韓岳 郭云霞

【摘要】三角函數(shù)和二次函數(shù)是初中階段數(shù)學(xué)教學(xué)的重要部分，對(duì)許多學(xué)生來(lái)說(shuō)是難點(diǎn).在教學(xué)過(guò)程中，教師要注意所學(xué)問(wèn)題的選擇，鼓勵(lì)學(xué)生盡可能多地思考.

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)函數(shù);三角函數(shù);二次函數(shù)

1 二次函數(shù)單調(diào)性問(wèn)題

例1 已知屬于0，1時(shí)，函數(shù)y=（mx-1）2的圖象與y=x+m的圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn)，求正實(shí)數(shù)m的取值范圍.

解析 首先設(shè)f（x）=（mx-1）2，g（x）=x+m.由于x屬于0，1，g（x）的單調(diào)性在0，1上是單增的，我們只需分類(lèi)討論一下f（x）的單調(diào)性即可.

（1）m∈0，1時(shí)，在同一平面直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)f（x）和g（x）的圖象，如圖1：

己知此時(shí)兩函數(shù)圖象在x∈[0，1]上有且只有一個(gè)交點(diǎn).

（2）m>1時(shí)，在同一平面直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)f（x）和g（x）的圖象，如圖2：

要滿足題意，則（mx-1）2≥1+m，解得m≥3或者m≤0（舍去）.

綜上可知m的取值范圍是0

2 二次函數(shù)最值問(wèn)題

例2 已知f（x）=x2+3x-5，x∈t，t+1，若f（x）的最小值設(shè)為h（t），請(qǐng)寫(xiě)出h（t）的表達(dá)式.

解析 由于f（x）=x2+3x-5的對(duì)稱(chēng)軸為x=-32，開(kāi)口向上.如圖3.

（1）當(dāng)t>-32，f（x）在t，t+1上是增函數(shù);x=t時(shí)，f（x）最小，f（x）的最小值為x2+3x-5;

（2）當(dāng)t≤-32

（3）當(dāng)t+1≤-32，即t≤-32時(shí)，f（x）在t，t+1上單減;f（x）在x=t+1時(shí)最小，所以最小值為t2+5t-1;

總結(jié) 通過(guò)二次函數(shù)的圖象來(lái)確定解題的大致思路，直觀清晰是數(shù)形結(jié)合思想的特點(diǎn).

3 二次函數(shù)值域問(wèn)題

例3 已知兩個(gè)二次函數(shù)y=x2-mx+m2+12和y=x2-mx-m2+22.

（1）兩個(gè)函數(shù)的圖象有一個(gè)與x軸存在A、B兩個(gè)不同的交點(diǎn)，判斷是哪一個(gè);

（2）若A點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，0），求出B點(diǎn)的坐標(biāo)，并對(duì)于經(jīng)過(guò)A、B點(diǎn)的二次函數(shù)，當(dāng)x取何值時(shí)，y隨著x的增大而減小？

解析 （1）y=x2-mx+m2+12，由于Δ=（-m）2-4×1×m2+22=-m2-2<0，所以該函數(shù)與x軸沒(méi)有交點(diǎn).

y=x2-mx-m2+22，由于Δ=（-m）2-4×1×-m2+22=3m2+4>0，所以該函數(shù)與x軸沒(méi)有交點(diǎn).

所以圖象經(jīng)過(guò)A、B點(diǎn)的函數(shù)是

y=x2-mx-m2+22.

（2）將A點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)中，根據(jù)函數(shù)y=x2-mx-m2+22，可得1+m-m2+22=0，解一元一次方程得m=0或2，當(dāng)m=0時(shí)，原函數(shù)即y=x2-1，令y=0，可得x1=1，x2=1，則當(dāng)m=0時(shí)，B點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0）.當(dāng)m=2時(shí)，原函數(shù)即為y=x2-2x-3，令y=0時(shí)，可得x1=1，x2=3，當(dāng)m=2時(shí)，B點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0）.

當(dāng)m=0時(shí)，二次函數(shù)為y=x2-1.此函數(shù)的圖象開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸為直線x=0，所以當(dāng)x<0時(shí)，函數(shù)值y隨x的增大而減小.

當(dāng)m=2時(shí)，二次函數(shù)為y=x2-2x-3，此函數(shù)的圖象開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸為直線x=1，所以當(dāng)x<1時(shí)，函數(shù)值y隨x的增大而減小.

4 坐標(biāo)存在問(wèn)題

例4 拋物線的頂點(diǎn)為A（2，1），且經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為B，

（1）求拋物線的解析式;

（2）在地物線上求點(diǎn)M使△MOB的面積是△AOB面積的3倍;

（3）連接OA，AB，在x軸下方的地物線上是否存在點(diǎn)N，使△OBN與△OAB 相似？若存在，求出N點(diǎn)的坐標(biāo)：若不存在，說(shuō)明理由？

解析 根據(jù)題意可知拋物線的解析式為y=a（x-2）2+1，由于這條拋物線過(guò)原點(diǎn)，所以a（0-2）2+1=0，可以得到a=-14.則拋物線的解析式為y=-14x2+x.△AOB和所求△MOB同底不等高，又因?yàn)镾△MOB=3S△AOB，則M的縱坐標(biāo)為-3，所以-3=-14x2+x，即x2-4x-12=0，解之，得到x=6或者-2.滿足條件的點(diǎn)有兩個(gè)：M（6，-3），（-2，-3）.

5 函數(shù)動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題

例5 現(xiàn)有一直線與直角坐標(biāo)系交點(diǎn)為點(diǎn)A 、點(diǎn)B，并與O點(diǎn)構(gòu)成△AOB. 直線可以表示為y=-13x+1. 之后以O(shè)點(diǎn)為圓點(diǎn)，轉(zhuǎn)動(dòng)△AOB形成△CDO，此時(shí)點(diǎn)A，C，D都在拋物線y=ax2+bx+c上，試求出以下問(wèn)題答案.

（1）確定點(diǎn)A，B，C，D的準(zhǔn)確坐標(biāo);

（2）求解二次函數(shù)的表達(dá)式;

（3）在直線BG（G為拋物線頂點(diǎn)）上，是否存在一點(diǎn)F，構(gòu)成△ABF與△CDO相似.

解析 （1）根據(jù)題意可以確定A、B、C、D的坐標(biāo);

（2）在確定A、C、D的坐標(biāo)之后，二次函數(shù)的表達(dá)式可以設(shè)為y=x2+2x+3;

（3）首先以頂點(diǎn)G為基準(zhǔn)，根據(jù)勾股定理可知GH=OB，BH=OA，GB=AB，所以∠GBA是一個(gè)直角，那么問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為證明BFBA=ODOC或BFBA=OCOD.

教師在教學(xué)過(guò)程中，要抓住三角函數(shù)與其他函數(shù)之間的聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生理解三角函數(shù)的解題思路.

參考文獻(xiàn)：

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