林燕青

【摘要】軌跡問題是初中數(shù)學(xué)常見的問題類型，動(dòng)點(diǎn)軌跡分析實(shí)則就是探究運(yùn)動(dòng)規(guī)律的過程，即在運(yùn)動(dòng)中尋找不變量，推導(dǎo)其中的數(shù)量或位置關(guān)系.

【關(guān)鍵詞】 軌跡問題;動(dòng)點(diǎn)軌跡;運(yùn)動(dòng)規(guī)律

1 平行定距

1.1 方法解讀

平行定距法常用于解析直線型軌跡問題，利用的是平行線之間的距離相等原理.如圖1所示，對于給定的定直線l，動(dòng)點(diǎn)到其距離為定長d，則其軌跡平行于直線l，如圖中的直線m或n，兩直線的距離就為定長d.

使用平行定距法解析問題時(shí)建議采用數(shù)形結(jié)合，確定動(dòng)點(diǎn)的直線軌跡，然后結(jié)合條件計(jì)算.解析時(shí)建議分三步進(jìn)行：第一步，確定動(dòng)點(diǎn)的初始和終止位置;第二步，關(guān)注圖中的從動(dòng)點(diǎn)，提取從動(dòng)點(diǎn)的關(guān)鍵位置;第三步，確定動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑，計(jì)算長度.

1.2 實(shí)例講解

例1 如圖2所示，在△ABC中，已知∠B=90°，∠BAC=60°，AB=1.點(diǎn)E是BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，現(xiàn)以AE為邊在其右側(cè)作等邊△AEF，再連接CF，G為線段CF的中點(diǎn).如果點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)，沿著BC方向運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)C.試求在該運(yùn)動(dòng)過程中點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)的路徑長.

解析 分析可知點(diǎn)E為主動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)G為從動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)軌跡為直線，需要確定點(diǎn)G的軌跡，再計(jì)算路徑.

取AC的中點(diǎn)為H，連接FH，如圖3，Rt△ABC，已知∠BAC=60°，AB=1，可推知AB=12AC，AH=AB.分析可知∠1+∠EAC=60°，∠2+∠EAC=60°，所以∠1=∠2.在△ABE和△AHF中，有AB=AH∠1=∠2AE=AF，所以△ABE≌△AHF，可推得∠B=∠AHF=90°，則FH為AC的垂直平分線，可推知AF=FC.

過點(diǎn)G作AC的垂線，設(shè)垂足為點(diǎn)I，則GI=12FH，且GI∥FH，分析可知點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)軌跡為射線IG，當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，停止運(yùn)動(dòng)，如圖4所示.在圖4中有AF=AE=AC=2AB=2，可推得FH=3，GI=32，所以點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)路徑長為32.

評析 上述在確定動(dòng)點(diǎn)G的軌跡時(shí)采用了平行定距法，充分把握動(dòng)點(diǎn)之間的距離關(guān)系，確定動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡.其中解析的關(guān)鍵是提取全等圖形，推導(dǎo)線段之間的長度和位置關(guān)系.

2 夾角定位

2.1 方法解讀

夾角定位法也是直線型軌跡分析的常用方法，即在平面內(nèi)，過定點(diǎn)且與定直線的夾角為定值的點(diǎn)，其點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為直線.如圖2所示，已知直線l與定點(diǎn)A，如果直線BA與直線l的夾角為確定的角α，則可以確定點(diǎn)B始終在定直線AB上.

使用夾角定位法進(jìn)行動(dòng)點(diǎn)軌跡推導(dǎo)，需要關(guān)注主、從動(dòng)點(diǎn)的關(guān)聯(lián)，包括兩點(diǎn)之間的距離，以及相關(guān)夾角.具體解析時(shí)常結(jié)合構(gòu)造法，構(gòu)造全等關(guān)系來聚集條件.

2.2 實(shí)例講解

例2 如圖3所示，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（-3，0），點(diǎn)B是y軸正半軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以AB為邊在AB的下方作等邊△ABP.當(dāng)點(diǎn)B在y軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，則OP的最小值為 .

解析 本題目中點(diǎn)A為定點(diǎn)，點(diǎn)B為主動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P為從動(dòng)點(diǎn)，△ABP為等邊三角形，則AB與AP之間的夾角為定角60°，點(diǎn)B的運(yùn)動(dòng)的軌跡為直線.

可以AO為邊長在圖中的第三象限作等邊△AP1O，如圖4，再過點(diǎn)P1作P1 P2⊥AP1交x軸于點(diǎn)P2，可證△AOB≌△AP1 P2，由全等性質(zhì)可得∠A P1 P2=∠AOB=90°.

求OP的最小值需先確定點(diǎn)P的軌跡.已知△ABP為等邊三角形，且點(diǎn)B在y軸的正半軸上運(yùn)動(dòng)，利用夾角定位法可知點(diǎn)P的軌跡線為P1 P2所在直線.過點(diǎn)O作P1 P2的垂線，設(shè)垂足為點(diǎn)P，圖中OP的長就為其最小值.推導(dǎo)可得OP2=OA=3，所以O(shè)P=32.

評析 上述采用夾角定位來確定點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡，在點(diǎn)B向下移動(dòng)的過程中，可將△ABP視為是平移縮放的過程，而平移的方向就為點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)方向.

3 “定邊對直角”建模

3.1 方法解讀

建模是基于圓周角定理所構(gòu)建，即在圓中，直徑所對的圓周角為直徑.

依托圓周角定理可推知，在圖5所示的三角形中，若點(diǎn)A和B為定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在平面內(nèi)滿足∠APB=90°，則點(diǎn)P的軌跡為以AB為直徑的圓上，幾何上將其稱之為“定邊對直角”模型.

3.2 實(shí)例講解

例3 如圖6所示，在Rt△ABC中，已知AB⊥BC，AB=6，BC=4，點(diǎn)P是△ABC內(nèi)部的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且始終滿足∠PAB=∠PBC，則線段CP的最小值為 .

解析 分析可知∠ABP+∠PBC=90°，又知∠PAB=∠PBC，則∠BAP+∠ABP=90°，所以∠APB=90°，即定邊AB所對的角為直角，可確定點(diǎn)P在以AB為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，取AB的中點(diǎn)，記為圓心O.

顯然當(dāng)點(diǎn)O、P、C共線時(shí)，CP取得最小值，連接OP，與⊙O的交點(diǎn)就為點(diǎn)P.在Rt△BCO中，由勾股定理可得OC=5，則PC=OC-OP=2，即PC的最小值為2.

評析 上述求CP的最小值，關(guān)鍵是確定點(diǎn)P的軌跡，通過等角代換依然可推知定角—∠APB=90°，顯然滿足“定邊對直角”模型的要求.

總之，初中階段動(dòng)點(diǎn)軌跡常見的為直線和圓弧兩種，對于軌跡問題可分三步進(jìn)行，即猜測形狀——證明軌跡——代入應(yīng)用，具體應(yīng)用時(shí)需針對性分析，靈活變通.