摘? 要：數(shù)學教學要在理解數(shù)學、理解學生、理解技術(shù)、理解教學的基礎(chǔ)上設計和踐行活動. 單元結(jié)構(gòu)化教學要在系統(tǒng)論和結(jié)構(gòu)化理論指導下審視教材內(nèi)容和課程標準的要求，對知識內(nèi)容進行分析、重組和整合，并形成相對完整的教學單元. 基于知識結(jié)構(gòu)的“明線”和思想方法與核心素養(yǎng)的“暗線”，延長知識鏈條，拓展知識結(jié)構(gòu)，升華思維層級，從而讓學生的數(shù)學核心素養(yǎng)得以持續(xù)發(fā)展.

關(guān)鍵詞：四個理解;單元教學;結(jié)構(gòu)化

《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱《標準》）指出，重視以學科大概念為核心，使課程內(nèi)容結(jié)構(gòu)化，以主題為引領(lǐng)使課程內(nèi)容情境化，促進學科核心素養(yǎng)的落實. 整體把握教學內(nèi)容，促進學科核心素養(yǎng)連續(xù)性和階段性發(fā)展. 高中數(shù)學是一個相互聯(lián)系、相互貫通的知識和能力結(jié)構(gòu)體，但教材知識的呈現(xiàn)往往是分散和孤立的. 單元結(jié)構(gòu)化教學是指以教材為基礎(chǔ)，用系統(tǒng)論和結(jié)構(gòu)化的思維方式對教材中具有某種內(nèi)在關(guān)聯(lián)性的內(nèi)容進行分析、重組和整合，并形成相對完整的教學單元，在整體化思維的觀照下，有序規(guī)劃、有效實施，呈現(xiàn)“學、教、評”一體的教學方式.

章建躍博士提出，數(shù)學教學要在理解數(shù)學、理解學生、理解技術(shù)、理解教學的基礎(chǔ)上設計和踐行活動.“四個理解”是單元結(jié)構(gòu)化教學的導引. 單元結(jié)構(gòu)化教學要求教師整體把握單元知識結(jié)構(gòu)的內(nèi)在邏輯，深刻理解內(nèi)容本質(zhì)，充分了解學生的認知規(guī)律，以高觀點重構(gòu)數(shù)學教材的內(nèi)容，設計拾級而上、相對獨立而又內(nèi)具關(guān)聯(lián)的活動群，以此實現(xiàn)學生數(shù)學核心素養(yǎng)的持續(xù)發(fā)展. 下面，筆者以“直線與平面的垂直關(guān)系”一課的教學為例加以說明.

一、理解數(shù)學，使單元結(jié)構(gòu)化教學的生成邏輯更合理

“單元”并不一定指教材劃分的知識章節(jié)，而是指基于學科核心素養(yǎng)、學生認知規(guī)律和學科知識邏輯體系建構(gòu)的學科教學單位. 它可以介于章內(nèi)容與課時內(nèi)容之間，對外相對獨立，對內(nèi)關(guān)聯(lián)性強、共同特征多，體系相對完整. 單元內(nèi)容一般由基礎(chǔ)知識、思想方法和核心素養(yǎng)加以串聯(lián). 單元結(jié)構(gòu)化教學注重知識結(jié)構(gòu)的“明線”和思想方法與核心素養(yǎng)的“暗線”. 一是要求對教學內(nèi)容和教學結(jié)構(gòu)進行優(yōu)化，突出主題內(nèi)容和知識間的關(guān)聯(lián)性和結(jié)構(gòu)性，形成“知識單元”，呈現(xiàn)可見的“明線”;二是要求圍繞單元核心概念、原理，通過數(shù)學思想方法和核心素養(yǎng)要求，展現(xiàn)知識點之間的隱性聯(lián)系，呈現(xiàn)內(nèi)蘊的“暗線”. 從這個角度分析，我們將立體幾何初步整合分成“基本立體圖形”和“基本圖形位置關(guān)系”兩個大單元，并在此基礎(chǔ)上生成若干個既相互獨立又相互關(guān)聯(lián)的實施單元.

立體幾何中，基本幾何圖形的位置關(guān)系是基礎(chǔ)，在整個教學中起奠基作用. 人教A版《普通高中教科書·數(shù)學》必修第二冊（以下統(tǒng)稱“教材”）先是對三者的位置關(guān)系進行分類，然后從空間中兩條直線的位置關(guān)系、線面的位置關(guān)系和面面的位置關(guān)系進行了從定性到定量的探究. 特別是通過觀察、思辨確認“垂直”“平行”的判定與應用. 無論是線線關(guān)系、線面關(guān)系還是面面關(guān)系，都以“情境、定義、判定、性質(zhì)、應用”作為結(jié)構(gòu)化教學的展開要素，形成項目化任務. 本節(jié)課的起始可以設置如下問題組織學生活動.

問題1：圖1是一臺路由器，在調(diào)節(jié)天線位置的過程中，如何知道天線與路由器的表面是否垂直？怎樣判斷呢？

教學過程：觀察由幾何畫板軟件生成的動畫，將天線抽象成直線，將路由器表面抽象成平面. 從探討“若直線和平面內(nèi)一條直線垂直，能否得出直線與平面垂直？”入手，引發(fā)學生思考：什么是直線與平面垂直？怎么判定直線與平面垂直？逐步向深處探索.

問題2：將上述動畫進一步變化，如圖2，觀察圓錐的軸SO與圓錐底面的位置關(guān)系，引導學生嘗試給出直線與平面垂直的定義.

追問：當直線垂直于平面內(nèi)無數(shù)條直線時，直線與平面是否垂直？

【設計意圖】借助學生的生活經(jīng)驗和已有認知結(jié)構(gòu)，借鑒線面平行的結(jié)構(gòu)化研究經(jīng)驗，經(jīng)歷觀察、質(zhì)疑、歸納、提煉等探索過程，將線面關(guān)系逐步降維到線線關(guān)系，體現(xiàn)系統(tǒng)、聯(lián)系的思維結(jié)構(gòu). 將學生熟悉的圓錐作為基本載體. 圓錐是直角三角形繞著一條直角邊所在直線旋轉(zhuǎn)得到的，對于圓錐底面中的任意一條直線都有一條半徑與之平行，從而將圓錐的軸與底面任意一條直線的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為直角三角形兩條直角邊之間的位置關(guān)系. 這一過程呈現(xiàn)了立體幾何初步單元研究的基本路徑.

為實現(xiàn)“學、教、評”一體化，本環(huán)節(jié)設置如下的嵌入評價量值，并進行實時評價，讓學生不斷清晰課堂教學的目標. 基礎(chǔ)層級指標：學生能說出直線間的基本樣態(tài)（如斜交、垂直等），能給出其他線面垂直的實例. 提高層級指標：學生能概括出直線與平面垂直的定義，能正確區(qū)分“無數(shù)”和“任意”.

二、理解教學，使單元結(jié)構(gòu)化教學的意義重構(gòu)更合情

理解教學，就是靈活選擇教學活動的組織方式，引導學生從不同角度看待問題、分析問題和思考問題，形成對一個問題更準確、更全面和更深刻的認識. 單元結(jié)構(gòu)化教學要基于學情，提煉合適的內(nèi)容主線，設計恰當?shù)膶W習主題，把知識鏈條延長，對知識面進行拓展，將思維層級升華，讓散落于教材中的方法和思維凝練，形成“一般觀念”和“發(fā)展邏輯”，體現(xiàn)出教學的整體性、發(fā)展性和邏輯性. 結(jié)構(gòu)化視野，不僅是知識和技能的結(jié)構(gòu)化，也是教學活動的結(jié)構(gòu)化，更是基于核心素養(yǎng)的整個單元教學活動的條理化.

立體幾何初步中，基本幾何圖形的位置關(guān)系，從定性的性質(zhì)判定到定量的度量計算都是以“低維”來刻畫“高維”、由“線”來刻畫“面”的教學路徑. 從學生的實際能力出發(fā)，從知識的發(fā)展邏輯和接受時序出發(fā)，引導學生進行具有整體意義的結(jié)構(gòu)化學習，自主探究“直線與平面的垂直”，推動學生理解直線與平面垂直的定義，注重說理和推理，確認判定定理和性質(zhì)定理，能有效落實數(shù)學抽象、直觀想象和邏輯推理等素養(yǎng)的培育.

問題3：繼續(xù)觀察路由器模型，如果兩根天線都垂直于路由器的表面，這兩根天線呈現(xiàn)怎樣的位置關(guān)系？

教學過程：觀察幾何畫板軟件生成的動畫，并將上述問題放入長方體模型，如圖3所示. 引導學生直觀想象并探索和證明上述猜想.

問題4：如圖4，已知a⊥α，b⊥α，求證：a∥b.

在證明問題的時候，因為直接證明不太方便，所以利用正難則反的思想方法引出反證法證明.

問題5：如何描述上述結(jié)論？

師生共同梳理，得到表1.

【設計意圖】始終結(jié)合生活模型，學會從數(shù)學的角度發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題，加強現(xiàn)實圖形與抽象圖形的聯(lián)系、圖形語言與數(shù)學語言的聯(lián)系、邏輯表達與知識結(jié)構(gòu)的聯(lián)系，感悟數(shù)學思維的結(jié)構(gòu)化和系統(tǒng)化. 將直線與平面垂直的性質(zhì)進行前置研究，體現(xiàn)基于學情分析的知識“再建構(gòu)”，保障學生課堂數(shù)學思維的順暢性.

為實現(xiàn)“學、教、評”一體化，本環(huán)節(jié)設置如下嵌入評價量值，并進行實時評價，讓學生不斷清晰課堂教學目標. 基礎(chǔ)層級指標：學生能說出兩條直線的位置關(guān)系，能用語言表達定理. 提高層級指標：學生能用三種語言表述性質(zhì)定理，能思考并采用反證法進行證明.

三、理解學生，使單元結(jié)構(gòu)化教學的過程演繹更合拍

從促進學生的思維發(fā)展這一立場進行分析，數(shù)學教學應當通過“結(jié)構(gòu)性教學”幫助學生生成“結(jié)構(gòu)性思維”，努力幫助學生學會學習. 單元結(jié)構(gòu)化教學要求在系統(tǒng)分析的基礎(chǔ)上組建學習單元、確定主題、明確目標、系統(tǒng)設計、結(jié)構(gòu)化任務和遞進性活動，充分調(diào)動學生的學習興趣，讓學生在綜合思考后對概念進行理解和建構(gòu)，完成單元學習，達成學習目標，沉淀并固化形成自己的素養(yǎng)品質(zhì).

在立體幾何初步中，直線與平面垂直是空間中最重要的基本圖形位置關(guān)系之一. 直線與平面垂直既是空間直線與直線垂直的延續(xù)，又是平面與平面垂直的基礎(chǔ)，所以研究方法與思維路徑都有承上啟下的作用. 結(jié)構(gòu)性思維要求通過歸納和分析，使學生理解空間中點、直線和平面的位置關(guān)系，用數(shù)學語言表述空間有關(guān)垂直的判定與性質(zhì)，并運用結(jié)論進行推理論證，發(fā)展學生的邏輯推理能力. 這些應該始終在課堂中得到很好的體現(xiàn).

問題6：繼續(xù)觀察路由器模型，如果兩根天線處于平行狀態(tài)，其中一根天線與路由器表面垂直，則另一根天線與路由器表面呈現(xiàn)怎樣的位置關(guān)系？

教學過程：觀察幾何畫板軟件生成的動畫，并將上述問題回歸長方體模型，如圖5所示. 引導學生直觀想象并探索和證明上述猜想.

問題7：如圖6，已知a⊥α，a∥b，求證：b⊥α.

教學過程：抓牢定義，只要證明直線b垂直于平面內(nèi)的任意一條直線即可.

問題8：如何描述上述結(jié)論？

師生共同梳理，得到表2.

【設計意圖】始終結(jié)合生活模型，強化定義的應用，積累空間問題平面化的經(jīng)驗. 關(guān)注同一主線內(nèi)容的邏輯關(guān)系，沿著學生的思路展開教學，在前兩個環(huán)節(jié)的基礎(chǔ)上設計清晰的目標達成問題鏈條，在邏輯分明的核心任務引領(lǐng)下依次完成層次遞進的子任務，實現(xiàn)研究方法的凝練，形成結(jié)構(gòu)化思維.

為實現(xiàn)“學、教、評”一體化，本環(huán)節(jié)設置如下嵌入評價量值，并進行實時評價，讓學生不斷清晰課堂教學目標. 基礎(chǔ)層級指標：學生能提出猜想，說出直線與平面的位置關(guān)系，能用語言描述結(jié)論. 提高層級指標：學生能對結(jié)論進行嚴格證明，并能用三種語言描述結(jié)論.

四、理解技術(shù)，合乎單元結(jié)構(gòu)化教學的多元呈現(xiàn)

數(shù)學知識的形成依賴于直觀，數(shù)學知識的確定依賴于推理. 也就是說，在大多數(shù)情況下，數(shù)學結(jié)果是“看”出來的而不是“證”出來的. 所謂“看”是一種直覺判斷，這種直覺判斷建立在長期、有效的觀察和思考的基礎(chǔ)上. 針對立體幾何初步的單元特性，單元結(jié)構(gòu)化教學要充分借助技術(shù)，充分利用基本幾何模型，讓學生充分經(jīng)歷直觀感受、操作確認和辨別辨析等學習活動，通過觀察和想象積累活動經(jīng)驗，讓學生在不同維度的幾何圖形之間自如切換，加深對空間中幾何圖形位置和特征的探究.

立體幾何初步單元的教學遵循從整體到局部、從具體到抽象的原則，提供豐富的實物模型或利用計算機軟件呈現(xiàn)空間幾何體，特別是三維空間的呈現(xiàn)，能幫助學生更加直觀地認識空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，引導學生發(fā)現(xiàn)并描述基本圖形的平行關(guān)系或垂直關(guān)系的命題，理解切、割、截后的幾何性質(zhì)，并能證明其中一些命題. 用定義判定直線與平面垂直，是一個由無限轉(zhuǎn)化為有限的過程，技術(shù)的支持能讓這一過程更切合學生的思考.

問題9：繼續(xù)觀察路由器模型，由直線與平面垂直的定義可知，如果天線和路由器平面內(nèi)的所有直線都垂直，則直線和平面垂直. 但這樣無限驗證的過程，不利于我們進行推理論證，能否將條件減弱一些？

教學過程：觀察幾何畫板軟件生成的動畫，排除直線垂直于平面內(nèi)的“一條”直線就判定垂直的猜想. 回歸長方體模型，如圖7所示. 引發(fā)學生合理猜想：如果一條直線垂直于平面內(nèi)兩條相交直線，則直線與此平面垂直.

問題10：如圖8，折疊三角形紙片，探究在什么條件下能使折痕與桌面垂直.

教學過程：安排探究活動. 進行折紙實驗，讓全體學生動手操作，發(fā)現(xiàn)將三角形紙片ABC沿邊BC邊上的高AD進行翻折，然后立在桌面上，此時折痕AD所在的直線與桌面所在的平面α垂直. 沿著折痕AD旋轉(zhuǎn)、平移立起的紙片，讓BD和CD在桌面內(nèi)變換位置，探究AD與桌面的位置關(guān)系，并對操作背后隱含的數(shù)學本質(zhì)做出自己的猜想. 利用幾何畫板軟件進行動畫展示，并對門、旗桿等模型進行解釋，進一步驗證猜想.

突出體現(xiàn)“降維”思想，借鑒線面平行的研究，從“線面垂直”向“線線垂直”轉(zhuǎn)化. 在教學中一定要給學生充足的時間進行探索活動.

問題11：如何描述上述結(jié)論？

師生共同梳理，得到表3.

【設計意圖】始終結(jié)合生活模型，充分利用信息技術(shù)的優(yōu)勢，通過學生對不同圖形或模型的審視觀察，類比直線與平面平行的判定方法，將線面垂直降維為線線垂直. 在圖形的變化中，實現(xiàn)由無限向有限的轉(zhuǎn)化，進一步鞏固立體幾何直觀感知、操作確認和思辨論證的結(jié)構(gòu)化思維體系.

為實現(xiàn)“學、教、評”一體化，本環(huán)節(jié)設置如下嵌入評價量值，并進行實時評價，讓學生不斷清晰課堂教學目標. 基礎(chǔ)層級指標：學生能說出直線與直線的位置關(guān)系，能用語言描述定理. 提高層級指標：學生能順著前面的內(nèi)容自然提出猜想，能對定理進行總結(jié)、歸納，能用三種語言描述定理.

單元結(jié)構(gòu)化教學呈現(xiàn)“系統(tǒng)分析、整體思維、結(jié)構(gòu)視野”的課堂框架，體現(xiàn)課堂整體教學流程的結(jié)構(gòu)化. 課堂的結(jié)課部分還應該系統(tǒng)回顧和總結(jié)本節(jié)課的主要內(nèi)容，優(yōu)化重組認知結(jié)構(gòu)，用整體的、聯(lián)系的和發(fā)展的眼光回看學習歷程，從碎片化、零散的知識串聯(lián)走向背后的結(jié)構(gòu)、聯(lián)系和規(guī)律，追求知識的應用和能力的遷移，進而建立科學的學習觀.

問題12：本節(jié)課，我們學了哪些內(nèi)容？生成了哪些有意義的學習成果？能否用思維導圖來呈現(xiàn)？

本節(jié)課的內(nèi)容用思維導圖呈現(xiàn)，如圖9所示.

【設計意圖】用思維導圖的形式進一步明晰課堂結(jié)構(gòu)、思維結(jié)構(gòu)和邏輯結(jié)構(gòu)，幫助學生基于章節(jié)視角，綜觀單元全局，整體把握知識體系，加深對《標準》和教材的理解，以及對教材編寫的明線（知識線）和暗線（思想方法線、核心素養(yǎng)線）的進一步有效鏈接，呈現(xiàn)高階思維的樣態(tài)，獲得整體層面的、系統(tǒng)科學的認知方式.

為實現(xiàn)“學、教、評”一體化，本環(huán)節(jié)設置如下嵌入評價量值，并進行實時評價，促進學生提升思維層級. 基礎(chǔ)層級指標：小組能有效合作交流，學生能說出本節(jié)課的大體框架. 提高層級指標：學生能系統(tǒng)表述思維框架和邏輯框架.

綜上所述，數(shù)學核心素養(yǎng)具有整體性和聯(lián)系性，不同知識背后所蘊含的數(shù)學素養(yǎng)和數(shù)學方法是相同或相似的. 因此，在發(fā)展核心素養(yǎng)的目標下，單元結(jié)構(gòu)化教學應該有更大的作為.

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