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        關(guān)于一類(lèi)冪等元半環(huán)的同余*

        2017-09-21 07:51:55
        關(guān)鍵詞:半環(huán)教學(xué)部李斌

        (陜西廣播電視大學(xué) 工程與建筑教學(xué)部, 陜西 西安 710119)

        關(guān)于一類(lèi)冪等元半環(huán)的同余*

        李斌

        (陜西廣播電視大學(xué) 工程與建筑教學(xué)部, 陜西 西安 710119)

        目的 證明乘法半群為右擬正規(guī)帶的冪等元半環(huán)上的乘法半群上的相關(guān)同余可以推廣到半環(huán)上,成為半環(huán)同余. 方法 利用冪等元半環(huán)的乘法半群上的同余和半環(huán)同余的性質(zhì)來(lái)闡明相關(guān)結(jié)論.結(jié)果 得到了乘法半群的一些同余為半環(huán)同余. 結(jié)論 推廣了文[3]的一些結(jié)果。

        冪等元半環(huán);同余;正規(guī)帶;右擬正規(guī)帶

        一、引言

        半環(huán)(S,+,·)是指非空集合S上裝有兩個(gè)二元運(yùn)算加法“+”和乘法“·”的代數(shù),其中(S,+)和(S,·)均是半群,且滿足乘法對(duì)加法的分配律,即對(duì)任意的有,a,b,c∈S有(a+b)c=ac+bc

        冪等元半環(huán)S是指滿足附加條件對(duì)任意的的a∈S,a+a=a·a=a半環(huán),即S的加法半群和乘法半群均為帶.

        正規(guī)帶[左零帶,右零帶,矩形帶]是指適合恒等式xyzu=xzyu[xy=x,xy=y,xyz=xz]的帶,右擬正規(guī)帶則是滿足zxa=zaxa的帶.我們用Lz[Rz,ReB,NB,RQNB]表示左零帶[右零帶,矩形帶,正規(guī)帶,右擬正規(guī)帶]的全體.由[1]知Lz[Rz,ReB,NB,RQNB]是帶簇的子簇.

        二、結(jié)論及其證明

        我們用Con(S)表示半群S的同余的全體,設(shè)A是半群類(lèi)且ρ∈Con(S),若S/ρ∈A,則稱ρ為A-同余.若由任意同余θ使得S/θ∈A得到ρ?θ, 則稱ρ為S上的最小A-同余[2].

        設(shè)半群S∈NB,定義S的二元關(guān)系λ,λ*,μ分別如下:

        (a,b∈S)aλb?(?u∈S)au=bu;

        aλ*b?(?u∈S)ua=ub;

        aμb?(?u∈S)aub=bua;

        則由文[1]知λ[λ*,μ]是S上的最小Lz[Rz,Re,B]-同余, 由此,可以得到

        引理2.1半群S∈RQNB,如上定義二元關(guān)系λ,λ*,μ,則λ[λ*,μ]是S上的最小Lz[Rz,Re,B]-同余.

        證明半群S∈RQNB,即S滿足恒等式xyz=xzyz.首先證λ是S上的等價(jià)關(guān)系. 顯然λ是反身、對(duì)稱的.設(shè)a,b,c∈S,且aλb,bλc即存在u,v∈S使得au=bu,bv=cv.則

        avu=(au)(vu)=(bu)(vu)=bvu,bvu=(bv)(vu)=(cv)(vu)=cvu.,即a(vu)=c(vu).從而aλc, 故λ是S上的等價(jià)關(guān)系.

        下證λ是同余.即(?u∈S)au=bu則(?c∈S)auc=buc,cau=cbu.由于S∈RQNB,acuc=auc=buc=bcuc從而acλbc,caλcb即λ∈Con(s)得證.

        下面再證λ是S上最小的Lz同余.(a,b∈S)a(ab)=(ab))ab.由λ的定義得到λa=λaλb.即λ是Lz-同余.設(shè)θ是S上任意的Lz-同余,若aλb即(?u∈S)有ua=ub,則auθbu,由于θ是S上的Lz-同余,從而aθauθbuθb, 即aθb. 從而有λ∈θ.這表明λ是最小的Lz-同余.

        對(duì)稱的可以證明λ*是S上的最小的Rz同余.

        接下來(lái)證μ=λIλ*.若(a,b∈S)a(λIλ*)b,即(?u,v∈S)au=bu,va=vb則(au)(vb)=(bu)(va)即auvb=buva,從而aμb即λIλ*?μ.

        反之若(a,b∈S)aμb,即(?u∈S)aub=bua,則a(aub)=b(bua)=b(aub),(aub)b=(bua)b=(aub)b即a(λIλ*)b,從而μ?λIλ*,故μ=λIλ*.

        由于λ,λ*是S上的同余,又(a,b?S)a·a·(aba)=(aba)·a·a即aμaba從而μ是S上的矩形帶同余.設(shè)θ是S上的任意矩形帶同余,若aμb,即(?u∈S)aub=bua,則aubθbua,由θ是矩形帶同余,則abθaubθbuaθba,aθabaθabθbaθbabθb,即μ?θ,從而μ是S上的最小的Reb-同余. 證畢

        (a+c)aub(b+c)=(aub+caub)(b+c)

        =aub+aubc+caub+caubc

        =bua+buac+cbua+cbuac

        =b·bua·(a+c)+c·bua(a+c)

        =(b+c)bua(a+c)

        =(b+c)aub(a+c)

        同理可得(c+a)aub(c+b)

        =(caub+aub)(b+c)

        =caubc+caub+aubc+aub

        =cbuac+cbua+buac+bua

        =c·bua(c+a)+b·bua(c+a)

        =(c+b)bua(c+a)

        =(c+b)aub(c+a)

        從而(a+c)μ(b+c),(c+a)μ(c+b).即μCon(S,+),故μ∈Con(S).

        類(lèi)似地,可以得到λ,λ*,是S上的同余. 證畢

        [1] PASTIJN F.Indempotent of Distributive Semigroup I[J].Semigroup Forum,1993,26(1): 58-71.

        [2] Howie J M. Fundamentals of Semiring Theory[M]. Oxford Science Publications,Oxford,1995.

        [3] PETRICH M,REILLY N R.Completely Regular Semigroups[M]. New York:Wiley,1999.

        [責(zé)任編輯王愛(ài)萍]

        OnCongruencesofaClassofIdempotentSemirings

        LI Bin

        (Shaanxi Radio and TV University, Xi’an 710119)

        Aiming to prove the congruences of multiplicative reduct of idempotent semirings in which the multiplicative reduct is right-quasi normal band are semiring congruences; Methods describe the statements by using congruence on multiplicative reduct of semirings and the properities of semirings. Results obtain that some congruences on multiplicative reduct are semiring congruences. Conclusion make a that Some results in [3] are extended.

        idempotent semirings; congruences; normal band; right-quasi normal band.

        2017-06-26

        李斌(1978— ),陜西省西安市人,陜西廣播電視大學(xué)工程與建筑學(xué)院副教授,基礎(chǔ)數(shù)學(xué)碩士。

        本文系陜西廣播電視大學(xué)2017年度重點(diǎn)科研課題“半格序半群簇的有限基底問(wèn)題研究” (課題立項(xiàng)號(hào):17D-07-A08)階段性研究成果之一。

        O152.7

        A

        1008-4649(2017)03-0094-03

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