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        小學(xué)生數(shù)感建立的幾個著力點

        2022-05-30 23:02:33時麗宏
        新課程·上旬 2022年35期
        關(guān)鍵詞:數(shù)感小數(shù)運算

        時麗宏

        數(shù)感自1954年被提出以來,已成為數(shù)學(xué)教育的重要主題之一。我國一直到2001年才在《全日制義務(wù)教育·數(shù)學(xué)課程標準(實驗稿)》中把數(shù)感問題作為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容之一。在2011年的數(shù)學(xué)課程標準中把數(shù)感作為10個數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一,這樣描述:“數(shù)感主要是指關(guān)于數(shù)與數(shù)量,數(shù)量關(guān)系,運算結(jié)果估計等方面的感悟。建立數(shù)感有助于學(xué)生理解現(xiàn)實生活中數(shù)的意義,理解或表述具體情境中的數(shù)量關(guān)系?!睌?shù)學(xué)界有學(xué)者在利用數(shù)感理論與不利用數(shù)感理論的對比教學(xué)中,發(fā)現(xiàn)利用數(shù)感理論對小學(xué)生數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)方面效果突出,所以,在小學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中,建立數(shù)感非常重要。小學(xué)生數(shù)感的建立可以從以下幾點著力。

        一、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情境化

        數(shù)學(xué)課程標準在整數(shù)的學(xué)習(xí)內(nèi)容中,這樣規(guī)定:“在現(xiàn)實情境中理解萬以內(nèi)數(shù)的意義,能認、讀、寫萬以內(nèi)的數(shù)”。在小數(shù)和分數(shù)的學(xué)習(xí)內(nèi)容中,這樣規(guī)定:“能結(jié)合具體情境初步認識小數(shù)和分數(shù),能讀、寫小數(shù)和分數(shù)”“能結(jié)合具體情境比較兩個一位小數(shù)的大小,能比較兩個同分母分數(shù)的大小”。這里反復(fù)出現(xiàn)的一個詞是情境。無論是理解整數(shù)、小數(shù)、分數(shù)的意義,還是認、讀、寫以及比較大小,都是在具體的情境中進行的。小學(xué)生的數(shù)感主要是對整數(shù)、小數(shù)、分數(shù)的感悟,對整數(shù)、小數(shù)、分數(shù)的相等與不等,大與小的感悟,而這些感悟,首先是在情境中的直覺,離開具體的學(xué)習(xí)情境的死記硬背違背了小學(xué)生的學(xué)習(xí)規(guī)律,也與當今時代不適應(yīng)。研究表明,科技發(fā)達的今天,數(shù)學(xué)思維比準確的運算更重要。尤其是數(shù)感中運算結(jié)果的估計更需要在情境中進行,因為估算是數(shù)量的估計,與精算中數(shù)的計算不同,數(shù)量是對具體事物數(shù)量特征的描述,是具體的,在一定的情境中進行的。

        義務(wù)教育階段小學(xué)數(shù)學(xué)的編寫,雖然版本比較多,但是都圍繞課程標準,數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)具有鮮明的情境化特點。在學(xué)習(xí)過程中,教師需要對數(shù)學(xué)情境進行準確而生動地描述,讓學(xué)生切身感受自己是學(xué)習(xí)的參與者,通過數(shù)學(xué)的眼光,運用數(shù)學(xué)思維認識社會現(xiàn)象,理解數(shù)學(xué)在生活中的重要作用。教師也可以讓學(xué)生描述教材中用圖文展示出來的學(xué)習(xí)情境,在描述中直觀感受數(shù)量與數(shù)的聯(lián)系與區(qū)別。

        對數(shù)的認識從對數(shù)量的認識開始,數(shù)量的認識體現(xiàn)在具體的物上,如3頭牛,5只羊,7斤大米,對它們進行描述,有一定的量詞,停留在具體的物上。如果沒有進一步抽象,那么這種認識仍然不能發(fā)展成數(shù)學(xué),但是這是數(shù)學(xué)的萌芽,它是從數(shù)量的角度認識牛、羊、大米的。又因為3頭牛,5只羊,7斤大米不是同一類,所以數(shù)與數(shù)之間沒有可比性。如果是3頭牛,5頭牛,7頭牛,具有共同點,則有了可比性,更容易從數(shù)量抽象到數(shù),可以得出3<5<7,由此可以發(fā)現(xiàn),小學(xué)生數(shù)感建立的情境設(shè)計應(yīng)以有利于數(shù)學(xué)思維的發(fā)展為原則。不是任意情境都有利于小學(xué)生數(shù)感的建立,如果不從小學(xué)生的角度出發(fā),建立的學(xué)習(xí)情境很可能成為學(xué)習(xí)的障礙。

        在從數(shù)量到數(shù)的數(shù)感建立過程中,作為數(shù)的標記的0、1、2、3……這些符號起到了重要的作用。據(jù)研究,生活在澳大利亞的原始部落,對數(shù)量的認識只有1、2和許多之分。在對烏鴉的數(shù)量識辨的研究中,發(fā)現(xiàn)烏鴉能確定4以內(nèi)的數(shù)量,大于等于5的數(shù)量烏鴉就無法確定。究其原因,是沒有數(shù)字符號。所以數(shù)字符號的出現(xiàn)和數(shù)位、進位制等數(shù)學(xué)原則的確定,是數(shù)學(xué)的一大進步。我國古代數(shù)學(xué)研究有許多領(lǐng)先領(lǐng)域,但是受數(shù)學(xué)符號的限制,影響了數(shù)學(xué)的發(fā)展,都說明數(shù)學(xué)符號的重要作用。作為計數(shù)符號的數(shù)字,在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中具有奠基作用。由此可見,從情境中感悟的數(shù)量,要上升到數(shù)的領(lǐng)域,必須創(chuàng)造數(shù)字符號,規(guī)定相關(guān)原則。要學(xué)習(xí)數(shù)學(xué),必須識記這些數(shù)字、數(shù)位和十進位制,但是,這些識記的東西又不能讓學(xué)生死記硬背。對數(shù)量與數(shù)的感悟中,既有一個從形象到抽象的過程,又有一個從抽象到形象的過程,所以需要識記的數(shù)字、數(shù)位和十進位又要在具體情境中理解記憶。小學(xué)生在這種互為相反的過程中既可以建立數(shù)感,同時也深化對數(shù)的感悟,進而認識并理解人們?nèi)绾瓮ㄟ^數(shù)學(xué)思維認識社會現(xiàn)實,而不是只把數(shù)學(xué)理解成加減乘除。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣的激發(fā)與養(yǎng)成,正是在情境化學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)它神奇的地方。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中因為急于得出加減乘除的準確結(jié)果,提高數(shù)學(xué)分數(shù),卻扼殺了部分學(xué)生對數(shù)學(xué)的好奇心。所以,課程標準反復(fù)強調(diào)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的情境化,建立數(shù)感,有利于學(xué)生的長遠發(fā)展。

        二、數(shù)感建立方法多樣化

        數(shù)感的建立方法是多樣的。對數(shù)量的感悟側(cè)重于情境中的形象化,是對事物數(shù)量方面的感知與描述,但數(shù)量的描述是向抽象思維的轉(zhuǎn)化,而數(shù)的感悟是基于對數(shù)量的認知。對整數(shù)的感悟是基礎(chǔ),尤其是人們在感悟整數(shù)的過程中數(shù)字符號的創(chuàng)造,數(shù)位的規(guī)定,十進位原則的建立,這些是認識分數(shù)與小數(shù)的基礎(chǔ)。要建立并發(fā)展數(shù)感,可以運用多種多樣的方法。

        (一)在參與社會活動中建立數(shù)感

        例1:同學(xué)們經(jīng)常隨爸爸媽媽到超市購物,請同學(xué)們把某一次所購商品的單價做一記錄,購物結(jié)束后,問問爸爸媽媽總共花了多少錢,你從中發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律?

        通過這次社會實踐活動,學(xué)生會發(fā)現(xiàn)總共花的錢大于商品的單價,如果將所購商品的單價相加,就會得出總價=單價+單價+單價的規(guī)律。如果所購商品相同,就會得出總價=單價×數(shù)量的規(guī)律。正是在這些社會實踐活動中,數(shù)量與數(shù)量之間的關(guān)系,數(shù)與數(shù)的關(guān)系,就會在頭腦中形成直觀的感知,尤其是在這種實踐中對數(shù)量關(guān)系的推測與探究以及規(guī)律的發(fā)現(xiàn),能培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)思維思考并解決生活中的問題的能力,這種能力的培養(yǎng)是受益終生的。在這里,學(xué)生在對數(shù)量關(guān)系的感悟中建立了數(shù)學(xué)模型。數(shù)學(xué)課程標準中第二學(xué)段有兩個重要的數(shù)學(xué)模型,一是總價=單價×數(shù)量,一是距離=速度×?xí)r間。感悟數(shù)量關(guān)系從某種意義上講也是一種數(shù)學(xué)建模思想。這種在社會實踐中數(shù)感的建立方法在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中可以螺旋式上升,隨著年齡的增長及社會閱歷的豐富,問題的提出也可在難度上逐步提升,甚至不設(shè)置問題,讓學(xué)生自己提問,培養(yǎng)數(shù)學(xué)創(chuàng)造性思維。

        (二)在動手操作中建立數(shù)感。

        例2:伴隨同學(xué)們學(xué)習(xí)的小書桌,是你的不說話的好朋友。請同學(xué)們拿出各自準備的測量長度的工具,量一量小書桌的長、寬、高,寫一寫,讀一讀。

        在這個案例中,測量長度的工具,可能出現(xiàn)卷尺、直尺、三角尺等,而計量單位可能出現(xiàn)米、分數(shù)、厘米、毫米,也可能出現(xiàn)尺、寸等,而數(shù)量可能出現(xiàn)整數(shù)與小數(shù)。在測量之前,我們不做規(guī)定,測量之后,學(xué)生各自寫一寫,讀一讀,寫完讀完再統(tǒng)一計量單位寫一寫、讀一讀。在動手完成操作的全過程中感知數(shù)量。如測得書桌長度為25厘米、2.5分米、0.25米之間有什么關(guān)系。感悟計量單位引起數(shù)位的變化,感悟整數(shù)到分數(shù)的拓展。理解因為單位不同對同樣的物體描述會不同,認識單位的重要性,也理解小數(shù)點位置的不同,數(shù)字意義的不同。這樣,對整數(shù)與小數(shù)以及二者關(guān)系的感悟就會通透而深刻。

        在測量小書桌中感知小書桌為0.25米,引導(dǎo)學(xué)生推測教室有多寬。有學(xué)生可能會根據(jù)書桌橫排有8排估計出教室寬接近3米。再由教室估計校園的長和寬,以此類推,小學(xué)生從身邊的小數(shù)量推測大數(shù)量,建立數(shù)量關(guān)系的數(shù)感。

        (三)在運算過程中建立數(shù)感

        數(shù)學(xué)課程標準對運算能力這樣表述:“主要指能夠根據(jù)法則和運算律正確地進行運算的能力。培養(yǎng)運算能力有助于學(xué)生理解運算的算理,尋求合理簡潔的運算途徑解決問題?!边\算能力作為十大數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一,與數(shù)感這一數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)看似并列,實際上,運算的過程中對算理的理解也是數(shù)感建立的一條途徑。運算過程中,既要理解運算法則,如整數(shù)、小數(shù)、分數(shù)加法中的同位相加法則,又要熟悉交換律、結(jié)合律、分配律等運算律。要理解這樣運算的原因,就要理解算理。在運算的過程中,應(yīng)當引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律并總結(jié)規(guī)律,發(fā)現(xiàn)算理,算理有助于合理簡潔地解決問題。

        例3:14-8=□

        這是20以內(nèi)退位減法運算。學(xué)生在學(xué)習(xí)了進位加法和不退位減法之后,再學(xué)習(xí)退位減法,雖然難度有所提高,但在學(xué)習(xí)這一板塊內(nèi)容時,從算理角度理解,尋找已經(jīng)學(xué)習(xí)的知識與需要學(xué)習(xí)的知識之間的聯(lián)系。而不是匆匆忙忙講怎么運算才是正確的。因為后者教給學(xué)生的是斷裂的知識,而前者教給學(xué)生的是數(shù)學(xué)思維,看似結(jié)果一樣,但是一個是短期的,一個是長久的,一個是暫時的,一個是終生的,孰優(yōu)孰劣,一目了然。所以,一個同樣的問題,因為解決方法不同,效果就會大不相同。在14-8的運算中,可以引導(dǎo)學(xué)生利用已經(jīng)學(xué)過的進位加法和不退位減法來解決,啟發(fā)學(xué)生對14-8這一算式進行變化,使它接近不退位減法和進位加法的形式。然后請學(xué)生把變化的算式寫一寫、讀一讀,看誰變化的算式更簡便。這里可能出現(xiàn)10+4-8,也可能出現(xiàn)14-4-4,還可能出現(xiàn)8+6-8,當然還有其他各種可能。在10+4-8這一變式中可引導(dǎo)學(xué)生認識14這個數(shù)中1在十位,所以表示為10,4在個位所以表示為4,學(xué)生對數(shù)位不同數(shù)字意義也不相同的數(shù)感得到加強。8+6-8這一變式看起來更簡便,但實際上,里面變化的思維比10+4-8要復(fù)雜一點:也可以從寫8+6-8變式中看出學(xué)生的思維更靈活。

        例4:+=□

        這個算式是異分母分數(shù)的加法,首先要通分,為什么分母相同才可以相加,原因是和分母不同而分數(shù)單位不同,是1個,是3個,只有通分后變成,是6個,+就轉(zhuǎn)變成+即1個和6個相加,結(jié)果是7個,即。通分之后分數(shù)單位相同,與整數(shù)加法的算理相同。教師在教學(xué)過程中應(yīng)注意引導(dǎo)學(xué)生尋找規(guī)律,總結(jié)規(guī)律,發(fā)現(xiàn)運算的算理,知其然并知其所以然,在運算中通過對算理的探究而加強數(shù)感。

        (四)在估算中建立數(shù)感

        新的數(shù)學(xué)課程標準對估算這樣表述:“選擇恰當?shù)膯挝贿M行簡單估計,體會估算在生活中的作用”,“在解決問題的過程中,能選擇合適的方法進行估算”。估算是解決數(shù)學(xué)問題的一種重要能力,如在進行除法運算中,試商就是一種估算。現(xiàn)實生活中也有許多地方需要估算。估算是數(shù)感建立的一條途徑。

        例5:學(xué)校組織春游,成人往返車票每人22元,學(xué)生往返車票是成人的半價,我班有2名教師和51名,帶500元夠嗎?

        這個案例,既可以通過運算求得車費的準確數(shù),然后和500元比較。但估算不僅快速,也能得出相應(yīng)的結(jié)果??梢园呀處熀蛯W(xué)生都看作學(xué)生,計53人,票價10元左右,估算出530元左右,和500元相比,結(jié)果很清楚。這個案例中,估算能迅速準確地得出結(jié)論,而且得出的過程中反映出學(xué)生運用數(shù)學(xué)思維解決問題的能力。估算表面看起來是對結(jié)果的估計,其實質(zhì)是一種思維過程和思維方法的體現(xiàn),在這里,計算出準確的結(jié)果所反映的只是學(xué)生的計算水平,而估算則能反映學(xué)生的思維水平。

        常用的估算方法有近似估算法,像上面春游的例子。也有數(shù)位估算法,如判斷3=801,對不對?通過數(shù)位估算,240是3的80倍,而801則在百位上,可以判定3=801是錯誤的。還有對比估算法,比如例2中由測量書桌到估算教室寬,再到估算校園長和寬。通過多種方法的估算,學(xué)生的數(shù)感得以建立并不斷加強。

        三、抽象思維形成過程化

        數(shù)學(xué)家希爾伯特認為數(shù)學(xué)中有兩種傾向,一種是直觀的傾向,另一種是抽象的傾向。數(shù)學(xué)表達也在不斷向抽象化發(fā)展,由數(shù)量到數(shù),出現(xiàn)數(shù)字,由數(shù)字到字母,再出現(xiàn)各種數(shù)學(xué)符號。這些數(shù)字、字母、符號的出現(xiàn)是數(shù)學(xué)不斷抽象化的發(fā)展。小學(xué)生的思維水平各年級段各有特點,但整體而言,小學(xué)階段仍以具體思維為主,并呈現(xiàn)逐漸向抽象思維發(fā)展的特點。所以,小學(xué)生抽象思維的發(fā)展必然伴隨著形象思維。小學(xué)生對數(shù)這一抽象概念的認識要在學(xué)習(xí)過程中不斷加深。

        抽象、推理、模型是最基本的數(shù)學(xué)思想。在數(shù)學(xué)教學(xué)的全過程,教師應(yīng)當把這一思想貫穿始終。

        例6:

        上面案例是在數(shù)的認識學(xué)習(xí)中的一個設(shè)計,左邊3只小老虎,中間3個黑點,右邊是數(shù)字3。這里不僅呈現(xiàn)出數(shù)量和數(shù),而且呈現(xiàn)出從數(shù)量到數(shù)的轉(zhuǎn)化過程。3只小老虎是用數(shù)量對小老虎的表述,屬于形象思維,3個黑點,具有概括性,屬于半形象半抽象思維,數(shù)字3則是抽象思維的。這里關(guān)鍵一步是中間的3個黑點的設(shè)計,巧妙地呈現(xiàn)出數(shù)量3到數(shù)字3的轉(zhuǎn)化過程。這種設(shè)計易于學(xué)生理解和接受,也有效地實現(xiàn)形象到抽象的提升。正是呈現(xiàn)出抽象思維形成的過程,學(xué)生對數(shù)量和數(shù)的感悟得以建立和加強。

        總之,小學(xué)生數(shù)感的建立要找到著力點,這樣,可以有效地完成數(shù)學(xué)課程標準中相應(yīng)的教學(xué)目標,培養(yǎng)并發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。

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