孟黎輝

近年來，天津高考命題保持著重基礎(chǔ)、重素養(yǎng)，低起點(diǎn)、多層次、利區(qū)分的命題特色。從過去的題海戰(zhàn)術(shù)，轉(zhuǎn)向培育素養(yǎng)，成為高考命題的導(dǎo)向。下面，我們從數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的提升來進(jìn)一步探究。

抽象，是數(shù)學(xué)的基本特征，數(shù)學(xué)抽象是指通過對數(shù)量關(guān)系與空間形式的抽象，得到數(shù)學(xué)研究對象的素養(yǎng)，主要包括：從數(shù)量與數(shù)量關(guān)系、圖形與圖形關(guān)系中抽象出數(shù)學(xué)概念及概念之間的關(guān)系，從事物的具體背景中抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu)，并用數(shù)學(xué)語言予以表征。

抽象起始于概念的獲得，成熟于知識的理解，升華于知識的應(yīng)用，抽象是知識遷移的必要條件。數(shù)學(xué)抽象是數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的重要組成部分，培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力是數(shù)學(xué)學(xué)科的重要目標(biāo)。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要抓好以下幾點(diǎn)：

一、深刻理解概念，完善知識體系

對概念的深刻理解，是構(gòu)建知識體系的重要一環(huán)，有的教師匆匆講完基本概念、原理，學(xué)生還沒有抽象出共性，沒來得及內(nèi)化為自己的知識體系，教師就開始講例題，往往事倍功半，學(xué)生在做題中只知其然，不知其所以然，只能照著葫蘆畫瓢，機(jī)械模仿。因此，要深刻理解概念，必須要將概念中抽象的數(shù)學(xué)要素加以分析、提煉，只有這樣，學(xué)生才具有進(jìn)一步提升解決問題能力的保障。

二、設(shè)置情境模式，提升化歸能力

數(shù)學(xué)抽象的最終目標(biāo)是解決實(shí)際問題，讓學(xué)生具備舉一反三的能力，形成知識遷移。不能遷移的知識是不牢固的，只能在特定的情境下機(jī)械模仿，不是素質(zhì)教育的目標(biāo)。高考題一般以問題和情境為載體，數(shù)學(xué)情境的核心也是問題，因此，設(shè)計(jì)合理的問題情境，肩負(fù)育人和提高課堂效率兩個(gè)重要任務(wù)。

教學(xué)應(yīng)重視創(chuàng)設(shè)多樣化的學(xué)習(xí)情境，讓學(xué)生有機(jī)會(huì)喚起、驗(yàn)證知識，領(lǐng)會(huì)隱藏在知識背后的意義及思考這些信息是如何進(jìn)行組織的。教師在教學(xué)中要精心設(shè)計(jì)好數(shù)學(xué)情境，由問題導(dǎo)入，強(qiáng)調(diào)在陌生情境中解決問題的能力培養(yǎng)，時(shí)刻關(guān)注學(xué)生的數(shù)學(xué)思想和方法的形成過程，杜絕無效的重復(fù)訓(xùn)練。

三、挖掘一題多解，提煉知識本質(zhì)

數(shù)學(xué)抽象是數(shù)學(xué)的基本思想，是形成理性思維的重要基礎(chǔ)，是數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征。一題多解，是數(shù)學(xué)學(xué)科提煉知識本質(zhì)的重要途徑。用不同的解題思路解決同一道題，看似消耗了時(shí)間和精力，實(shí)際上是將知識體系進(jìn)一步整合。用這種方式抽象出來的數(shù)學(xué)知識，會(huì)更加接近知識的本源。在教學(xué)中，教師應(yīng)該淡化程序化的解題模式，淡化解題技巧，強(qiáng)化通法通性，提升學(xué)生的應(yīng)用能力。

四、善用習(xí)題變式，培養(yǎng)抽象素養(yǎng)

通過變式訓(xùn)練，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律，抽象出同類習(xí)題的共性，在尋找共性的過程中，提煉出一般解題方法，并在此基礎(chǔ)上，不斷提高學(xué)生的實(shí)踐能力，培養(yǎng)應(yīng)用意識、創(chuàng)新意識。

我們對2018年天津卷理科14題進(jìn)行研究，用4種方法求解，深入挖掘天津高考壓軸小題的命題特點(diǎn)，指導(dǎo)復(fù)習(xí)備考。

例題：2018年（天津理）14題：

已知[a>0]，函數(shù)[fx=x2+2ax+a? x≤0-x2+2ax-2a? x>0]，若關(guān)于[x]的方程[fx=ax]恰有2個(gè)互異的實(shí)數(shù)解，則[a]的取值范圍是_________。

解法一（二次函數(shù)模型）：令[gx=fx-ax=x2+ax+a? x≤0-x2+ax-2ax? >0]，由于這兩段函數(shù)[y=x2+ax+a? （x≤0）]、[y=-x2+ax-2a? （x>0）]，在y軸上的截距分別為：[a]、[-2a]，（[a>0）]，對稱軸分別為：[x=-a2]、[x=a2]，按照判別式[?1=a2-4a]、[?2=a2-8a]的值可以分為以下三種情況：

由[?1>0?2<0]， [?1<0?2>0]， [?1=0?2=0]，解得[4

解法二（二次函數(shù)與一次函數(shù)模型）：函數(shù)[y=x2+2ax+a]與[y=ax]圖像，若沒有交點(diǎn)，則[04]或[a<0（舍）]。

函數(shù)[y=-x2+2ax-2a]與[y=ax]圖像，若沒有交點(diǎn)，則[08]或[a<0（舍）]。

綜上可知，當(dāng)[4

解法三（“對勾”函數(shù)模型）：由于[x=0]不是方程[fx=ax]的根，因此該方程可化為：[f（x）x-]a=0，令[hx=f（x）x-]a，[hx=x+a+ax? ?x<0-x+a-2ax? ?x>0]，

當(dāng)[x<0]時(shí)，[x+a+ax ≤a-2a];

當(dāng)[x>0]時(shí)，[-x+a-2ax ≤a-22a]，

[∴a-2a>0]且[a-22a<0]，即[4

解法四（其他型函數(shù)）：當(dāng)[x≤0]時(shí)，方程[fx=ax]，即[x2+2ax+a=ax]. 整理可得：[x2=-a（x+1）]，[∵x=-1]不是方程的實(shí)數(shù)解，[∴a=-x2x+1]。

當(dāng)[x>0]時(shí)，方程[fx=ax]，即[-x2+2ax-2a=ax]，整理可得：[x2=a（x-2）]，[∵ x=2]不是方程的實(shí)數(shù)解，[∴a=x2x-2] 。令[gx=-x2x+1? ?x≤0x2x-2? ?x>0]，即[gx=-（x+1+1x+1-2）? x≤0x-2+4x-2+4? x>0]。原問題等價(jià)于函數(shù)[gx]與函數(shù)[y=a]圖像有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求[a]的取值范圍。結(jié)合“對勾”函數(shù)和函數(shù)圖象平移的知識，畫出函數(shù)[y=gx]和[y=a]的圖象（圖2），由[a>0]，則實(shí)數(shù)[a]的取值范圍是（4，8）。

從本題目解法中，我們看到，無論哪一種解法，都需要將函數(shù)、方程、不等式之間的關(guān)系進(jìn)行抽象整合，再運(yùn)用到函數(shù)圖像情境中去，歷經(jīng)用數(shù)學(xué)語言表述、將已知條件等價(jià)轉(zhuǎn)化、應(yīng)用數(shù)學(xué)方法求解等環(huán)節(jié)，整個(gè)過程呈現(xiàn)出對數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等方面能力較高的要求。

從上面天津高考題中可以看出，命題者淡化解題技巧，力求考查學(xué)生對數(shù)學(xué)本質(zhì)的抽象、邏輯推理等方面能力，從而甄別出考生對知識理解的深度以及不同的能力水平，將數(shù)學(xué)教學(xué)導(dǎo)向發(fā)展學(xué)生素養(yǎng)的學(xué)科價(jià)值和育人價(jià)值上。

在教學(xué)中，教師要深知數(shù)學(xué)素養(yǎng)是數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)據(jù)分析等方面的有機(jī)結(jié)合，它們相輔相成，每一方面的發(fā)展都離不開其他方面。拿數(shù)學(xué)運(yùn)算來說，運(yùn)算的基礎(chǔ)是數(shù)學(xué)概念、定理和公式，離不開抽象思維和邏輯推理，在教學(xué)實(shí)踐中如果為了“算”而“算”，就會(huì)掉入“重訓(xùn)練、輕思考;重結(jié)果、輕過程”的模式，運(yùn)算能力反而不容易提高。其實(shí)，學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)中屢屢受挫，很多時(shí)候是因?yàn)閷Ω拍?、定理、公式、方法的本質(zhì)內(nèi)容提煉不夠，導(dǎo)致無法形成有效遷移。此外，有些教師在訓(xùn)練過程中過多強(qiáng)調(diào)“模型”和“技巧”的運(yùn)用，忽視了學(xué)生自身抽象、提煉的過程，使學(xué)習(xí)只停留在模仿的層面上，一旦題目發(fā)生變化，就會(huì)束手無策。

高考分?jǐn)?shù)不是評價(jià)學(xué)生學(xué)習(xí)效果的唯一指標(biāo)，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)立足于核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，讓學(xué)生勇于探究、敢于質(zhì)疑、善于反思。教師在教學(xué)過程中，積極鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行抽象提煉、大膽創(chuàng)新、積極應(yīng)用，并給予及時(shí)的、肯定的、過程性評價(jià)，把數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)落實(shí)到數(shù)學(xué)教育的各個(gè)環(huán)節(jié)。

（左毓紅）