李小華　吳偉鴻　許如意

【摘要】本文探究一道2022年新高考Ⅰ卷解析幾何題目21題的解法，并將此類(lèi)問(wèn)題推廣為一般情況，得到相關(guān)的結(jié)論，對(duì)教師的解題教學(xué)有很好的借鑒作用.

【關(guān)鍵詞】解析幾何;齊次化;直線(xiàn)參數(shù)方程

解析幾何是利用代數(shù)方法研究幾何問(wèn)題，高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容.高考中解析幾何試題綜合性強(qiáng)、應(yīng)用面廣，對(duì)學(xué)生的推理論證能力、運(yùn)算求解能力要求較高.? 由于解析幾何蘊(yùn)含了函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化、分類(lèi)與整合、特殊與一般等數(shù)學(xué)思想，所以解析幾何試題可以有效地考察學(xué)生的直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)[3]. 本文以2022年數(shù)學(xué)新高考Ι卷第21題解析幾何題的解法探究，談?wù)勗诟呷A段如何對(duì)解析幾何進(jìn)行復(fù)習(xí).

1試題再現(xiàn)

2解法探究

3結(jié)論推廣

4解析幾何復(fù)習(xí)備考策略

從近幾年全國(guó)各地的高考數(shù)學(xué)試卷來(lái)看，解析幾何考査知識(shí)內(nèi)容覆蓋了直線(xiàn)、圓、橢圓、雙曲線(xiàn)、拋物線(xiàn)等，突出考察學(xué)生的理性思維、數(shù)學(xué)應(yīng)用和數(shù)學(xué)探索等學(xué)科素養(yǎng)，通過(guò)對(duì)近幾年各地高考試題分析，現(xiàn)給出如下備考建議：

（1）回歸教材，注重基礎(chǔ)，建構(gòu)知識(shí)網(wǎng)絡(luò). 高考試題中對(duì)解析幾何的基礎(chǔ)知識(shí)進(jìn)行了全面考查，如圓錐曲線(xiàn)定義、焦點(diǎn)三角形、拋物線(xiàn)焦點(diǎn)弦等幾何性質(zhì)以及直線(xiàn)與曲線(xiàn)的位置關(guān)系等，而且不回避熱點(diǎn)，如求圓的方程問(wèn)題、橢圓和雙曲線(xiàn)離心率問(wèn)題、弦長(zhǎng)問(wèn)題等，仔細(xì)對(duì)比可以發(fā)現(xiàn)，每年的高考試題很多都是由課本習(xí)題改編而來(lái)，比如2019年全國(guó)卷Ⅱ理科第21題第1問(wèn)源于人教A版教材41頁(yè)例3，2017年全國(guó)卷Ⅱ理科第20題源于人教A版教材41頁(yè)例2，這些高考試題源于課本，又高于課本，因此高考復(fù)習(xí)要回歸課本基礎(chǔ)知識(shí)，使學(xué)生了解知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展和應(yīng)用過(guò)程，夯實(shí)學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)，使學(xué)生掌握解決問(wèn)題的工具.

（2）重視圓錐曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)，切實(shí)提升學(xué)生利用數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想解決問(wèn)題的能力. 坐標(biāo)法是解決解析幾何問(wèn)題的通性通法，但是解析幾何問(wèn)題的本質(zhì)是幾何問(wèn)題，利用題目圖形的幾何性質(zhì)解答，往往能避開(kāi)繁瑣的代數(shù)運(yùn)算，起到出奇制勝、事半功倍的效果，縱觀近幾年的高考試題，很多題目都離不開(kāi)圖形分析，例如2016年全國(guó)卷Ⅰ理科第20題第1問(wèn)，利用平行直線(xiàn)同位角相等和等腰三角形底角相等的幾何性質(zhì)，在解題過(guò)程中需要學(xué)生自己畫(huà)圖. 因此在平時(shí)的教學(xué)中，要訓(xùn)練學(xué)生多畫(huà)圖，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形轉(zhuǎn)化的意識(shí)，提升學(xué)生解題能力和效率.

（3）多角度審視，注重一題多解，把握問(wèn)題的本質(zhì). 計(jì)算能力是學(xué)生解決解析幾何問(wèn)題的一個(gè)攔路虎，解析幾何往往伴有繁瑣的代數(shù)運(yùn)算，導(dǎo)致“會(huì)而不對(duì)”，學(xué)生望而生畏，但解析幾何的試題不同解法之間運(yùn)算量的差異很大，有的是“可望而不可及”，比如2022年新高考Ⅰ卷21題第1問(wèn)中，思路1比較容易上手，但計(jì)算量比較大，思路2從點(diǎn)入手，利用這些點(diǎn)滿(mǎn)足的幾何特點(diǎn)，抓住用坐標(biāo)刻畫(huà)運(yùn)動(dòng)，用代數(shù)方法來(lái)研究幾何問(wèn)題的本質(zhì)，與思路1相比，思路更自然，計(jì)算量更小，思路3在思路2的基礎(chǔ)上利用參數(shù)方程，將復(fù)雜的代數(shù)運(yùn)算轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)化簡(jiǎn)問(wèn)題，從而大大減少了該題的計(jì)算量，思路4通過(guò)重構(gòu)雙曲線(xiàn)方程和巧設(shè)直線(xiàn)方程，進(jìn)一步整合代數(shù)與幾何的關(guān)系，避開(kāi)了解決圓錐曲線(xiàn)綜合問(wèn)題常用的“設(shè)直線(xiàn)、聯(lián)立方程、消元、根與系數(shù)的關(guān)系、根的判別式”解題策略，簡(jiǎn)化計(jì)算.? 為此，在復(fù)習(xí)過(guò)程中要特別注重對(duì)不同方法的分析、比較，要研究圖形的幾何特征、掌握處理代數(shù)式的一般方法，知道不同方法的差異，要達(dá)到這樣的目的，關(guān)鍵是對(duì)問(wèn)題本質(zhì)的把握，只有多角度審視，看清了問(wèn)題的實(shí)質(zhì)，才能發(fā)現(xiàn)最佳的突破口.

（4）夯實(shí)基本技能和基本方法，提升學(xué)科核心素養(yǎng). 從2022年新高考Ⅰ卷試題發(fā)現(xiàn)，在高三專(zhuān)題復(fù)習(xí)中不能僅是簡(jiǎn)單地題海戰(zhàn)術(shù)，應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生分析圖形特征，用恰當(dāng)?shù)拇鷶?shù)形式表達(dá)題目中的幾何關(guān)系，深化對(duì)問(wèn)題的分析，回歸解析幾何的本質(zhì). 高三專(zhuān)題復(fù)習(xí)的重點(diǎn)應(yīng)放在對(duì)典型例題的講解，體會(huì)解題中所蘊(yùn)含的思想方法，加深學(xué)生對(duì)概念的理解、基本方法和基本技能的掌握上，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)思考，而不是簡(jiǎn)單的機(jī)械模仿，避免導(dǎo)致學(xué)生缺少對(duì)解析幾何本質(zhì)、基本方法和基本思想的理解與掌握. 例如圓錐曲線(xiàn)與方程這一專(zhuān)題的基本技能和基本方法主要是借助坐標(biāo)系用代數(shù)方法表示和研究曲線(xiàn)，同時(shí)要注重幾何直觀的作用，用到的知識(shí)技能方法包括數(shù)形轉(zhuǎn)化以及向量轉(zhuǎn)化等.

（5）加大訓(xùn)練力度，培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力和運(yùn)算求解能力. 根據(jù)高考評(píng)價(jià)體系的整體框架對(duì)高考數(shù)學(xué)學(xué)科提出了邏輯思維能力、運(yùn)算求解能力、空間想象能力、數(shù)學(xué)建模能力和創(chuàng)新能力等關(guān)鍵能力. 解析幾何問(wèn)題是中學(xué)數(shù)學(xué)的綜合應(yīng)用問(wèn)題，對(duì)于邏輯思維能力和運(yùn)算求解能力要求較高，好的思路是通過(guò)一定的運(yùn)算、推理等數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)出來(lái)的. 因此在平面解析幾何專(zhuān)題復(fù)習(xí)過(guò)程中，提升學(xué)生的邏輯思維能力和運(yùn)算求解能力尤為重要，因此平時(shí)要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行以運(yùn)算為主的練習(xí)和規(guī)范嚴(yán)密的思維分析訓(xùn)練.

參考文獻(xiàn)

[1]吳志雄.用直線(xiàn)的參數(shù)方程探究圓錐曲線(xiàn)中的定點(diǎn)問(wèn)題[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2019（07）：44.

[2]李小華.新高考背景下高中學(xué)生發(fā)展指導(dǎo)的實(shí)踐與探索[J].學(xué)苑教育，2021（35）：38.

[3]中國(guó)高考報(bào)告學(xué)術(shù)委員會(huì).高考試題分析.數(shù)學(xué)[M].北京：現(xiàn)代教育出版社，2021：212.

作者簡(jiǎn)介李小華（1981—），男，福建三明人，中學(xué)高級(jí)教師;主要研究高中數(shù)學(xué)教學(xué).

吳偉鴻（1973—），男，福建晉江人，中學(xué)高級(jí)教師;主要研究高中數(shù)學(xué)教學(xué).

許如意（1986—），女，福建晉江人，中學(xué)二級(jí)教師;主要研究高中數(shù)學(xué)命題研究.