張海營(yíng)

2021年是廣東省中考改革的第二年，數(shù)學(xué)卷在考查學(xué)生靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)、解決實(shí)際問(wèn)題等綜合能力的同時(shí)，更加注重考查初高中數(shù)學(xué)知識(shí)和解題思維的銜接. 如2021年廣東省中考數(shù)學(xué)第10題，若能深入思考這道“看似無(wú)圓卻有圓”的綜合題，挖掘出題中的隱含信息，巧妙地構(gòu)造輔助圓，便能順利地建立起條件與結(jié)論之間的聯(lián)系，從而“圓”滿地解決問(wèn)題.

一、等長(zhǎng)構(gòu)圓：根據(jù)圓的定義構(gòu)造輔助圓

模型1：根據(jù)圓的定義“到定點(diǎn)距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合是圓”，如圖1所示，當(dāng)出現(xiàn)有相同公共端點(diǎn)的三條相等線段OA = OB = OC時(shí)，可根據(jù)圓的定義來(lái)構(gòu)造輔助圓，從而將一般幾何圖形的角度問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圓形的角度問(wèn)題，即根據(jù)圓周角定理來(lái)進(jìn)行角度的轉(zhuǎn)化.

1. 借助半徑構(gòu)圓

例1（2008年廣東中考數(shù)學(xué)第21題節(jié)選）：如圖2，已知AO=DO，分別以AO和DO為邊在線段AD的同側(cè)作等邊三角形△OAB和等邊三角形△OCD，將△OCD繞著點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)（△OAB和△OCD不能重疊），連接AC和BD，相交于點(diǎn)E，連結(jié)BC，求∠AEB的度數(shù).

解析：∵△OCD和△OAB都是等邊三角形，

∴OD=OC， OB=OA， ∠COD=∠AOB=60°.

又∵OD=OA，

∴OD=OB=OA=OC.

以O(shè)為圓心，OA為半徑作輔助圓，

∵ ∠COD=∠AOB=60°，

∴∠CBD=∠COD=×60°=30°，

∠BCA=∠BOA=×60°=30°，

∴ ∠AEB=∠CBD+∠BCA=60°.

點(diǎn)評(píng)：根據(jù)圓的定義，即到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合. 在本題中，旋轉(zhuǎn)只改變圖形的位置，不改變圖形的形狀，無(wú)論△OCD旋轉(zhuǎn)到什么位置，始終保持OA=OB=OC=OD不變，所以可以構(gòu)造輔助圓來(lái)幫助解決問(wèn)題.

2. 借助直徑構(gòu)圓

例2（2021年廣東中考數(shù)學(xué)第24題節(jié)選）：如圖3，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AB≠CD，∠ABC=90°，點(diǎn)E、F分別在線段 BC、AD上，且EF∥CD，AB=AF，CD=DF，求證：以AD為直徑的圓與BC相切.

解析：取AD中點(diǎn)O，以O(shè)為圓心，OA為半徑作輔助圓，

過(guò)點(diǎn)O作OM⊥BC，

∵AB∥CD，∠ABC=90°，

∴∠DCB=90°.

又∵OM⊥BC，

∴OM∥AB，M為BC中點(diǎn)，

∴OM=（AB+CD），

∵AD=AF+DF，

又∵AF=AB，DF=DC，

∴ AD=AB+CD=2OM，且OM⊥BC，

∴以AD為直徑的圓與BC相切.

點(diǎn)評(píng)：該圓屬“隱圓”，圖雖無(wú)圓，實(shí)則有圓，借助直徑AD構(gòu)造圓，進(jìn)而判斷該圓與BC的位置關(guān)系，達(dá)到“化隱為顯、變暗為明”的目的，再通過(guò)“作垂直，證半徑”的切線證明思路，結(jié)合AB+CD=2OM，即可證明結(jié)論.

二、等角構(gòu)圓：根據(jù)圓的性質(zhì)構(gòu)造輔助圓

模型2：圓的性質(zhì)主要集中在圓心（或圓周）角、弧、弦（或直徑）等對(duì)象之間的相互關(guān)系上，當(dāng)出現(xiàn)如圖4在線段同側(cè)的兩個(gè)角相等，即∠C=∠D時(shí)，可借助定弦定角添加輔助圓，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圓的問(wèn)題，從而借助圓的性質(zhì)來(lái)幫助解決問(wèn)題.

例3（人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)第69頁(yè)第14題）： 如圖5，E是正方形ABCD邊AB上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作DE的垂線交∠ABC的外角平分線于點(diǎn)F，求證：FE=DE.

解析：在正方形ABCD中，連接DB、DF，

∵BF是∠CBA的外角平分線，

∴∠CBF=45°.

又∵∠DBC=45°，

∴∠DBF=90°.

又∵∠DEF=90°，

∴D、E、B、F四點(diǎn)共圓，其中邊DF為圓的直徑，

∴∠DFE=∠DBE=45°（同弧所對(duì)的圓周角相等），

∴△DEF是等腰直角三角形，

∴FE=DE.

點(diǎn)評(píng)：當(dāng)角的度數(shù)確定，角所對(duì)的邊是一條定邊，根據(jù)“同弧所對(duì)的圓周角相等”，那么角的頂點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是圓. 此時(shí)角可以看成圓周角，定邊是圓的一條弦，先利用同弧所對(duì)的圓周角是其所對(duì)的圓心角的一半，最終構(gòu)造出輔助圓解決問(wèn)題.

三、互補(bǔ)構(gòu)圓：根據(jù)圓內(nèi)接四邊形構(gòu)造輔助圓

模型3：根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)，當(dāng)出現(xiàn)如圖6所示，對(duì)角互補(bǔ)的凸四邊形時(shí)，即∠B +∠D=180°，可根據(jù)圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)，構(gòu)造輔助圓.

例4（2014年廣東中考數(shù)學(xué)第24題改編）：如圖7，☉O是△ABC的外接圓，AC是直徑，點(diǎn) P是☉O上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥AC于點(diǎn)E，作PF⊥BF于點(diǎn)F，延長(zhǎng)PO與AB相交于點(diǎn)D，若CE=CF，求證：PF是☉O的切線.

解析：連接PC，

∵PE⊥AC，PF⊥BF，

∴四邊形PECF對(duì)角互補(bǔ)，

過(guò)點(diǎn)P、F、C、E作輔助圓.

∵AC為☉O直徑，

∴∠B=90°.

又∵∠PFC=90°，

∴PF∥AB.

∵EC=CF，PC是直徑，

∴PC⊥EF，∠ECP=∠FCP.

又∵OP，OC為☉O半徑，

∴∠ECP=∠OPC=∠FCP，

即PD∥BF，

∴∠OPF=∠PFC=90°，且點(diǎn)P在☉O上，

∴PF是☉O的切線.

點(diǎn)評(píng)：借助對(duì)角互補(bǔ)的四邊形構(gòu)造輔助圓，從而確定圓的直徑和同弧所對(duì)的圓周角，再結(jié)合垂徑定理得出∠ECP=∠OPC=∠FCP，進(jìn)而證明PF是☉O的切線.

四、倍角構(gòu)圓：根據(jù)圓心角與圓周角關(guān)系構(gòu)造輔助圓

模型4：當(dāng)出現(xiàn)凹四邊形的一個(gè)角是另一個(gè)角的2倍，且所對(duì)邊相等時(shí)，如圖8所示，∠AOB=2∠C，此時(shí)可根據(jù)同弧所對(duì)圓心角是圓周角的2倍，構(gòu)造輔助圓.

例5（2021年成都市中考數(shù)學(xué)二模第24題）：如圖9，已知點(diǎn) A（4，0）、B （-6，0），點(diǎn)C是y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)∠BCA=45°時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)C坐標(biāo).

解析：作AB的垂直平分線，并在垂直平分線上取點(diǎn)P，使得EP =AB.

連接PB，PA，以P為圓心，PA為半徑作☉P與y軸正半軸交于點(diǎn)C，

過(guò)點(diǎn)P作PF⊥y軸于點(diǎn)F，

∵∠BCA=45°，

∴∠BPA=90°，BP=AP，

則PF=1，OF=PE=5，

∴PC=AP==5，

CF==7.

（1）當(dāng)點(diǎn)C在y軸正半軸時(shí)，

5+7=12，此時(shí)C坐標(biāo)為 （0，12）;

（2）當(dāng)點(diǎn)C在y軸負(fù)半軸時(shí)，-5+ （-7） = -12，點(diǎn)C坐標(biāo)為 （0，-12）;

因此，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，12）或 （0，-12）.

點(diǎn)評(píng)：當(dāng)出現(xiàn)45°或60°這類特殊角時(shí)，可考慮把它看成圓周角，然后構(gòu)造出此角2倍的圓心角，此時(shí)構(gòu)造出圓心角與圓周角關(guān)系模型，結(jié)合圓的性質(zhì)得出結(jié)論.

近年來(lái)廣東省中考數(shù)學(xué)加強(qiáng)了對(duì)圓及相關(guān)知識(shí)點(diǎn)的考查，且現(xiàn)在更加注重對(duì)初高中數(shù)學(xué)思維和解題方式銜接的考查，因此題型也趨于更加創(chuàng)新和靈活，構(gòu)建輔助圓模型是其中一種能快速且靈活解決問(wèn)題的方法. 教師在教學(xué)過(guò)程中應(yīng)注重培養(yǎng)學(xué)生的建模意識(shí)，提高幾何直觀能力，深入挖掘題目中的隱含條件，再利用圓的定義和性質(zhì)解決問(wèn)題，從而有效提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

注：本文系東莞市教育科研“十四五”規(guī)劃2021年度課題“精準(zhǔn)評(píng)價(jià)導(dǎo)向下初中生數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)質(zhì)量診斷的實(shí)踐研究”（項(xiàng)目編號(hào)：2021GH318）的階段性成果.