王衛(wèi)勝

考題再現(xiàn)

例 （2021·遼寧·鐵嶺）如圖1，Rt△ABC中，∠ACB = 90°，D為AB中點，點E在直線BC上（點E不與點B，C重合），連接DE，過點D作DF⊥DE交直線AC于點F，連接EF.

（1）如圖1，當點F與點A重合時，請直接寫出線段EF與BE的數(shù)量關(guān)系;

（2）如圖2，當點F不與點A重合時，請寫出線段AF，EF，BE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由;

（3）若AC = 5，BC = 3，EC = 1，請直接寫出線段AF的長.

考點剖析

1. 知識點：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半、線段的垂直平分線定理、三角形全等的判定與性質(zhì)、中點輔助線的構(gòu)造、勾股定理.

2. 思想方法：構(gòu)造法、轉(zhuǎn)化法.

3. 基本模型：中點常見輔助線作法——倍長過中點的線段，構(gòu)造全等.

學情分析

解題思路：（1）根據(jù)DE垂直平分AB，可得出EF = BE.

（2）三條線段的數(shù)量關(guān)系包括和差關(guān)系和平方關(guān)系，本題是后者.需要把三條線段轉(zhuǎn)化在同一個直角三角形內(nèi). 因為題中有中點，因此很容易想到解決中點問題的通法——倍長過中點的線段來構(gòu)造全等. 故延長ED至點G，使DG = ED，再連接AG，F(xiàn)G，即可將三條線段轉(zhuǎn)化在Rt△AFG中，如圖3.

解：（1）∵D為AB中點，DF⊥DE，

∴DE為AB的垂直平分線，∴EF = BE.

（2）結(jié)論：AF2 + BE2 = EF2.

理由：如圖3，過點A作AG⊥AC，交ED的延長線于G，連接FG.

∵AG⊥AC，EC⊥AC，

∴AG[?]BE，∴∠AGD = ∠BED.

在△AGD和△BED中，

[∠AGD=∠BED，∠ADG=∠BDE，AD=BD，]

∴△AGD ≌ △BED（AAS），

∴AG = BE，DG = DE.

∵DF⊥EG，∴FG = EF.

∵∠FAG = 90°，∴AF2 + AG2 = FG2，

∴AF2 + BE2 = EF2.

（3）EC = 1是一個重要的隱含條件，點E可以在線段BC上，也可以在線段BC的延長線上，可繼續(xù)倍長過中點的線段構(gòu)造全等來解決問題.

如圖4，當點E在線段BC上時，

設AF = x，則CF = 5 - x.

∵BC = 3，CE = 1，∴BE = 2，

∵EF2 = AF2 + BE2 = CF2 + CE2，

∴x2 + 22 = （5 - x）2 + 12，

∴x = [115]，∴AF = [115].

如圖5，當點E在線段BC的延長線上時，

設AF = x，則CF = 5 - x.

∵BC = 3，CE = 1，∴BE = 4，

∵EF2 = AF2 + BE2 = CF2 + CE2，

∴x2 + 42 = （5 - x）2 + 12，∴x = 1，

∴AF = 1.

綜上所述，滿足條件的AF的長為[115]或1.

勤于積累

與中點有關(guān)的問題，其常見解題思路有以下4種.

（1）倍長過中點的線段，或者構(gòu)造平行線 + 中點，如圖6. 這兩種方法基本等價，但略有不同，其中前者較為常用，因為不用證共線.

（2）直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，如圖7.

（3）另取中點，構(gòu)造中位線，如圖8.

（4）等腰三角形“三線合一”，如圖9.

其中方法（1）和方法（3）適用面更廣，同學們要能熟練應用.

（作者單位：遼寧省實驗中學分校）