郭淑華
[摘 要]應(yīng)用性問題是近幾年中考數(shù)學(xué)的一大熱點之一,它以解決實際問題為目的。把握住解題關(guān)鍵是解決應(yīng)用性問題的突破口。文章重點分析中考數(shù)學(xué)應(yīng)用性問題的解題關(guān)鍵。
[關(guān)鍵詞]應(yīng)用性問題;解題關(guān)鍵;方程;不等式
[中圖分類號] ? ?G633.6 ? ? ? ?[文獻(xiàn)標(biāo)識碼] ? ?A ? ? ? ?[文章編號] ? ?1674-6058(2022)17-0028-03
應(yīng)用性問題是近幾年中考數(shù)學(xué)的熱點之一,它以解決實際問題為目標(biāo)。要想破解應(yīng)用性問題,需找到其解題關(guān)鍵。下面筆者結(jié)合近幾年各地中考數(shù)學(xué)試題,分析應(yīng)用性問題的特點,找出其解題關(guān)鍵,以供參考。
一、方程(組)的應(yīng)用性問題
該類問題常見的類型有:(1)行程問題(包括相遇問題、追及問題、環(huán)形問題、水中航行問題等);(2)工程問題;(3)濃度問題;(4)增長率或降低率問題;(5)數(shù)字問題;(6)最優(yōu)策略問題;(7)最值問題。
[例1](2021·張家界)2021年是中國共產(chǎn)黨建黨100周年,全國各地積極開展“弘揚紅色文化,重走長征路”主題教育學(xué)習(xí)活動,我市“紅二方面軍長征出發(fā)地紀(jì)念館”成為重要的活動基地。據(jù)了解,今年3月份該基地接待參觀人數(shù)10萬人,5月份接待參觀人數(shù)增加到12.1萬人。
(1)求這兩個月參觀人數(shù)的月平均增長率;
(2)按照這個增長率,預(yù)計6月份的參觀人數(shù)是多少?
簡析 (1)設(shè)這兩個月參觀人數(shù)的月平均增長率為[x],根據(jù)5月份該基地接待參觀人數(shù)=3月份該基地接待參觀人數(shù)×(1+增長率)2,即可得出關(guān)于[x]的一元二次方程,解之取其正值即可得出答案;(2)利用6月份該基地接待參觀人數(shù)=5月份該基地接待參觀人數(shù)×(1+增長率),即可求出答案。
點評 列方程(組)解應(yīng)用題,關(guān)鍵是認(rèn)真審題,正確分析題意,找出問題中的等量關(guān)系,然后根據(jù)等量關(guān)系列出方程(組)。列方程(組)時,等式兩邊應(yīng)意義相同、單位一致、數(shù)量相等。若所列的方程是分式方程,結(jié)果要驗根并且所得的解與實際要相符合。
二、不等式(組)的應(yīng)用性問題
該類問題常見的類型有:(1)以市場經(jīng)濟(jì)為背景的不等式(組)應(yīng)用題;(2)運用不等式(組)解決的方案設(shè)計類應(yīng)用題。
[例2](2018·湘潭)湘潭市繼2017年成功創(chuàng)建全國文明城市之后,又準(zhǔn)備爭創(chuàng)全國衛(wèi)生城市。某小區(qū)積極響應(yīng),決定在小區(qū)內(nèi)安裝垃圾分類的溫馨提示牌和垃圾箱,若購買2個溫馨提示牌和3個垃圾箱共需550元,且垃圾箱的單價是溫馨提示牌單價的3倍。
(1)求溫馨提示牌和垃圾箱的單價各是多少元?
(2)該小區(qū)至少需要安放48個垃圾箱,如果購買溫馨提示牌和垃圾箱共100個,且費用不超過[10 000]元,請你列舉出所有購買方案,并指出哪種方案所需資金最少?最少是多少元?
簡析 (1)2個溫馨提示牌和3個垃圾箱的總價格是550元,垃圾箱的單價是溫馨提示牌單價的3倍,據(jù)此建立方程組即可得出答案;(2)根據(jù)“至少需要安放48個垃圾箱”“費用不超過10 000元”這兩個信息,建立不等式組即可得出答案。
點評 列不等式(組)解應(yīng)用題的一般步驟是:(1)弄清題意和題目中的數(shù)量關(guān)系,用字母表示未知數(shù);(2)找出能夠表示題目全部含義的一個或幾個不等式;(3)列出不等式(組),解不等式(組),求出解集并作答。解決這類問題的關(guān)鍵是根據(jù)問題實際建立不等式(組)模型,利用不等式(組)解的情況對問題作出最佳決策。
三、函數(shù)的應(yīng)用性問題
該類問題常見的類型有:(1)一次函數(shù)的應(yīng)用性問題;(2)二次函數(shù)的應(yīng)用性問題;(3)分段函數(shù)及其他函數(shù)的應(yīng)用性問題。
[例3](2021·金華)某游樂場的圓形噴水池中心[O]有一雕塑[OA],從[A]點向四周噴水,噴出的水柱為拋物線,且形狀相同。如圖1,以水平方向為[x]軸,點[O]為原點建立直角坐標(biāo)系,點[A]在[y]軸上,[x]軸上的點[C],[D]為水柱的落水點,水柱所在拋物線(第一象限部分)的函數(shù)表達(dá)式為[y=-16(x-5)2+6]。
(1)求雕塑高[OA];
(2)求落水點[C],[D]之間的距離;
(3)若需要在[OD]上的點[E]處豎立雕塑[EF],[OE=10 m],[EF=1.8 m],[EF⊥OD]。問:頂部[F]是否會碰到水柱?請通過計算說明。
簡析 (1)利用二次函數(shù)圖像上點的坐標(biāo)特征可求出點[A]的坐標(biāo),進(jìn)而得出雕塑高[OA]的值;(2)利用二次函數(shù)圖像上點的坐標(biāo)特征,求出點[D]的坐標(biāo),可得出[OD]的長度,由噴出的水柱為拋物線且形狀相同,可得出[OC]的長度,再由[CD=OC+OD]即可求出落水點[C],[D]之間的距離;(3)代入[x=10]求出[y]值,進(jìn)而可得出點[10,116]在拋物線[y=-16(x﹣5)2+6]上,將[116]與1.8比較后即可得出頂部[F]不會碰到水柱。
點評 利用函數(shù)模型來解決實際問題,首先要求出函數(shù)的解析式和自變量的取值范圍,然后通過函數(shù)的增減性來確定函數(shù)的最值。
四、統(tǒng)計初步的應(yīng)用性問題
統(tǒng)計初步有關(guān)問題是初中數(shù)學(xué)應(yīng)用性問題的一個方面。隨著素質(zhì)教育對學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識要求的提高,近幾年在中考數(shù)學(xué)試題中經(jīng)常出現(xiàn)統(tǒng)計初步的應(yīng)用性問題,教師在中考總復(fù)習(xí)時應(yīng)重視。
[例4](2019·鄂州)某校為了解全校學(xué)生對新聞、體育、動畫、娛樂、戲曲五類電視節(jié)目的喜愛情況,隨機(jī)選取該校部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查,要求每名學(xué)生從中選出一類最喜愛的電視節(jié)目,以下是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的統(tǒng)計圖表的一部分。(如下表和圖2所示)
請你根據(jù)以上信息,回答下列問題:
(1)統(tǒng)計表中[m]的值為_________,統(tǒng)計圖中[n]的值為_________,A類對應(yīng)扇形的圓心角為_________度;
(2)該校共有1500名學(xué)生,根據(jù)調(diào)查結(jié)果,估計該校最喜愛體育節(jié)目的學(xué)生人數(shù);
(3)樣本數(shù)據(jù)中最喜愛戲曲節(jié)目的有4人,其中僅有1名男生。從這4人中任選2名同學(xué)去觀賞戲曲表演,請用樹狀圖或列表求所選2名同學(xué)中有男生的概率。
簡析 (1)由[B]類別人數(shù)及其百分比求出調(diào)查人數(shù),再用調(diào)查人數(shù)減去[A]、[B]、[C]、[E]類別總?cè)藬?shù)得出[m]的值,然后根據(jù)百分比概念求出[n],最后用360°乘以A類別人數(shù)所占比例,獲得圓心角的度數(shù);(2)根據(jù)統(tǒng)計圖表中的樣本數(shù)據(jù)來估計,答案可得;(3)利用樹狀圖或列表,將所有等可能的結(jié)果列舉出來,利用概率公式求解即可。
點評 解這類問題的關(guān)鍵是運用統(tǒng)計的思想對數(shù)據(jù)進(jìn)行耐心、細(xì)致的觀察,通過分析、比較,得到相應(yīng)的特征數(shù),運用統(tǒng)計初步的有關(guān)知識解決問題。
五、幾何應(yīng)用性問題
該類問題常見的類型有:(1)利用全等、相似及解直角三角形等知識進(jìn)行測量的問題;(2)利用等腰三角形、圓、直角三角形等知識解決航海、氣象等方面的問題。
[例5](2020·聊城)如圖3,小瑩在數(shù)學(xué)綜合實踐活動中,利用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識對某小區(qū)居民樓[AB]的高度進(jìn)行測量。先測得居民樓[AB]與[CD]之間的距離[AC]為[35 m],后站在[M]點處測得居民樓[CD]的頂端[D]的仰角為[45°],居民樓[AB]的頂端[B]的仰角為[55°],已知居民樓[CD]的高度為[16.6 m],小瑩的觀測點[N]距地面[1.6 m]。求居民樓[AB]的高度(精確到[1 m])。(參考數(shù)據(jù):[sin55°≈0.82],[cos55°≈0.57],[tan55°≈1.43])
簡析 過點[N]作[EF∥AC]交[AB]于點[E],交[CD]于點[F],通過解[Rt△DFN]得到線段[NF]的長度,進(jìn)而得到線段[NE]的長度,再解[Rt△BEN]得到[BE]的長度。
點評 解這類問題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確理解一些專有術(shù)語(如仰角、俯角、坡角、坡比、方位角、海拔等)的含義,在理解題意的基礎(chǔ)上準(zhǔn)確畫出圖形,把題目中的已知量和未知量轉(zhuǎn)化到圖形中,然后運用相應(yīng)的幾何知識來解決問題。
六、綜合應(yīng)用性問題
對應(yīng)用性問題的考查,是近年中考數(shù)學(xué)的一大熱點,有些試題同時考查多種應(yīng)用性問題,要綜合利用多種模型和各種知識才能解決。
[例6](2018·南充)某銷售商準(zhǔn)備在南充采購一批絲綢,經(jīng)調(diào)查,用10 000元采購A型絲綢的件數(shù)與用8 000元采購B型絲綢的件數(shù)相等,一件A型絲綢進(jìn)價比一件B型絲綢進(jìn)價多100元。
(1)求一件A型、B型絲綢的進(jìn)價分別為多少元?
(2)若銷售商購進(jìn)A型、B型絲綢共50件,其中A型的件數(shù)不大于B型的件數(shù),且不少于16件,設(shè)購進(jìn)A型絲綢[m]件。
①求[m]的取值范圍;
②已知A型的售價是800元/件,銷售成本為[2 n]元/件;B型的售價為600元/件,銷售成本為[n]元/件。如果[50≤n≤150],求銷售這批絲綢的最大利潤[w](元)與[n](元)的函數(shù)關(guān)系式(每件銷售利潤=售價-進(jìn)價-銷售成本)。
簡析 (1)根據(jù)題意,用分式方程解題;(2)①根據(jù)所提供條件,列出關(guān)于[m]的不等式組,可求得[m]的取值范圍;②根據(jù)題意,列出銷售利潤[y]與[m]的函數(shù)關(guān)系式,討論所含字母[n]的取值范圍,則[w]與[n]的函數(shù)關(guān)系式可得。
[例7](2021·盤錦)某工廠生產(chǎn)并銷售A,B兩種型號車床共14臺,生產(chǎn)并銷售1臺A型車床可以獲利10萬元;如果生產(chǎn)并銷售不超過4臺B型車床,則每臺B型車床可以獲利17萬元,如果超出4臺B型車床,則每超出1臺,每臺B型車床獲利將均減少1萬元。設(shè)生產(chǎn)并銷售B型車床[x]臺。
(1)當(dāng)[x>4]時,完成以下兩個問題:
①請補(bǔ)全下面的表格:
②若生產(chǎn)并銷售B型車床比生產(chǎn)并銷售A型車床獲得的利潤多70萬元,問:生產(chǎn)并銷售B型車床多少臺?
(2)當(dāng)[0 簡析 (1)①由題意知,生產(chǎn)并銷售B型車床[x]臺時,生產(chǎn)并銷售A型車床[(14-x)]臺,當(dāng)[x>4]時,每臺B型車床可以獲利[17-(x-4)=(21-x)]萬元,②由題意得方程[10(14-x)+70=17-(x-4)x],解得[x1=10],[x2=21](舍去);(2)當(dāng)[0 點評 綜合應(yīng)用性問題在突出綜合性的同時強(qiáng)調(diào)應(yīng)用性,這類問題一般注意聯(lián)系學(xué)生的生活實際,關(guān)注社會熱點,注重學(xué)科知識的內(nèi)在聯(lián)系和整合,能夠有效考查學(xué)生收集信息和處理信息的能力、模型轉(zhuǎn)化能力、分析綜合能力、計算和表達(dá)的能力。解決這類問題的關(guān)鍵是根據(jù)題目的已知條件,分析數(shù)量關(guān)系,靈活運用分析法或綜合法把隱蔽的“中間問題”找出來,迅速地找到解題的切入點,建立相關(guān)的數(shù)學(xué)模型。 縱觀近幾年來全國各地的中考數(shù)學(xué)試題,通過歸類分析可知,應(yīng)用性問題的解題關(guān)鍵是:在準(zhǔn)確理解題意的基礎(chǔ)上,利用已知條件,運用方程(組)、不等式(組)、函數(shù)、統(tǒng)計初步、幾何等數(shù)學(xué)知識,分析實際問題中內(nèi)在的、本質(zhì)的關(guān)系,建立數(shù)學(xué)模型解決問題。 [ ? 參 ? 考 ? 文 ? 獻(xiàn) ? ] [1] ?杜志建.2020福建中考幫:中考數(shù)學(xué)[M].烏魯木齊: 新疆青少年出版社,2019. [2] ?潘振南.2016中考總復(fù)習(xí)導(dǎo)與練:數(shù)學(xué):泉州專版[M]. 長春:吉林大學(xué)出版社,2015. (責(zé)任編輯 黃春香)