礎；可為磁滯現象的相關研究拓展至旋轉滯后現象帶來啟發(fā)；此外,也可為超材料的非互易坐標變換設計提供新的思路.

2 文丘里效應旋聚器的理論設計

以原始空間x(x,y,z) 和物理空間x′(x′,y′,z′)分別表示坐標變換前后的空間,則對于穩(wěn)態(tài)、不可壓縮、無體積力的蠕動流,控制牛頓流體流動的連續(xù)性方程和動量守恒方程可表示為

式中,u,μ,p分別表示速度、動力黏度與壓強.

根據變換流體動力學[23,24],方程(1)和(2)在坐標變換前后方程形式保持一致,進而可推導出坐標變換后控制牛頓流體流動的連續(xù)性方程和動量守恒方程為

流體動力黏度張量表達式如(5)式所示,式中J為雅可比空間變換矩陣,其表達式如(6)式所示.J?1和J?T分別為雅可比空間變換矩陣的逆矩陣及其逆矩陣的轉置.變換后的動力黏度張量連通了原始空間與物理空間.接下來我們將根據旋聚器的功能設計要求,具體化空間之間的聯(lián)系.

圖1(a)所示為旋聚器的坐標變換原理.為實現旋轉聚集功能,將原始空間(0

圖1 文丘里效應旋聚器模型示意圖 (a) 坐標變換;(b) 邊界條件Fig.1.Schematic models of Venturi-effect rotating concentrators:(a) the coordinate transformation;(b) boundary conditions.

通過分析(8)式發(fā)現,雅可比空間變換矩陣中包含旋轉矩陣R(θ′) 和RT(θ).前者為物理空間下的旋轉矩陣,后者為原始空間下的旋轉矩陣.從而可將(8)式進一步簡化為(9)式。

其中旋轉矩陣的具體形式為

結合(5)式,(7)式和(9)式,可得設計旋聚器所需的流體動力黏度在柱坐標下的分布規(guī)律為

觀察方程(11)可以發(fā)現,流體動力黏度在物理空間下為一張量,呈現各向異性的特點.為實現該種情況下流體的流動效果,參考等效介質理論[37]和流動超材料文獻[23]設計的微米柱方法,在流域中布置具有一定規(guī)律的微米柱陣列,獲得流體在各向異性動力黏度下的等效流場.至此,基于變換流體動力學設計的旋聚器所需參數均已獲取.接下來將在仿真軟件COMSOL Multiphysics 中驗證旋聚器工作效果.

3 數值模擬及結果分析

設定流域整體尺寸L×H ×D分別為長10 cm,高10 cm,深50 μm,其中深度方向為流域在z軸方向上的高度.考慮到流域深度D ?L,H,來流為Hele-Shaw 流動[38,39],即可視為二維流動.如圖 1(b)所示,流體沿x方向自左向右流動,進出口壓差Δp=2 kPa(p1>p2).y方向上下兩邊界為無滑移壁面.背景流域流體為293.15 K 下的液態(tài)水,該狀態(tài)下水的動力黏度μ=10?3Pa·s,密度ρ=997.1 kg/m3.

下面根據圖(2)所示的速度場分布圖來比較傳統(tǒng)流動聚集[30]、旋轉[29]與本文設計的旋聚器之間的異同.圖 2(a)為無超材料的背景流場,流線與等壓線分別平行和垂直于x方向.圖 2(b)—圖2(d)為不同功能下的速度場分布,可以看出三者周圍流域速度場均未受到干擾.圖 2(b)所示為傳統(tǒng)流動旋轉功能下的速度場分布,在中心區(qū)域(0

圖2 不同流動功能在均勻來流下的速度場分布,其中黑色線條代表流線,白色線條表示等壓線 (a) 背景流場;(b) 流動旋轉;(c) 流動聚集;(d) 流動旋轉聚集Fig.2.Velocity distributions of different hydrodynamic meta-devices in uniform flow fields with streamlines (black color) and isobars (white color):(a) Background flow fields;(b) hydrodynamic rotators;(c) hydrodynamic concentrators;(d) Venturi-effect rotating concentrators.

圖3 所示為文丘里效應旋聚器在旋轉角度θ0為 0—π rad 下的速度場分布.在環(huán)形區(qū)域(R1

圖3 文丘里效應旋聚器在不同旋轉角下的速度場分布,其中黑色線條代表流線,白色線條表示等壓線 (a) θ0 =0 rad;(b) θ0=π/4 rad;(c) θ0=π/2 rad;(d) θ0=π rad.從圖中可以看出,在不同旋轉角下,流體在中心區(qū)域的旋轉均出現滯后現象Fig.3.Velocity distributions of Venturi-effect rotating concentrators at different predesigned rotation angles with streamlines (black color) and isobars (white color):(a) θ0 =0 rad;(b) θ0=π/4 rad;(c) θ0=π/2 rad;(d) θ0=π rad.It can be seen that the rotation angles of the central region appear hysteresis at various predesigned rotation angles (θ0).

需要特別注意的是,不論θ0為何值,文丘里效應旋聚器中心域處流速方向均不能旋轉至預定的角度,出現旋轉滯后現象.如當θ0=π/2r ad 時,流體在旋聚器中的實際旋轉角度約為 π /5r ad.當θ0=πr ad 時,流體在旋聚器中的實際旋轉角度約為 2 π/5r ad.經研究發(fā)現,上述滯后現象為空間坐標變換順序不同所導致.當先對空間進行聚集再進行旋轉時(即(7)式),聚集空間與旋轉空間會出現部分重疊區(qū)域,致使旋轉滯后現象的出現.但當先對空間進行旋轉再進行聚集時(見(12)式),這種滯后現象便可被消除.根據(12)式中新的空間映射關系以及(5)式和(6)式,重新推導出對應的動力黏度張量表達式(13).圖4 所示為坐標變換順序為先旋轉再聚集時的速度場分布.從 圖4 可以看出,旋聚器的旋轉角度滯后現象被消除.由此說明,在使用坐標變換設計不同功能的超材料時,需注意坐標變換的空間順序關系.

圖4 文丘里效應旋聚器旋轉角度無滯后時的速度場分布,其中黑色線條代表流線,白色線條表示等壓線 (a) θ0 =0 rad;(b) θ0=π/4 rad;(c) θ0=π/2 rad;(d) θ0=π radFig.4.Velocity distributions of Venturi-effect rotating concentrators at rotation angles without hysteresis.The black lines represent streamlines and the white lines indicate isobars:(a) θ0=0 rad;(b) θ0=π/4 rad;(c) θ0=π/2 rad;(d) θ0=π rad.

其中

為定量分析文丘里效應旋聚器對流速的放大效果,同時考慮到θ0僅對流體流向產生影響,所以我們取θ0=0 時、不同R2/R1比值下的流場(圖4(a))與背景流場(圖 2(a))進行對比研究,結果如圖5 所示.可以看出,流速在流域 |x/R3|≤1逐漸增加并在中心區(qū)域達到最大值,該值為背景流域速度的R2/R1倍.而 流速在流域 |x/R3|>1均保持一致.上述現象表明:文丘里效應旋聚器具備放大流體流速的功能;同時它的存在不會影響其周圍流域的速度場分布,可實現對附近流域的零干擾與自我隱身的效果.

圖5 不同R2/R1 情況下的文丘里效應旋聚器在 θ0=0時和y=0 處的速度分布Fig.5.Velocity distributions of Venturi-effect rotating concentrators parameterized in R2/R1 at θ0=0 and at the centerline y=0.

由于在實際工作環(huán)境中,來流往往會出現非均勻流動,所以文丘里效應旋聚器應對非均勻流時的效果同樣備受關注.為此,將圖1 中的進出口邊界條件改成流體自左上入口流至右下出口,其余條件保持不變,此時的流場分布如圖6 所示.觀察圖6可以發(fā)現,文丘里效應旋聚器在來流為非均勻流時,仍可穩(wěn)定地發(fā)揮對于流體的旋轉和放大流速的效果,同時不影響其外流場的原有狀態(tài).由此可知,本文設計的文丘里效應旋聚器可以出色地應對不同狀態(tài)的來流,進一步提升了它的應用價值.

圖6 文丘里效應旋聚器在非均勻來流下的流場分布圖,其中黑色線條代表流線,白色線條表示等壓線.(a) 背景流場;(b) θ0=0 rad;(c) θ0=π/2 rad;(d) θ0=π radFig.6.Velocity distributions of Venturi-effect rotating concentrators in non-uniform flow fields with streamlines(black color) and isobars (white color):(a) background flow fields;(b) θ0=0 rad;(c) θ0=π/2 rad;(d) θ0=π rad.

綜上所述,本文關于旋聚器的設計工作可以為變換光學[1,2]、變換聲學[6,7]、變換熱學[12,13,20]等變換理論所指導的旋轉聚集器設計提供新的思路,也可為不同功能超材料的設計奠定理論基礎.除此之外,本文中旋轉滯后現象與磁滯現象[40,41]存在相似之處,這可為磁滯現象的相關研究拓展至旋轉滯后現象帶來啟發(fā).文中所發(fā)現的空間坐標變換存在非互易性這一結論,不僅適用于變換流體動力學,同樣也可拓展至不同領域下的變換理論.

4 結論

基于變換流體動力學,通過耦合流動聚集和流動旋轉功能,設計出具備文丘里效應的流動旋轉聚集器,實現對任意方向上流體流速放大的功能.通過推導文丘里效應旋聚器設計所需要的空間映射關系,結合雅可比空間變換矩陣,得出攜帶空間坐標變換信息的流體動力黏度張量,實現了文丘里效應旋聚器的理論設計.此外,從數值模擬層面上驗證并定性分析了文丘里效應旋聚器可在蠕動流狀態(tài)下同時實現對流動流體的聚集和旋轉功能,通過改變預設旋轉角θ0展現了文丘里效應旋聚器在調控流體流向上優(yōu)越的靈活性;同時,我們發(fā)現并解釋了流動旋轉和聚集功能耦合時因作用空間相互干涉引起的旋轉滯后現象的本質,進一步得出空間坐標變換存在非互易性這一結論.通過調整文丘里效應旋聚器的幾何尺寸,定量分析了文丘里效應旋聚器放大流速的功能,以及它對背景流域零干擾和完美隱身的性能.最后,本文驗證得出文丘里效應旋集器同樣勝任于非均勻流場.我們相信,本文關于文丘里效應旋聚器的理論設計和數值模擬工作:1)可為流動流體聚集和旋轉功能在實驗層面上的實現提供理論基礎;2)可為磁滯現象的相關研究拓展至旋轉滯后現象帶來啟發(fā);3)可為超材料的非互易坐標變換設計提供新的思路.