[摘? ? ? ? ? ?要]? 針對高職學(xué)生的高等數(shù)學(xué)競賽可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。為了在有限時間內(nèi)提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率，需要對數(shù)學(xué)競賽解題的一般規(guī)律進行總結(jié)。以極限為例，對歷年試題中的極限相關(guān)試題進行總結(jié)，歸納出一般性的結(jié)論，讓學(xué)生在有限的時間內(nèi)得到最大限度的提高，對高職院校高等數(shù)學(xué)競賽的輔導(dǎo)者和參賽者有一定的借鑒意義。

[關(guān)? ? 鍵? ?詞]? 高職院校;高等數(shù)學(xué);競賽;極限

[中圖分類號]? G712? ? ? ? ? ? ? ? ? ? [文獻標志碼]? A? ? ? ? ? ? ? ? ? [文章編號]? 2096-0603（2022）30-0109-03

一、引言

高等數(shù)學(xué)作為一門重要的公共基礎(chǔ)課，能夠指導(dǎo)學(xué)生正確認識客觀規(guī)律，解決實際問題，對培育學(xué)生的科學(xué)精神、創(chuàng)新精神，提高學(xué)生的邏輯思維能力有重要的意義[1]?，F(xiàn)代意義上的數(shù)學(xué)競賽起源于匈牙利，是一種發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)人才的形式，但是針對高職院校學(xué)生的數(shù)學(xué)競賽更側(cè)重于促進高等數(shù)學(xué)教學(xué)和學(xué)習(xí)。近幾年，我校每年報名參加江蘇省高等數(shù)學(xué)競賽的人數(shù)逐年上升，報名人數(shù)從最初的個位數(shù)到現(xiàn)在的200人以上。經(jīng)過問卷調(diào)查，報名參賽的學(xué)生超過50%是剛?cè)雽W(xué)的一年級新生，具有良好的高中數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，參加高等數(shù)學(xué)競賽熱情較高，但是缺少有效的指導(dǎo)。

為了提高參加競賽學(xué)生的學(xué)習(xí)效率，教師會利用學(xué)生有限的課余時間對學(xué)生進行輔導(dǎo)。為了增強競賽輔導(dǎo)的針對性，需要教師對江蘇省歷年競賽試題進行研究，把握試題的類型、解題技巧及難度層次，讓學(xué)生在有限的時間內(nèi)得到高效提升。因此本文以極限為例，對歷年競賽試題進行整理歸納，總結(jié)出一般性的方法，希望對高等數(shù)學(xué)競賽的輔導(dǎo)者和參賽者有一定的借鑒意義。

二、歷年極限試題的分類探討

極限是微積分的核心思想，掌握常用的求極限方法是學(xué)好微積分的關(guān)鍵。分析歷年高等數(shù)學(xué)競賽試題可知，常用求極限的方法有：數(shù)列極限的夾逼準則法、去零因子法、等價無窮小替換法、L′Hospital法則、導(dǎo)數(shù)定義法、泰勒公式等。下面以歷年的競賽試題為例對常用的求極限方法及極限方法的相關(guān)應(yīng)用進行說明。

（一）數(shù)列極限的夾逼準則

數(shù)列極限的夾逼準則法是求解數(shù)列極限的一種重要方法，其核心思想是放縮，將無法求出表達式的數(shù)列求和轉(zhuǎn)化為可求和的數(shù)列，進而求出數(shù)列極限，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的技巧性和實用性，是近幾年考查的熱點，首先給出數(shù)列極限夾逼準則的定義：

（二）無窮小的比較

小結(jié)：此類習(xí)題，要求參賽者對同階無窮小、低階無窮小、高階無窮小、等價無窮小的概念能熟練運用，在一些極限中函數(shù)的形式較為復(fù)雜，此時運用等價無窮小替換可使問題簡單化，但在求極限的過程中需注意只有整個式子中的乘除因子才可用等價無窮小替換，當(dāng)被代換的量作為加減的元素時就不可以使用，或者被代換的量在取極限的時候極限值不為0時候也不能用等價無窮小替換。

（三）L′Hospital法則求極限

L′Hospital法則求函數(shù)極限方法一直倍受歡迎，此方法使用起來較方便，可以解決大多數(shù)極限問題，常與等價無窮小替換法結(jié)合起來考查，以下給出L′Hospital法則的定義：

（四）綜合分析

高等數(shù)學(xué)競賽重點考查的是學(xué)生對知識理解的深入程度和對知識歸納運用的程度，輔導(dǎo)者在加強對學(xué)生基本知識和基本概念訓(xùn)練的同時，更要注重培養(yǎng)學(xué)生的綜合素質(zhì)，可通過一些綜合性的習(xí)題培養(yǎng)學(xué)生運用基本知識解決問題的能力，例如極限中也常出現(xiàn)涉及知識點較多的習(xí)題。

小結(jié)：有些試題參賽者覺得無從下筆，通過例7和例8分析可見，每一道看似復(fù)雜的難題只是不再單一考查一個知識點，此時需要參賽者對知識點拿捏得很準，不同的問題根據(jù)條件和形式一環(huán)扣一環(huán)地分析，邊做邊寫邊判斷，數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)需要在練習(xí)中才能得到較快的提升。

（五）極限的相關(guān)應(yīng)用

以上極限的求法也經(jīng)常運用于判斷函數(shù)的連續(xù)性及函數(shù)間斷點的類型，這里給出連續(xù)函數(shù)及間斷點的定義[2]：

小結(jié)：連續(xù)與間斷是極限的延伸，近幾年考查主要是以間斷點類型的判斷為主，要求參賽者對幾種間斷點的概念進行區(qū)別與理解，且在判斷的過程中要對幾種求極限的方法都加以掌握。

三、結(jié)語

通過以上五種問題的探索分析，針對不同的極限題選取恰當(dāng)?shù)姆椒?，但是每種方法不能孤立開來看，需要參賽者對知識點能融會貫通。極限的問題雖在試卷中位于基礎(chǔ)題部分，但存在很多技巧，在以上幾種題型的探究過程中也發(fā)現(xiàn)歷年真題有很多相似之處，大同小異。所以，參賽者在備賽過程中要學(xué)會抓住真題，多揣摩，多加練習(xí)與總結(jié)，才可以靈活地應(yīng)對競賽中的極限題[4]，輔導(dǎo)者在指導(dǎo)的過程中要加強學(xué)生基本知識和基本技巧的訓(xùn)練，使學(xué)生通過參加數(shù)學(xué)競賽對高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)邁入一個新的臺階[5]。

參考文獻：

[1]張耘.淺析高職高專數(shù)學(xué)競賽對學(xué)生創(chuàng)新能力的培養(yǎng)[J].教育與職業(yè)，2013（20）：175-176.

[2]張瑜.高等數(shù)學(xué)競賽教程[M].蘇州：蘇州大學(xué)出版社，2009.

[3]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院.數(shù)學(xué)分析（上冊）[M].5版.北京：高等教育出版社，2019.

[4]王罡.高職院校參加高等數(shù)學(xué)競賽的相關(guān)策劃[J].高教學(xué)刊，2016（22）：236-237.

[5]付向南.高等數(shù)學(xué)競賽試題分析[J].山東工業(yè)技術(shù)，2017（18）：264.

作者簡介：梅玲玲（1991—），女，漢族，江蘇如東人，碩士研究生，助教，研究方向：高等數(shù)學(xué)教學(xué)和調(diào)和分析。