楊惠凱

發(fā)展學生核心素養(yǎng)是當下高中教學的關(guān)鍵，也是我國課程改革深入的標志。高中建?；顒邮桥囵B(yǎng)學生核心素養(yǎng)的有效載體，能引導學生運用數(shù)學知識解決實際問題。因此，教師需要重視高中數(shù)學建?；顒拥脑O(shè)計，積累成功案例經(jīng)驗，推動數(shù)學學科核心素養(yǎng)的落實。本文基于學科核心素養(yǎng)，對如何設(shè)計成功的高中數(shù)學建模案例進行研究并提出幾點建議，以供參考。

一、基于學科核心素養(yǎng)的高中數(shù)學建模設(shè)計原則

數(shù)學建?；顒拥脑O(shè)計要以教學設(shè)計為主要框架，并按照新課標的教學要求開展，這樣才能真正落實學生核心素養(yǎng)的培養(yǎng)。而在設(shè)計建模活動中，教師要遵循以下基本原則：第一，處理好數(shù)學建?；咏虒W時機與課時的安排。根據(jù)高中數(shù)學教學特點分析，課程分為必修課程、選擇性必修課程、選修課程，不同課程的教學要求不同、課時分布不同，對應(yīng)設(shè)計的數(shù)學建?；顒右矐?yīng)有所不同。教師應(yīng)以核心素養(yǎng)的培養(yǎng)為前提開展教學設(shè)計，必修課程課時最多、內(nèi)容也更緊要，教師要重視基礎(chǔ)建模活動的設(shè)計，選擇2～3個課題指導學生對知識進行鞏固和強化。第二，確定教學重難點。建模案例的設(shè)計能讓學生參與其中，并對數(shù)學知識點有更深刻的認識，而且高中生已經(jīng)具備初步的自主學習能力，為了保證不影響教學效率，教師應(yīng)重視挑選教學重難點，圍繞重難點設(shè)計數(shù)學建?；顒?，并在活動中給予學生正確的指導，讓學生能在建立數(shù)學模型和求解中靈活運用所學的數(shù)學知識和解題技巧，達到鍛煉建模素養(yǎng)的目的。第三，創(chuàng)新教學形式。基于核心素養(yǎng)下的高中數(shù)學課堂，不能是教師用大部分時間灌輸知識的教學方式，也不能完全放任學生自由學習，而是要結(jié)合教學內(nèi)容的難度和學生的思維水平、學習狀態(tài)、數(shù)學建模素養(yǎng)等進行選擇，促進“教”“學”共同成長。

二、結(jié)合常規(guī)教學的課內(nèi)數(shù)學建模案例研究

在高中數(shù)學課堂中設(shè)計建?；顒樱康氖亲寣W生在深刻理解知識點的基礎(chǔ)上，掌握應(yīng)用知識解決數(shù)學問題的能力。當知識儲備與能力相匹配時，學生才能學會用數(shù)學的眼光觀察世界、分析世界、描述世界，從而實現(xiàn)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)和提升。教師要在課堂中以實際生活案例為切入點，引導學生建立數(shù)學模型，達到解決問題的教育目標。以“數(shù)學建模案例（二）：曼哈頓距離”為例，現(xiàn)實生活中很多城市的街道都是相互垂直或平行的，人們需要通過直行和拐彎才能到達目的地。德國數(shù)學家閔可夫斯基據(jù)此提出了“曼哈頓距離”，教師可以從中概括出問題，并在數(shù)學課堂中將其拆分為多個問題，引導學生參與建?；顒又?。

（一）提出問題

教師要先提出一個簡單的問題，引導學生構(gòu)建數(shù)學模型，問題為：某地三個新建居民區(qū)位置分別位于三點，A（3，20），B（-10，0），C（14，0），現(xiàn)計劃在[x]軸上方區(qū)域（包含[x]軸）內(nèi)的某一點[P]處修建一個文化中心，請嘗試確定點[P]的位置，并使三個居民區(qū)的曼哈頓距離最小。

（二）分析問題

很多以曼哈頓距離為背景的實際應(yīng)用問題都是以某點到已知各點的曼哈頓距離最小作為約束條件，并引導學生建立模型確定該點位置。在向量相關(guān)課程的教學中，教師可以將這一問題作為實際應(yīng)用例題，引導學生利用所學的向量知識進行分析。如果想要得出三個居民區(qū)的曼哈頓距離最小，就要先設(shè)點[P]的位置為（[x]，[y]），并從水平和豎直兩個角度展開分析。

（三）模型建立與求解

學生在教師的指導下完成問題的分析后，要先結(jié)合題干在白紙上將圖像畫下來，通過直觀的觀察后，設(shè)點P（x，y）其中[y≥0]，則點P到三個居民點的曼哈頓距離可以表示為：[Z=dx，y=x-3+y-20+x+10+y+x-14+y=x-3+x+10+x-14+y-20+2y]。通過列式分析發(fā)現(xiàn)，水平方向的距離為[X=hx=x-3+x+10+x-14]，垂直方向的距離為[Y=vy=y-20+2y]，二者是相互獨立的，雙方并無影響。曼哈頓距離求的是點P到三個居民點的最小距離，也就是求Z的最小值，且[Z=X+Y=hx+vy]，通過等量替換得出，Z的最小值[Zmin]就等于水平距離X的最小值[Xmin]與垂直距離Y的最小值[Ymin]的和，即有[Zmin=Xmin+Ymin=minhx+minvyx，y∈R]。從水平距離上看，因為[X=hx=x-3+x+10+x-14]，當且僅當[x=3]是，不等式的等號是成立的，即[x+10+x-14≥-x+10+x-14=24]，計算得出的結(jié)果為[Xmin=24]。同理可以求出，當[y=0]時，[Ymin=20]。因此，當文化中心修建在點[P]（3，0）時，它距離三個居民區(qū)的曼哈頓距離最小，最小距離為44。基于此，學生能在教師指導下完成數(shù)學模型的建立和求解，并利用學過的向量知識對問題進行分析和解決，同時強化了對向量知識理解和掌握，也使抽象思維、數(shù)學建模、運算能力等得到了鍛煉和培養(yǎng)。

（四）創(chuàng)新問題并提高難度

在上述問題的基礎(chǔ)上，為了進一步啟發(fā)學生的思維，教師可以在題目中加入新的條件，讓學生開展更深層次的思考。例如，設(shè)置問題：假設(shè)以點O為圓心，半徑為1的圓的范圍內(nèi)屬于生態(tài)環(huán)境區(qū)，人們不能進入，在其他條件不變的基礎(chǔ)上，點P 的位置是否會產(chǎn)生變化，如果產(chǎn)生了變化請重新確定，使其到三個居民點的曼哈頓距離最小。教師要引導學生重新分析題意，發(fā)現(xiàn)題目中融入了圓的相關(guān)知識，結(jié)合之前所求出的P點位置和圓的特點，發(fā)現(xiàn)水平方向上的位置不需要變化，但垂直方向上的位置則不符合題目要求。因為圓的半徑為1，所以建立模型并求解時應(yīng)添加[y≥1]的限制條件，再遵循原來的思路進行解題，點P的位置應(yīng)該由P（3，0）變?yōu)镻（3，1）。重新列式計算得出，文化中心到三個居民區(qū)的曼哈頓距離的最小值為45。由此，學生在建模求解中不僅加強了對向量知識的掌握，還復(fù)習了圓的相關(guān)知識，能將向量與圓的知識完成銜接，構(gòu)建更加完善的知識體系，促進數(shù)學建模能力提高的同時，還能將所學知識融會貫通，強化系統(tǒng)化學習。

（五）問題拓展

當學生接觸過建?；顒忧依迩鍖W習思維后，教師可以在原有基礎(chǔ)上設(shè)計拓展環(huán)節(jié)，指導學生對模型展開進一步的討論。例如，根據(jù)圖1所示，n臺工作效率相同的機器等距排列在一條流水線上，每臺機器生產(chǎn)零件都需要送到人工檢驗臺上檢驗，質(zhì)量合格后才能進入下一道工序。如果零件在直線上傳送速度是相同的，問檢驗臺的位置應(yīng)設(shè)置在哪里，才能使零件傳輸時總的距離最??？

在前面的問題中，教師給予了學生指導，并在題目中給出了具體數(shù)值，學生在計算時可以通過繪制直觀的圖像解題，但拓展問題的難度明顯增大，將固定的位置轉(zhuǎn)變?yōu)閯討B(tài)的流水線，且題目中給出的條件有限。很多學生在初次閱讀題目后往往是一頭霧水，教師可以將學生分成多個小組，讓他們在小組內(nèi)展開分析和探究。小組內(nèi)成員需要結(jié)合題意先完成建模工作，小組長鼓勵成員依次說明自己的觀點和看法，集中所有人的智慧建模再求解。根據(jù)題目的要求將零件傳送總距離設(shè)為y，將檢驗臺位置設(shè)為x，再將第k個零件的位置設(shè)為[Akk=1，2，...，n]，再列式求出結(jié)果。教師通過設(shè)計基礎(chǔ)性、創(chuàng)新性、拓展性等難度不同的問題，不僅可以讓學生鞏固向量的知識，還能對數(shù)列、圓等知識加強理解，而且讓學生完整地體驗數(shù)學建模的過程，最終使學生的核心素養(yǎng)得到鍛煉和提高。

三、依托學生社團的課外數(shù)學建模案例研究

數(shù)學建模能力的培養(yǎng)僅依靠課堂教學時間是遠遠不夠的，教師應(yīng)探索將教學向課外拓展，尋找課內(nèi)外活動相銜接的道路。社團活動是學生數(shù)學建模能力發(fā)展的有效途徑，為了培養(yǎng)學生綜合能力，部分高中陸續(xù)開展了社團活動，這為數(shù)學建?；顒犹峁┝税l(fā)展和實踐的良好平臺。教師在鼓勵學生成立數(shù)學建模社團活動，并邀請課內(nèi)外教師為他們做指導工作，以生活中的實際問題為背景建立數(shù)學模型，并設(shè)計競賽活動，鼓勵學生以組隊的形式參與其中。以“數(shù)學建模案例（三）：人數(shù)估計”為例，為了培養(yǎng)學生的數(shù)學建模素養(yǎng)，教師可以在社團舉辦競賽活動，設(shè)計只知道部分信息的題目，讓學生以小組為單位，自行推理和估計全部信息。問題的設(shè)計要盡量貼合生活實際，如醫(yī)療科研機構(gòu)調(diào)查某慢性病患者的人數(shù)、學校五一外出旅游的人數(shù)、高考改革后物理學科選考人數(shù)等，讓學生在建模中深化對知識的掌握。

（一）提出問題

某高校美術(shù)系平面設(shè)計專業(yè)是“大熱門”，報考人數(shù)連創(chuàng)新高，今年報名結(jié)束后，某考生想要知道報考的總?cè)藬?shù)，就隨機了解了50個考生的考號整理在下表1中?？忌目继柺前凑沼尚〉酱蟮捻樞蛞来闻帕械?，請大家設(shè)計一種方法，根據(jù)隨機的考生考號估計考生的總數(shù)。

（二）分析問題

從表格中隨機抽取的考號，總體中的個體已經(jīng)按照自然數(shù)編號，通過隨機抽取并按照從小到大的順序排序后，把考號分別記為[x1]，[x2]，[x3]，...[xn]，其中 。但由于考生總數(shù)并沒有精確的估計方法，如果沒有其他輔助消息，則只能利用樣本估計總體的形式進行近似估計。因此，為了使估計值更加精準，各小組可以在多種假設(shè)的條件下，采用不同的估計方法建立數(shù)學模型并求解。

（三）建模與求解

結(jié)合所學知識，各小組學生會采用不同的方法建立數(shù)學模型并求解，有的小組從樣本與總體的關(guān)系入手，嘗試用樣本的最大值估計總體的最大值;有的小組則借助中位數(shù)建模，用樣本的中位數(shù)估計總體的中位數(shù);有的小組則是借助樣本的平均值估計總體的平均值;還有小組利用分區(qū)間的方式求解。以用分區(qū)間方法求解為例，具體解題內(nèi)容如下：將隨機抽取的50個樣本按照從小到大的順序排列，利用它將N個數(shù)據(jù)分段，選取不同的端點，則得到不同的估計值。在分區(qū)間時，需要先將區(qū)間[1，N]分成51個小區(qū)間，分別是[1，x1]，[x1，x2]，……，[x50，N]，利用公式計算出這51個小區(qū)間長度均值為[N-151]，而前50個區(qū)間的平均長度則為[x50-150]，由于樣本是隨機抽取的，可以認為[N-151≈x50-150]，因此，N的估計值可取為[N4=51x50-150+1=1006]。在建模和求解的過程中，各小組所用的方法不一樣，取得的結(jié)果也會存在一定的差異，教師知道結(jié)果是在合理的假設(shè)前提下得到的，就不能說結(jié)果一定是錯的，這也體現(xiàn)了統(tǒng)計學的特點。對此，競賽評委要更重視對學生的建模過程和分析過程進行點評，讓學生在建模中通過討論和探究有所收獲。

（四）模型檢驗

指導教師應(yīng)根據(jù)學生的建模過程和探究結(jié)果，要求學生嘗試在合理范圍內(nèi)改變隨機考號內(nèi)容，并重新建模計算求解，查看結(jié)果是否存在偏差，如果前后兩次所得結(jié)果相差無幾，則說明所建模型的合理性與適用性。反之，如果前后兩次所得結(jié)果有較大的偏差，則需要在小組內(nèi)重新討論，思索建模與求解中的不足之處，并對過程進行合理的優(yōu)化。

四、結(jié)語

總的來說，當前的高中數(shù)學課堂中很少組織過建?；顒樱嗟氖墙處熃M織學生在課堂中討論數(shù)學建模相關(guān)的問題，在課堂中很少體現(xiàn)對學生建模素養(yǎng)的培養(yǎng)。為了改變這一情況，教師應(yīng)從核心素養(yǎng)的角度出發(fā)，以理論指導實踐，設(shè)計具體的教學案例，并引導學生參與其中，通過實踐活動獲取知識、提高自身能力。

（吳淑媛）