韓治國(guó)　林煜　張今　淡春?jiǎn)獭±顐?/p>

摘 要：針對(duì)直線二級(jí)倒立擺抗干擾控制器設(shè)計(jì)問(wèn)題，研究了基于深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的智能控制方法。首先介紹了BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型及優(yōu)化算法，并且根據(jù)直線二級(jí)倒立擺狀態(tài)方程，研究了基于深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的直線二級(jí)倒立擺控制算法。然后設(shè)計(jì)了一個(gè)六輸入單輸出的深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制器模型，并利用Pytorch框架，以LQR作為導(dǎo)師進(jìn)行神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練，訓(xùn)練完成后利用

MATLAB軟件對(duì)訓(xùn)練后的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，并與BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制器進(jìn)行對(duì)比，最后在直線二級(jí)倒立擺實(shí)驗(yàn)平臺(tái)上進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。仿真與實(shí)驗(yàn)表明，所設(shè)計(jì)的深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制器能夠?qū)崿F(xiàn)直線二級(jí)倒立擺的良好抗干擾控制，從而證明了該研究設(shè)計(jì)方法的合理性和有效性。

關(guān)鍵詞：深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò);直線二級(jí)倒立擺;LQR控制;MATLAB仿真

中圖分類(lèi)號(hào)：TP 273

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1672-7312（2022）03-0298-08

Controller Design of Linear Two-stage Inverted Pendulum

Based on Deep Neural Network

HAN Zhiguo，LIN Yu，ZHANG Jin，DAN Chunqiao，LI Wei

（School of Aeronautics，Northwestern Polytechnical University，Xi’an 710072，China）

Abstract：Aiming at the design of anti-jamming controller for linear two-stage inverted pendulum，

an intelligent control method based on deep neural network is studied.In this paper，BP neural

network and deep neural network models and optimization algorithms are introduced.According to

the state equation of linear two-level inverted pendulum，the control algorithm of linear

two-level inverted pendulum based on deep neural network is studied.By designing a deep neural

network controller model with six inputs and one output，the Pytorch framework is used to train

the neural network with LQR as a mentor.The network controller is compared，and finally the

experimental verification is carried out on the linear two-stage inverted pendulum experimental

platform.Simulation and experiments show that the designed deep neural network controller can

achieve good anti-interference control of the linear two-stage inverted pendulum，which proves

the rationality and effectiveness of the design method in this paper.

Key words：deep neural network;linear two-stage inverted pendulum;LQR control;MATLAB

simulation

0 引言

直線型二級(jí)倒立擺實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)具有非線性、不穩(wěn)定、多變量和強(qiáng)耦合等特點(diǎn)，又因?yàn)槠浣Y(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、成本較低，是開(kāi)展控制理論教學(xué)和實(shí)驗(yàn)的理想平臺(tái)[1-2]。因?yàn)閿[桿和滑塊的穩(wěn)定性可以直觀地體現(xiàn)出控制策略的效果，所以通過(guò)倒立擺實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)可以驗(yàn)證新設(shè)計(jì)的控制方法的穩(wěn)定性、抗干擾能力和魯棒性等特性，并且倒立擺的相關(guān)控制算法已應(yīng)用于機(jī)器人、航天、軍工以及一般工業(yè)生產(chǎn)過(guò)程等諸多領(lǐng)域。因此，對(duì)直線二級(jí)倒立擺系統(tǒng)的控制方法研究具有重要的實(shí)際和理論意義。

智能控制是控制理論發(fā)展的高級(jí)階段，是人工智能和控制理論結(jié)合的產(chǎn)物，主要用于解決用傳統(tǒng)控制方法難以解決的復(fù)雜非線性系統(tǒng)控制問(wèn)題[3]。人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是人工智能領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)之一，它通過(guò)將人腦的神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)抽象，建立某種數(shù)學(xué)模型模擬神經(jīng)元的活動(dòng)，以達(dá)到某種信息處理的功能。BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是一種基于誤差反向傳播神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法的多層前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，具有很強(qiáng)的非線性映射能力，主要應(yīng)用在分類(lèi)問(wèn)題、函數(shù)擬合和模式識(shí)別等方面。

為此，首先介紹BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型及優(yōu)化算法，分析直線二級(jí)倒立擺的狀態(tài)空間方程，并在此基礎(chǔ)上研究深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的二級(jí)倒立擺控制算法，設(shè)計(jì)一個(gè)六輸入單輸出的三隱層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制器。然后通過(guò)Pytorch框架以LQR作為導(dǎo)師進(jìn)行神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練，訓(xùn)練完成后利用MATLAB軟件對(duì)訓(xùn)練后的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，并與BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制器進(jìn)行對(duì)比，最后在前海格致直線二級(jí)倒立擺實(shí)物進(jìn)行驗(yàn)證，以驗(yàn)證深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的在二級(jí)倒立擺控制中的有效性和優(yōu)越性。

1 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型及優(yōu)化方法

1.1 BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

BP（back-propagation）神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是一種傳統(tǒng)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，其主要特點(diǎn)是信號(hào)前向傳遞和誤差反向傳播。信號(hào)通過(guò)輸入層、隱含層的處理，從輸出層輸出，并將輸出和期望輸出的誤差反向傳播，調(diào)整網(wǎng)絡(luò)的參數(shù)，使其不斷逼近期望輸出[4]。

設(shè)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸入為x=（x1，x2，…，xn）T，隱含層有m個(gè)節(jié)點(diǎn)，隱含層的激活函數(shù)為g，于是可得隱含層的輸出為

式中：x′i為隱含層第i個(gè)節(jié)點(diǎn)的輸出;wij為輸入層第j個(gè)節(jié)點(diǎn)與隱含層第i個(gè)節(jié)點(diǎn)的連接權(quán)值;bj為隱含層第i個(gè)節(jié)點(diǎn)的偏置。

BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中信號(hào)的前向傳遞以上述方式進(jìn)行，并在輸出層得到輸出。設(shè)輸出層有k個(gè)節(jié)點(diǎn)，第i個(gè)節(jié)點(diǎn)的輸出為yi，期望輸出為i，則網(wǎng)絡(luò)輸出與期望輸出的均方誤差為

為了使均方誤差ε盡可能小，最常用的方法為梯度下降法。因?yàn)樘荻戎赶蚝瘮?shù)值增長(zhǎng)最快的方向，所以負(fù)梯度方向指向函數(shù)值減小最快的方向。取步長(zhǎng)α，每次沿負(fù)梯度方向?qū)⒖捎?xùn)練參數(shù)調(diào)整α個(gè)單位，即

式中：α為學(xué)習(xí)率;ω為連接權(quán)值?？梢宰C明，選擇適當(dāng)?shù)膶W(xué)習(xí)率，BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的誤差會(huì)逐漸減小。

1.2 深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（neural network，NN）起源于感知機(jī)模型，隱含層的加入和激活函數(shù)的擴(kuò)展是神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)能夠?qū)W習(xí)復(fù)雜非線性模型的基礎(chǔ)。傳統(tǒng)的機(jī)器學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)一般只有單隱層，而深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（deep neural network，DNN）是具有多個(gè)隱含層結(jié)構(gòu)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。理論上，單隱層的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)就可以擬合任何連續(xù)函數(shù)，但在大部分情況下，單隱層結(jié)構(gòu)需要比多隱層結(jié)構(gòu)更多隱含層節(jié)點(diǎn)，換句話說(shuō)，網(wǎng)絡(luò)表現(xiàn)能力與隱含層節(jié)點(diǎn)數(shù)在寬度上呈線性關(guān)系，而在深度上呈指數(shù)型關(guān)系，所以“深網(wǎng)絡(luò)”往往比“寬網(wǎng)絡(luò)”的效率更高[5]。從另一個(gè)角度來(lái)看，DNN的多隱層結(jié)構(gòu)可以通過(guò)對(duì)原始數(shù)據(jù)的逐層特征提取使神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)數(shù)據(jù)的抽象程度提高，令具有更強(qiáng)的學(xué)習(xí)能力和泛化能力[6-7]。圖1是DNN的基本結(jié)構(gòu)。

訓(xùn)練DNN時(shí)，當(dāng)激活函數(shù)梯度小于1，誤差反向傳播時(shí)穿越的隱含層越多梯度就會(huì)越小，這導(dǎo)致靠近輸入層的隱含層訓(xùn)練的很慢（梯度大于1則會(huì)導(dǎo)致梯度爆炸，從而使網(wǎng)絡(luò)不穩(wěn)定），需要采取殘差結(jié)構(gòu)、Relu激活函數(shù)等方法提高神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練效率[8-9]。DNN還容易引起過(guò)擬合問(wèn)題，即神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在訓(xùn)練過(guò)程中受到噪聲、訓(xùn)練樣本不足等因素的影響導(dǎo)致其復(fù)雜度高于實(shí)際模型的復(fù)雜度，這將降低模型的泛化能力，表現(xiàn)為DNN在測(cè)試集上的表現(xiàn)遠(yuǎn)不如其在訓(xùn)練集上的表現(xiàn)，通?？梢圆扇≡黾訕颖緮?shù)量、正則化、Dropout、提前終止訓(xùn)練等方法避免過(guò)擬合的發(fā)生[10]。

1.3 梯度下降算法

深度學(xué)習(xí)中常用的梯度下降算法有SGD，Momentum，RMSprop，Adam等。Momentum算法模擬了動(dòng)量的概念，積累歷史的梯度來(lái)代替當(dāng)前的真實(shí)梯度，這種算法在前期能較好的加速，在后期能一定程度上抑制振蕩。RMSprop算法能使在參數(shù)空間較為平緩的方向上的學(xué)習(xí)加快，而較為陡峭的方向上的學(xué)習(xí)減緩[11]。Adam算法為結(jié)合了RMSProp算法和Momentum的梯度下降算法，并增加了偏差修正，故2.3節(jié)中選擇了Pytorch中的Adam算法，具體計(jì)算過(guò)程見(jiàn)式（4）

2 基于深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的控制算法實(shí)現(xiàn)

2.1 直線二級(jí)倒立擺模型構(gòu)建

在忽略空氣阻力和所有的摩擦力并將兩級(jí)擺桿均視為剛體的情況下，可以將整個(gè)直線型二級(jí)倒立擺系統(tǒng)抽象簡(jiǎn)化為由小車(chē)、兩級(jí)擺桿和兩級(jí)擺桿連接處的質(zhì)量塊組成的剛性系統(tǒng)。在慣性坐標(biāo)系內(nèi)采用Lagrange方法建立二級(jí)倒立擺的動(dòng)力學(xué)方程，建模所涉及的系統(tǒng)參數(shù)見(jiàn)表1，二級(jí)倒立擺動(dòng)力學(xué)方程組見(jiàn)式（5）。

2.2 訓(xùn)練數(shù)據(jù)生成

由于采用人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)監(jiān)督學(xué)習(xí)的學(xué)習(xí)方式，且線性二次型最優(yōu)控制器（LQR）在二級(jí)倒立擺的控制問(wèn)題上表現(xiàn)較好[12-16]，所以選擇LQR作為學(xué)習(xí)對(duì)象。根據(jù)二級(jí)倒立擺系統(tǒng)的線性化狀態(tài)空間方程，可利用MATLAB中的lqr函數(shù)求出最優(yōu)的反饋增益矩陣K

式中：矩陣Q和R分別是對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)變量和輸入的加權(quán)矩陣，用以構(gòu)成二次型目標(biāo)函數(shù)，取

Q=diag（10，150，200，5，30，15），R=1。

在控制過(guò)程中采集二級(jí)倒立擺系統(tǒng)的輸出值和控制器的輸出值作為訓(xùn)練樣本。

在人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練中，數(shù)據(jù)分布會(huì)對(duì)訓(xùn)練產(chǎn)生影響，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸入數(shù)據(jù)范圍較大會(huì)導(dǎo)致神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)收斂慢、訓(xùn)練時(shí)間長(zhǎng)。同時(shí)，在深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中，數(shù)據(jù)在經(jīng)過(guò)上一層網(wǎng)絡(luò)的變換后，其分布會(huì)發(fā)生變化，這會(huì)給下一層網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)帶來(lái)困難，同時(shí)在誤差反向傳播過(guò)程中，可能會(huì)出現(xiàn)梯度消失的問(wèn)題，也會(huì)導(dǎo)致收斂慢。因此，需要在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中增加數(shù)據(jù)處理的過(guò)程。歸一化是一種常用的數(shù)據(jù)處理方式，但將數(shù)據(jù)處理成標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布會(huì)導(dǎo)致神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)不到輸入數(shù)據(jù)的特征，所以在歸一化中加入了可訓(xùn)練的偏移量和縮放量[17]，使數(shù)據(jù)保留原始的特征，計(jì)算過(guò)程為

式中：xi為批量數(shù)據(jù)中第i個(gè)數(shù)據(jù);μB為批量數(shù)據(jù)的均值;σ2B為批量數(shù)據(jù)的方差;yi是第i個(gè)數(shù)據(jù)的處理結(jié)果。

這種數(shù)據(jù)處理方式還可以應(yīng)用在隱含層之間，提高DNN的訓(xùn)練速度，降低過(guò)擬合。

2.3 深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建與訓(xùn)練

Pytorch是一種深度學(xué)習(xí)框架，提供了GPU加速的張量計(jì)算和包含自動(dòng)求導(dǎo)系統(tǒng)的深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。使用Pytorch框架搭建的全連接神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)如圖2所示。

其中，二級(jí)倒立擺系統(tǒng)的6個(gè)狀態(tài)變量作為輸入，3個(gè)隱含層均有9個(gè)節(jié)點(diǎn)，激活函數(shù)選擇1.2節(jié)提到的Relu激活函數(shù)的變體ELU函數(shù)，其公式為

使用ELU函數(shù)能使激活函數(shù)在x>0時(shí)導(dǎo)數(shù)為1，能一定程度上解決誤差反向傳播時(shí)的梯度消失問(wèn)題。

考慮到輸出量u為正和為負(fù)的概率相等，所以設(shè)最后一層網(wǎng)絡(luò)的偏置為0，并且二級(jí)倒立擺系統(tǒng)的狀態(tài)變量平均值應(yīng)該為0，故第一次數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化處理時(shí)將偏移量β恒取為零。

損失函數(shù)設(shè)計(jì)為1.1節(jié)中介紹的均方誤差損失函數(shù)加上偏差與期望比值的絕對(duì)值，即

設(shè)計(jì)右式第二項(xiàng)的目的是當(dāng)被控系統(tǒng)接近穩(wěn)定時(shí)（即控制器輸出較小時(shí)），神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸出能更接近期望輸出。優(yōu)化器選擇Adam優(yōu)化器，具體算法流程在1.3節(jié)有所介紹。

在pytorch中實(shí)現(xiàn)深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的流程如圖3所示。

基于Pytorch的深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練程序核心內(nèi)容為

使用tensorboard工具包觀察神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練過(guò)程，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸出與期望輸出的均方誤差變化曲線如圖4所示。

可以看出，損失函數(shù)值隨迭代次數(shù)增加而不斷減小，最終收斂到小于0.1。

2.4 倒立擺控制仿真

根據(jù)倒立擺數(shù)學(xué)模型和訓(xùn)練完成的DNN控制器在MATLAB中搭建二級(jí)倒立擺控制系統(tǒng)仿真模型，運(yùn)行仿真模型，并與單隱層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制器性能進(jìn)行對(duì)比。圖5～圖7給出了二級(jí)倒立擺小車(chē)位移s、下擺桿偏離鉛垂線的角度θ1和上擺桿偏離鉛垂線的角度θ2的仿真曲線。

可以看出，DNN的二級(jí)倒立擺控制器能實(shí)現(xiàn)對(duì)二級(jí)倒立擺的穩(wěn)定控制，并且在下擺桿角度和上擺桿角度的控制性能明顯好于單隱層控制器，并且控制消耗的能量也少于單隱層控制器（約為單隱層控制器的80%），但在小車(chē)位移的控制上要差于單隱層控制器。

在仿真進(jìn)行10 s后增加一個(gè)擾動(dòng)，DNN控制器和單隱層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制器仿真控制曲線如圖8～圖12所示?？梢钥闯?，在加入相同的擾動(dòng)后，DNN控制出現(xiàn)的波動(dòng)小于單隱層控制。說(shuō)明了該控制方法的有效性和可行性。

為了驗(yàn)證被控系統(tǒng)參數(shù)具有偏差時(shí)DNN控制器的魯棒性，對(duì)仿真時(shí)被控系統(tǒng)參數(shù)做出如下調(diào)整

DNN控制器和單隱層控制器的參數(shù)不變，對(duì)比仿真結(jié)果如圖13～圖16所示。

可以看出，在被控系統(tǒng)參數(shù)存在相同的偏差時(shí)，DNN控制器的控制效果好于單隱層控制器，說(shuō)明了DNN控制器具有較強(qiáng)的魯棒性。

2.5 二級(jí)倒立擺實(shí)物控制

由前海格致直線二級(jí)倒立擺實(shí)物進(jìn)行實(shí)物驗(yàn)證。運(yùn)行直線二級(jí)倒立擺VC實(shí)時(shí)控制程序，將上下兩擺桿同時(shí)提升至平衡位置附近后松手，當(dāng)擺角均小于14°時(shí)觸發(fā)平衡控制程序。運(yùn)行中的二級(jí)倒立擺系統(tǒng)實(shí)物如圖17所示。

程序運(yùn)行后，上下擺桿能保持較穩(wěn)定的直立狀態(tài)，小車(chē)在一定范圍內(nèi)左右運(yùn)動(dòng)，并且給擺桿施加一個(gè)合適的小擾動(dòng)后，該系統(tǒng)也能很快恢復(fù)平衡狀態(tài)。實(shí)驗(yàn)證明了DNN控制器設(shè)計(jì)的有效性和魯棒性。

3 結(jié)論

1）構(gòu)建了深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型與直線二級(jí)倒立擺數(shù)學(xué)模型，利用LQR控制作為深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練導(dǎo)師，實(shí)現(xiàn)對(duì)深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練與優(yōu)化。

2）針對(duì)構(gòu)建的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制器，通過(guò)仿真與實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制器設(shè)計(jì)方法在直線二級(jí)倒立擺控制中的有效性和合理性。同時(shí)，通過(guò)增加擾動(dòng)的仿真實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證了深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制器的魯棒性和穩(wěn)定性。

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（責(zé)任編輯：張 江）

收稿日期：2022-02-17

基金項(xiàng)目：航空科學(xué)基金項(xiàng)目（20180153002，20200001053001）

作者簡(jiǎn)介：韓治國(guó)（1986—），男，陜西西安人，博士，副研究員，主要從事控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)方面的研究工作。