黃中瑞 史英春 唐 波 秦立龍

(國防科技大學(xué)電子對抗學(xué)院 合肥 230037)

1 引言

多輸入多輸出(Multiple-Input Multiple-Output,MIMO)雷達(dá)是近年來提出的一種新體制雷達(dá)[1,2]，與傳統(tǒng)相控陣?yán)走_(dá)相比，在許多方面具有更加優(yōu)越的性能，因而引起了眾多信號處理學(xué)者的廣泛關(guān)注。根據(jù)陣元部署位置的不同，MIMO雷達(dá)可以分為統(tǒng)計MIMO雷達(dá)[3]和相干MIMO雷達(dá)[4]。相干MIMO雷達(dá)根據(jù)收發(fā)陣列配置的距離又可分為單基地MIMO雷達(dá)[5]和雙基地MIMO雷達(dá)[6]。本文主要以雙基地MIMO雷達(dá)為對象進(jìn)行研究。

在MIMO雷達(dá)眾多的研究領(lǐng)域中，波形設(shè)計[7,8]是非常重要的一個研究方向，同時也是開展參數(shù)估計、目標(biāo)檢測等研究的基礎(chǔ)。根據(jù)應(yīng)用場合的不同，發(fā)射波形設(shè)計準(zhǔn)則也相差較大，目前常用的優(yōu)化準(zhǔn)則有：基于信息論的發(fā)射波形設(shè)計[9]、基于最大化輸出信干噪比的發(fā)射波形設(shè)計[10]、MIMO雷達(dá)正交波形設(shè)計[11]以及基于期望方向圖匹配的發(fā)射波形設(shè)計[12]等。

傳統(tǒng)MIMO雷達(dá)通常發(fā)射理想正交波形，因而其發(fā)射功率為各向等值分布，在已知目標(biāo)分布空域(可以利用先驗信息進(jìn)行預(yù)估)時，會造成發(fā)射功率在旁瓣空域的損失，制約目標(biāo)參數(shù)估計性能的提升。因此，如何根據(jù)目標(biāo)分布空域信息，設(shè)計合適的發(fā)射方向圖使發(fā)射功率更多地聚焦在目標(biāo)空域是一個關(guān)鍵問題。文獻(xiàn)[13]研究了發(fā)射方向圖匹配下的MIMO雷達(dá)協(xié)方差矩陣設(shè)計問題，建立了陣元等功率約束下的協(xié)方差矩陣優(yōu)化模型，并基于半正定規(guī)劃算法給出了全局最優(yōu)解。文獻(xiàn)[14]在文獻(xiàn)[13]的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步研究了協(xié)方差矩陣匹配下的發(fā)射波形合成問題?？紤]到發(fā)射波形的恒模特性，原問題具有高度的非凸特性，一般優(yōu)化方法難以對其進(jìn)行有效求解。文獻(xiàn)[14]利用循環(huán)算法(Cyclic Algorithm,CA)對發(fā)射波形和輔助半正交矩陣進(jìn)行聯(lián)合優(yōu)化，由于每步優(yōu)化都是求解兩個獨立的閉式解問題，因而其計算效率得到了較大的改善。

上述文獻(xiàn)雖然能夠使發(fā)射功率在期望空域進(jìn)行聚焦，但是波形間的相關(guān)性使得合成導(dǎo)向矢量產(chǎn)生了畸變，因而不利于采用高效子空間類算法估計目標(biāo)的參數(shù)(特別是目標(biāo)的發(fā)射角度)。為了解決上述問題，文獻(xiàn)[15]研究了基于發(fā)射加權(quán)矩陣優(yōu)化的MIMO雷達(dá)角度估計算法。通過對正交基波形進(jìn)行加權(quán)使合成信號在期望空域能夠滿足所需的相關(guān)特性，在接收端利用正交基波形進(jìn)行匹配濾波，從而獲取目標(biāo)回波的相位信息，并基于特定的算法實現(xiàn)了目標(biāo)角度的快速估計。但文獻(xiàn)[15]的缺點是發(fā)射陣元的功率不滿足均勻特性，造成了發(fā)射功率利用率的下降。文獻(xiàn)[16]在文獻(xiàn)[15]的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步提出了一種基于接收角自由搜索的發(fā)射加權(quán)矩陣設(shè)計方法，該方法不僅滿足陣元的等功率特性，而且能夠使合成導(dǎo)向矢量具有理想的旋轉(zhuǎn)不變特性，但該方法的缺點是：要求陣元數(shù)目為偶數(shù)，而且不便于擴展到雙基地MIMO雷達(dá)的參數(shù)估計中。文獻(xiàn)[17]在文獻(xiàn)[15]的基礎(chǔ)上，將算法推廣到了雙基地MIMO雷達(dá)中，文獻(xiàn)[18]進(jìn)一步研究了陣元等功率約束下的雙基地MIMO雷達(dá)發(fā)射加權(quán)矩陣優(yōu)化問題，并利用序列錐規(guī)劃方法對發(fā)射加權(quán)矩陣其進(jìn)行了求解，在提高目標(biāo)角度估計性能的基礎(chǔ)上，也同步改善了陣元發(fā)射功率的利用率。但該方法最大缺點是計算復(fù)雜度非常大，不利于實際工程的應(yīng)用。

鑒于此，本文基于PDR(Projection Descent and Retraction)算法提出一種新的發(fā)射加權(quán)矩陣設(shè)計方法。該方法基于循環(huán)迭代思想構(gòu)建了發(fā)射加權(quán)矩陣和尺度因子的聯(lián)合優(yōu)化模型。其中，尺度因子的求解是一個無約束問題，可以方便地得到閉式解；發(fā)射加權(quán)矩陣的求解通過梯度計算、投影、縮放等運算，同樣可以簡化為一個閉式解問題，因此該方法的計算復(fù)雜度非常低。為保證所提方法的性能，從理論上證明了其收斂特性。最后，分別從發(fā)射方向圖合成和目標(biāo)角度估計性能兩個方面進(jìn)行仿真分析，驗證了本文算法的有效性。

2 MIMO雷達(dá)發(fā)射加權(quán)矩陣優(yōu)化模型

考慮一雙基地MIMO雷達(dá)，收發(fā)陣列為均勻線性陣列，陣元數(shù)目分別為MT和MR，陣元間距為半波長。傳統(tǒng)MIMO雷達(dá)的發(fā)射功率在空間為等功率全向輻射，在已知目標(biāo)分布空域的前提下，發(fā)射功率分散會制約目標(biāo)處接收信號功率的提高，從而惡化接收端信號的信噪比(Signal to Noise Ratio,SNR)。為了同時獲得發(fā)射功率聚焦和波形分集增益兩種優(yōu)勢，本文在傳統(tǒng)MIMO雷達(dá)模型的基礎(chǔ)上，考慮發(fā)射加權(quán)網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化問題，具體結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 發(fā)射加權(quán)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)示意圖

令y(t)=[y1(t),y2(t),...,yK(t)]T為K個發(fā)射基波形，相互之間滿足理想正交特性，即

3 MIMO雷達(dá)發(fā)射加權(quán)矩陣優(yōu)化

3.1 算法描述

這是一個恒模約束下的2次優(yōu)化問題，目前已經(jīng)有ADMM(Alternating Direction Method of Multipliers)算法、MM(Majorization Minimization)算法、SCF(Successive Closed Forms)算法以及傳統(tǒng)PDR算法等都可對其進(jìn)行快速求解。約束w恒模雖然能夠滿足發(fā)射陣元的等功率輻射特性，但也會造成搜索可行域的減小，從而惡化發(fā)射方向圖性能。鑒于此，本文主要考慮陣元等功率約束下的發(fā)射加權(quán)矩陣求解問題，并采用改進(jìn)PDR算法對其進(jìn)行解決(在不引起混淆的情況下，本文仍將其簡稱為PDR算法)。

為了保證后續(xù)計算的有效性，構(gòu)造式(9)的等價優(yōu)化模型為

圖2 PDR算法示意圖

式(16)得到的優(yōu)化變量并不滿足陣元等功率約束條件，因此，需要對其進(jìn)行縮放操作，具體為

結(jié)合上述分析，可以給出基于改進(jìn)PDR算法的MIMO雷達(dá)發(fā)射加權(quán)矩陣優(yōu)化如表1所示。

表1 所提算法的具體流程

3.2 收斂性分析

由于優(yōu)化模型式(9)是一個非凸問題，在理論上無法保證獲得全局最優(yōu)解，因此，本文退而求其次，在3.1節(jié)給出了一個求解局部最優(yōu)解的方法，為了說明本文方法的有效性，需要對所提方法的局部收斂性進(jìn)行證明，下面對此進(jìn)行詳細(xì)分析。

對式(17)進(jìn)行變換可得

式(30)表明，所提方法的外循環(huán)同樣滿足收斂性條件。綜上，本文所提算法的收斂性是可以得到保證的。

3.3 計算復(fù)雜度分析

4 仿真分析

考慮某一雙基地MIMO雷達(dá)，其收發(fā)陣列均均勻線性陣列，陣元間距為半波長，發(fā)射陣元數(shù)目為MT=10 ，接收陣元數(shù)目MR=10，發(fā)射基波形數(shù)目K=6。分別考慮下述實驗。

4.1 發(fā)射方向圖性能分析

假設(shè)感興趣空域為[?10?,10?]，空間有兩個目標(biāo)，發(fā) 射 角 為 [?3?,3?] ，接 收 角 為[?5?,5?] ，SNR=?10 dB 。期望空域的導(dǎo)向矢量為a?n=[1,e?j2πsinθ,e?j3πsinθ,e?j4πsinθ,e?j6πsinθ,e?j9πsinθ]T，加 權(quán) 系 數(shù)w′=[1,1,...,1]T，發(fā)射波形向量(矩陣)的初始值隨機產(chǎn)生，內(nèi)外循環(huán)迭代終止條件均為：目標(biāo)函數(shù)的歸一化增量小于 10?10。為說明所提方法的有效性，將文獻(xiàn)[13,17,18]的算法作為比較對象，并從方向圖綜合性能以及算法執(zhí)行時間兩個方面進(jìn)行考量。所有的程序均在相同的個人計算機上運行，具體配置參數(shù)為：Intel(R) Core(TM)i5-9400 CPU@2.9 GHz處理器，16 GB內(nèi)存，64位操作系統(tǒng)。圖3給出了不同方法優(yōu)化得到的發(fā)射方向圖。

從圖3可以看出，4種方法均能在期望空域?qū)崿F(xiàn)發(fā)射功率聚焦。相對傳統(tǒng)MIMO雷達(dá)，目標(biāo)處的信號功率提高了約5 dB，為后續(xù)目標(biāo)角度估計奠定了有利基礎(chǔ)。通過比較不同的算法可以發(fā)現(xiàn)，文獻(xiàn)[13]和文獻(xiàn)[17]的算法性能較優(yōu)，這是因為文獻(xiàn)[13]僅僅優(yōu)化了發(fā)射加權(quán)矩陣的協(xié)方差矩陣，并沒有附加相應(yīng)的秩約束，因此優(yōu)化變量的自由度更高，但該方法需要利用二次優(yōu)化才能得到滿足實際需求的發(fā)射加權(quán)矩陣。文獻(xiàn)[17]僅僅考慮了方向圖的性能優(yōu)化，沒有考慮陣元的等功率約束，其優(yōu)化變量的自由度也相對較大。本文方法與文獻(xiàn)[18]優(yōu)化所得方向圖的性能相當(dāng)，本文方法優(yōu)化得到的方向圖具有更低的旁瓣電平，但是其主瓣波動相對文獻(xiàn)[18]更大。另外，與文獻(xiàn)算法相比，本文方法的最大優(yōu)勢在于其計算復(fù)雜度比較低，在仿真條件相同時，所需計算時間比文獻(xiàn)方法低了約兩個數(shù)量級，具體見表2。

圖3 不同算法得到的發(fā)射方向圖

從表2可以看出，本文方法的計算時間相對其他方法非常短，為在線設(shè)計發(fā)射方向圖提供了有利條件。文獻(xiàn)[18]的計算時間比文獻(xiàn)[13]和文獻(xiàn)[17]要略大一些，主要原因是文獻(xiàn)[18]的優(yōu)化模型相對更加復(fù)雜。

表2 不同方法所需的運算時間

圖4給出了不同方法得到的發(fā)射陣元功率分布圖。從中可以發(fā)現(xiàn)，由于優(yōu)化模型沒有對陣元的發(fā)射功率進(jìn)行約束，所以文獻(xiàn)[17]得到的陣元發(fā)射功率差異性較大，在實際工程中適用性將會大打折扣。文獻(xiàn)[18]雖然也能近似滿足發(fā)射陣元的等功率約束，但是需要合理設(shè)置每個陣元發(fā)射功率的門限上界，這在實際中需要經(jīng)過不斷的調(diào)試才能獲得，因此其應(yīng)用靈活性不足。綜上分析，本文方法在基于發(fā)射加權(quán)矩陣優(yōu)化的方向圖設(shè)計上具有綜合的最優(yōu)性能。

圖4 不同陣元的歸一化發(fā)射功率

圖5和圖6給出了采用2維MUSIC(MUltiple SIgnal Classification)算法得到的空間角度估計圖，從中可以看出，在總發(fā)射功率一定時，本文方法獲得空間譜的峰值在目標(biāo)處的幅度更大而且形狀更為尖銳，這表明本文方法的角度估計性能優(yōu)于傳統(tǒng)MIMO雷達(dá)。主要原因是：通過優(yōu)化發(fā)射加權(quán)矩陣實現(xiàn)了發(fā)射功率在目標(biāo)空域的聚焦，增大了接收數(shù)據(jù)的SNR。但是2維MUSIC算法需要在2維空間進(jìn)行搜索才能完成目標(biāo)的角度估計，計算復(fù)雜度較大，難以在工程中得到應(yīng)用。由于本文方法在優(yōu)化發(fā)射加權(quán)矩陣時，考慮到了合成導(dǎo)向矢量的相位控制，因此可以采用平行因子(PARAllel FACtor，PARAFAC)算法實現(xiàn)目標(biāo)角度的快速估計，詳見4.2節(jié)。

圖5 傳統(tǒng)MIMO雷達(dá)的空間譜

圖6 本文方法得到的空間譜

4.2 角度估計性能分析

為了進(jìn)一步驗證本文方法在目標(biāo)角度估計方面的性能，本部分采用PARAFAC算法(詳見文獻(xiàn)[18])來快速估計目標(biāo)角度。為提高目標(biāo)角度估計性能，令感興趣空域的加權(quán)系數(shù)為1000，其余空域的加權(quán)系數(shù)為1，發(fā)射 SNR=?5 dB，蒙特卡羅次數(shù)為200，其余仿真條件不變。

圖7和圖8分別給出了本文方法和傳統(tǒng)MIMO雷達(dá)估計得到的目標(biāo)角度星座圖。從中可以發(fā)現(xiàn)，本文方法獲得的星座圖更為集中，而且離目標(biāo)真實角度的距離更近。這說明發(fā)射功率聚焦使得目標(biāo)角度的估計性能有了明顯提升。為進(jìn)一步說明本文方法在目標(biāo)角度估計方面的優(yōu)勢，下面對角度估計均方根誤差(Root Mean Square Error，RMSE，具體定義見文獻(xiàn)[17,18])隨SNR的變化規(guī)律進(jìn)行分析。

圖7 本文方法的角度估計星座圖

圖8 傳統(tǒng)MIMO雷達(dá)的角度估計星座圖

圖9分別給出了空間兩個目標(biāo)發(fā)射角和接收角RMSE隨SNR的變化關(guān)系。從中可以發(fā)現(xiàn)，本文方法的估計性能均優(yōu)于傳統(tǒng)MIMO雷達(dá)，特別是對于接收角而言，這是因為本文方法同時利用了功率聚焦和波形分集兩種優(yōu)勢。對于發(fā)射角，在低SNR時，本文方法優(yōu)于傳統(tǒng)MIMO雷達(dá)，但在高SNR時，兩者性能相差較小，甚至?xí)霈F(xiàn)本文算法性能差于傳統(tǒng)MIMO雷達(dá)的現(xiàn)象，這是因為本文方法是對理想期望導(dǎo)向矢量進(jìn)行逼近，存在固定的匹配誤差，在高SNR下，該匹配誤差大于噪聲對目標(biāo)角度估計的影響。但如果從克拉美-羅奧界(Cramer-Rao Bound, CRB)的性能進(jìn)行比較，本文方法仍然優(yōu)于傳統(tǒng)MIMO雷達(dá)。因此，在簡化發(fā)射加權(quán)矩陣優(yōu)化的同時，如何保持合成導(dǎo)向矢量元素間的理想等比特性，仍需開展更加深入的研究。

圖9 目標(biāo)的角度估計性能

5 結(jié)束語

針對傳統(tǒng)MIMO雷達(dá)發(fā)射功率分散致使感興趣空域內(nèi)目標(biāo)角度估計性能惡化的問題，本文提出了一種高效的發(fā)射加權(quán)矩陣優(yōu)化方法。該方法首先建立了發(fā)射加權(quán)矩陣和尺度因子的聯(lián)合優(yōu)化模型，然后采用循環(huán)優(yōu)化策略和改進(jìn)PDR算法對其進(jìn)行解決，由于每次迭代均能獲得相應(yīng)的閉式解，因此算法的計算復(fù)雜度較低，相比現(xiàn)有方法降低了約兩個數(shù)量級。另外，合理設(shè)計發(fā)射加權(quán)矩陣，能夠同時獲得發(fā)功率聚焦和波形分集兩種優(yōu)勢，從而有效改善MIMO雷達(dá)的目標(biāo)角度估計性能，特別是在低SNR時更為明顯。最后，仿真分析分別從發(fā)射方向圖合成和目標(biāo)角度估計性能兩個方面驗證了本文方法的有效性。

由于所提方法對期望導(dǎo)向矢量逼近時，仍然存在固定的匹配誤差，該誤差在高SNR下對角度估計性能的影響高于噪聲所產(chǎn)生的影響。因此，在快速設(shè)計發(fā)射加權(quán)矩陣的同時，如何保證合成導(dǎo)向矢量各元素之間(對任意角度)具備理想的等比特性，是一個重要的研究方向。