陳善學 劉榮華

(重慶郵電大學通信與信息工程學院 重慶 400065)

(移動通信技術重慶市重點實驗室 重慶 400065)

1 引言

高光譜圖像憑借豐富的光譜信息，在目標識別、圖像分類和礦物勘探等領域都有廣泛的應用。然而，由于地面的復雜情況和空間分辨率的限制，單個像元可能由多種地物組成，導致混合像元現(xiàn)象，這種現(xiàn)象普遍存在于高光譜圖像中，嚴重阻礙了高光譜圖像的應用[1]。因此，為了提高高光譜圖像的應用性能，通常利用高光譜解混來分解混合像元[2]。高光譜解混的目的是將混合像元分解成一組純光譜的集合，稱為端元，以及每種端元在該像元中的相應比例，稱為豐度[3]。

高光譜解混主要依賴于兩種混合模型：線性混合模型(Linear Mixing Model, LMM)和非線性混合模型[4](Nonlinear Mixing Model, NMM)。非線性混合模型難以物理建模和恢復，而線性混合模型因其簡單而有效的混合過程備受關注?；贚MM，像元分解技術通?？梢苑譃榛趲缀?、稀疏回歸和統(tǒng)計3種方法[5]。

幾何算法假設高光譜數(shù)據(jù)存在于凸單形體中，端元精確地位于單形體的頂點。最小體積單形體分析算法[6]、最小體積外包單形體算法[7]和迭代約束端元[8]是比較流行的幾何方法。稀疏回歸方法假設像元可以用光譜庫中已知純光譜的線性組合的形式來表示。在統(tǒng)計框架下，高光譜分解可以表示為盲源分離問題[9]。代表性的算法包括獨立成分分析[10]和非負矩陣分解(Nonnegative Matrix Factorization, NMF)[11]。NMF是盲源分離技術最常用并廣泛應用于高光譜圖像解混的方法。然而，由于NMF目標函數(shù)的非凸性，算法通常陷入局部極小值。為了縮小解空間，徐光憲等人[12]將最小體積單純形約束融入到NMF模型中，展現(xiàn)了高光譜圖像中光譜特性與豐度特性之間的關系。Wang等人[13]提出了端元相異度約束NMF方法，該方法假定端元信號本身是平滑的。

另一種縮小解空間的策略是對豐度添加約束。Qian等人[14]探索了使用L1/2正則項來限制豐度的稀疏性，不僅提供更稀疏的解，而且計算效率高。Candès等人[15]提出重加權稀疏約束，證明了通過加權L1范數(shù)并迭代更新權值，可以增強豐度的稀疏性并提高L1最小化框架的恢復性能。文獻[16]提出了多先驗集成約束的NMF方法，引入全變差正則項來捕捉豐度的分段平滑結構。由于流形方法的空間結構學習能力，文獻[17]將流形結構引入到NMF模型中來分離相似的相鄰像元。在文獻[18]中，Lu等人提出一種基于子空間聚類約束的稀疏NMF方法，利用聚類來尋找空間結構信息。最近，Zhou等人[19]提出利用子空間結構來捕獲全局空間分布信息。

雖然這些方法取得一定的效果，但由于傳統(tǒng)的NMF應用于高光譜解混時，對噪聲和異常值的處理不夠魯棒，其解混效果會受到影響。Huang等人[20]提出了一種融合L21范數(shù)和L12范數(shù)的NMF模型，同時實現(xiàn)了頻帶噪聲和像元噪聲的魯棒性。周昌等人[21]嘗試使用L21NMF模型，將其應用于圖像聚類的研究，取得了較好的解混效果。

本文提出一種新的基于子空間結構正則化的L21非負矩陣分解算法(L21Nonnegative Matrix Factorization based on Subspace Structure Regularization, L21NMF-SSR)，充分利用了豐度的稀疏性和空間結構信息。首先，利用L21范數(shù)代替標準NMF中的F范數(shù)，對模型進行了改進。其次，混合像元僅由幾個端元組成，且每個像元都可以表示為這些端元的線性組合。同時，譜庫的端元數(shù)量遠遠多于混合像元中包含的端元數(shù)量，豐度本身就是稀疏的。因此，引入了雙重加權稀疏正則項來增強L21NMF模型中豐度矩陣的稀疏性。最后，在此基礎上集成子空間結構正則項，并利用低秩表示(Low-Rank Representation, LRR)方法[22]來學習表示所有地物的子空間結構。

2 預備知識

2.1 線性混合模型

2.2 非負矩陣分解

3 基于子空間結構正則化的L21非負矩陣分解模型

3.1 L21NMF-SSR模型

在本文提出的算法中，用L21范數(shù)代替標準NMF模型的F范數(shù)，即

為了充分利用豐富的先驗信息，提高解混性能，本文在L21NMF模型基礎上，對豐度矩陣增加了兩種約束。在真實高光譜圖像中，混合像元僅由幾個端元組成，且每個像元都可以表示為這些端元的線性組合，同時譜庫的端元數(shù)量遠遠多于混合像元中包含的端元數(shù)量，豐度本身就是稀疏的。因此，本文引入雙重加權稀疏正則項來提高L21NMF模型的估計性能和稀疏性，可以得到比L1正則項更好的稀疏結果。雙重加權L1最小化問題可以定義為

3.2 模型優(yōu)化

3.3 算法的實現(xiàn)

表1 L21NMF-SSR算法(算法1)

4 實驗結果與分析

本文在模擬數(shù)據(jù)集和真實數(shù)據(jù)集上進行了實驗，以評估L21NMF-SSR算法的有效性，并與L1/2-NMF[14], RSNMF[24], SRRNMF[11], SSRNMF[20]和SSR-NMF[19]等算法進行了比較。對比算法中的參數(shù)，均使用原文獻中的選擇。對于所有的實驗，本文使用光譜角距離(Spectral Angle Distance, SAD)和均方根誤差(Root Mean Square Error, RMSE)兩種常用的方法評價算法的性能。SAD用來計算端元估計值e? 與端元真實值e之間的夾角距離，定義為

從式(30)、式(31)中可以看出，SAD和RMSE的值越小，則估計值與真實值差異越小，說明提取的結果越好。

為了保證算法的有效性，所有實驗在相同條件下重復20次，取平均值作為最終實驗結果。

4.1 模擬數(shù)據(jù)實驗

使用MATLAB高光譜合成工具箱[25]生成與真實場景圖像相似的模擬數(shù)據(jù)集。在模擬過程中可以選擇如圖像大小、豐度分布和端元數(shù)量等不同的參數(shù)來生成模擬數(shù)據(jù)集。實驗中所需的端元光譜均來自USGS數(shù)字光譜庫，而相應的豐度是根據(jù)球面高斯場生成的。圖1顯示了5種地物的光譜。其中，構建的模擬數(shù)據(jù)集像元大小為100×100，光譜波段為224。

圖1 模擬數(shù)據(jù)中的光譜曲線

圖2 L21NMF-SSR在λ1值下的SAD和RMSE

此外，真實高光譜圖像中普遍存在噪聲，為了模擬數(shù)據(jù)采集過程，在模擬圖像中添加不同的噪聲等級，信噪比的定義為

4.1.2 不同端元數(shù)目的魯棒性

本實驗用來探討不同的端元數(shù)目對6種方法解混性能的影響。在本實驗中，將SNR設置為25 dB，端元數(shù)目P從5變化到10。在此過程中，所有算法均使用相同的模擬數(shù)據(jù)。結果如圖4所示。綜合比較結果，L21NMF-SSR的性能最好，而L1/2-NMF的性能最差。由此可以證實L21NMF-SSR具有很強的優(yōu)越性和魯棒性。

圖3 L21NMF-SSR在λ2和α值下的SAD和RMSE

圖4 不同算法在不同端元數(shù)目的性能比較

4.1.3 性能分析

高光譜圖像的獲取過程中很容易受到噪聲的干擾，對于解混這是一個挑戰(zhàn)。本實驗中，設置了信噪比等級分別為15, 20, 25, 30和35 dB的高斯噪聲。表2和表3顯示了各種算法在不同信噪比級別下的SAD和RMSE結果值。其中，最佳結果使用粗體標注。從表2和表3可以看出，在各種噪聲等級下，L21NMF-SSR算法獲得了最低的SAD和RMSE值，說明該算法提取的端元和豐度精度更優(yōu)。與大多只使用稀疏約束或只改進模型的方法相比，集成空間結構信息的SSR-NMF具有更好的性能，這表明了子空間結構捕獲空間信息的有效性。然而，相比SSR-NMF算法，L21NMF-SSR對標準NMF模型進行了改進，同時將雙重加權稀疏加到L21NMF結構中，使得L21NMF-SSR的性能更優(yōu)。隨著SNR的減小，噪聲對各個算法性能的影響越來越大，我們的算法具有明顯的優(yōu)勢以及較強的魯棒性。

表2 不同算法在不同信噪比級別下的SAD值的比較

表3 不同算法在不同信噪比級別下的RMSE值的比較

4.2 真實數(shù)據(jù)實驗

(1)Jasper Ridge是一種廣泛應用于高光譜解混實驗的高光譜數(shù)據(jù)，在380～2500 nm范圍內由224個波段組成。為了避免大氣影響和水蒸氣問題，我們去掉了1～3, 108～112, 154～166和220～224波段，保留了198個波段，因此本實驗只使用100×100像元的圖像。數(shù)據(jù)集包含的4種端元是水體、土壤、道路和樹木。

表4顯示了不同算法在Jasper Ridge數(shù)據(jù)集下的SAD值，最后一行是在不同算法下所有地物的SAD平均值。其中，最佳結果使用粗體標注。從表4可以看出，對于水體和道路這兩種端元以及均值，L21NMF-SSR得到更低的SAD值，表明了L21NMFSSR提取的端元整體更接近真實的端元。表5顯示了不同算法下的RMSE值，其中L21NMF-SSR獲得最小的RMSE值，表明了重構圖像與真實圖像的差異最小。因此，與其他方法相比，在Jasper Ridge數(shù)據(jù)集下L21NMF-SSR算法有更好的性能。

表4 不同算法在Jasper Ridge數(shù)據(jù)集的SAD值對比

表5 不同算法在Jasper Ridge數(shù)據(jù)集的RMSE值對比

圖5顯示了L21NMF-SSR提取的端元特征與參考特征的對比，從中可以看出提取的端元與真實端元的一致性。不同算法得到的豐度圖如圖6所示?？梢杂^察出，L1/2-NMF和RSNMF容易受到噪聲的影響，特別是水體和道路。整體來看，L21NMF-SSR受噪聲的影響較小，對噪聲有良好的魯棒性，取得較好的豐度結果。

圖5 L21NMF-SSR提取的端元特征與參考特征的對比

圖6 不同算法的豐度圖對比

(2)Urban數(shù)據(jù)集是另一個應用廣泛的高光譜圖像數(shù)據(jù)集。它包含了307×307個像元，每個像元有210個光譜波段，將1～4, 76, 87, 101～111, 136～153和198～210的波段移除，得到162個波段的圖像。數(shù)據(jù)集主要包含4種地物：瀝青、玻璃、樹木和屋頂。

表6顯示了在不同算法下不同地物的SAD值。同樣地，最佳結果使用粗體標注。通過數(shù)值之間的比較可以看出對于瀝青、玻璃、屋頂以及均值，L21NMF-SSR取得更低的SAD值。表7是不同方法在Urban數(shù)據(jù)集下的RMSE值，比較前5種算法，可以看出使用子空間結構的SSR-NMF算法比其他算法取得更低的RMSE值，但是L21NMF-SSR減少了噪聲與異常值的影響，同時獲得更加稀疏的結果，因此，獲得了更好的解混效果。

表6 不同算法在Urban數(shù)據(jù)集的SAD值對比

表7 不同算法在Urban數(shù)據(jù)集的RMSE值對比

圖7顯示了L21NMF-SSR提取端元與真實端元的一致性。不同方法得到的豐度圖如圖8所示?？梢杂^察出，L21NMF-SSR取得更好的豐度結果。綜上可得，在Urban數(shù)據(jù)集下，L21NMF-SSR算法具有較好的解混性能。

圖7 L21NMF-SSR提取端元特征與真實端元特征的對比

圖8 不同算法在Urban數(shù)據(jù)集的豐度圖對比

5 結束語

本文提出一種新的高光譜解混算法L21NMF-SSR。首先，使用L21范數(shù)替換標準NMF中的F范數(shù)，對模型進行了改進。為了充分利用高光譜數(shù)據(jù)的豐度先驗信息和空間結構信息，本文在L21NMF模型中加入了雙重加權稀疏約束和子空間結構正則項，增強了豐度的稀疏性并捕獲了全局空間結構信息。模擬數(shù)據(jù)、Jasper Ridge數(shù)據(jù)和Urban數(shù)據(jù)的實驗結果均證明，L21NMF-SSR的性能優(yōu)于其他5種算法，而且該算法具有較好的去噪能力和更強的魯棒性。

然而，該方法仍有上升的空間，比如：(1)L21NMFSSR使用的是單層NMF，未考慮深層結構的信息；(2)算法探索了豐度的先驗信息，卻忽略了對端元的約束。因此在未來的工作中，可以嘗試解決這些問題。