郭淑華

[摘 要]應(yīng)用性問題是近幾年中考數(shù)學(xué)的一大熱點之一，它以解決實際問題為目的。把握住解題關(guān)鍵是解決應(yīng)用性問題的突破口。文章重點分析中考數(shù)學(xué)應(yīng)用性問題的解題關(guān)鍵。

[關(guān)鍵詞]應(yīng)用性問題;解題關(guān)鍵;方程;不等式

[中圖分類號] ? ?G633.6 ? ? ? ?[文獻(xiàn)標(biāo)識碼] ? ?A ? ? ? ?[文章編號] ? ?1674-6058（2022）17-0028-03

應(yīng)用性問題是近幾年中考數(shù)學(xué)的熱點之一，它以解決實際問題為目標(biāo)。要想破解應(yīng)用性問題，需找到其解題關(guān)鍵。下面筆者結(jié)合近幾年各地中考數(shù)學(xué)試題，分析應(yīng)用性問題的特點，找出其解題關(guān)鍵，以供參考。

一、方程（組）的應(yīng)用性問題

該類問題常見的類型有：（1）行程問題（包括相遇問題、追及問題、環(huán)形問題、水中航行問題等）;（2）工程問題;（3）濃度問題;（4）增長率或降低率問題;（5）數(shù)字問題;（6）最優(yōu)策略問題;（7）最值問題。

[例1]（2021·張家界）2021年是中國共產(chǎn)黨建黨100周年，全國各地積極開展“弘揚紅色文化，重走長征路”主題教育學(xué)習(xí)活動，我市“紅二方面軍長征出發(fā)地紀(jì)念館”成為重要的活動基地。據(jù)了解，今年3月份該基地接待參觀人數(shù)10萬人，5月份接待參觀人數(shù)增加到12.1萬人。

（1）求這兩個月參觀人數(shù)的月平均增長率;

（2）按照這個增長率，預(yù)計6月份的參觀人數(shù)是多少？

簡析 （1）設(shè)這兩個月參觀人數(shù)的月平均增長率為[x]，根據(jù)5月份該基地接待參觀人數(shù)=3月份該基地接待參觀人數(shù)×（1+增長率）2，即可得出關(guān)于[x]的一元二次方程，解之取其正值即可得出答案;（2）利用6月份該基地接待參觀人數(shù)=5月份該基地接待參觀人數(shù)×（1+增長率），即可求出答案。

點評 列方程（組）解應(yīng)用題，關(guān)鍵是認(rèn)真審題，正確分析題意，找出問題中的等量關(guān)系，然后根據(jù)等量關(guān)系列出方程（組）。列方程（組）時，等式兩邊應(yīng)意義相同、單位一致、數(shù)量相等。若所列的方程是分式方程，結(jié)果要驗根并且所得的解與實際要相符合。

二、不等式（組）的應(yīng)用性問題

該類問題常見的類型有：（1）以市場經(jīng)濟(jì)為背景的不等式（組）應(yīng)用題;（2）運用不等式（組）解決的方案設(shè)計類應(yīng)用題。

[例2]（2018·湘潭）湘潭市繼2017年成功創(chuàng)建全國文明城市之后，又準(zhǔn)備爭創(chuàng)全國衛(wèi)生城市。某小區(qū)積極響應(yīng)，決定在小區(qū)內(nèi)安裝垃圾分類的溫馨提示牌和垃圾箱，若購買2個溫馨提示牌和3個垃圾箱共需550元，且垃圾箱的單價是溫馨提示牌單價的3倍。

（1）求溫馨提示牌和垃圾箱的單價各是多少元？

（2）該小區(qū)至少需要安放48個垃圾箱，如果購買溫馨提示牌和垃圾箱共100個，且費用不超過[10 000]元，請你列舉出所有購買方案，并指出哪種方案所需資金最少？最少是多少元？

簡析 （1）2個溫馨提示牌和3個垃圾箱的總價格是550元，垃圾箱的單價是溫馨提示牌單價的3倍，據(jù)此建立方程組即可得出答案;（2）根據(jù)“至少需要安放48個垃圾箱”“費用不超過10 000元”這兩個信息，建立不等式組即可得出答案。

點評 列不等式（組）解應(yīng)用題的一般步驟是：（1）弄清題意和題目中的數(shù)量關(guān)系，用字母表示未知數(shù);（2）找出能夠表示題目全部含義的一個或幾個不等式;（3）列出不等式（組），解不等式（組），求出解集并作答。解決這類問題的關(guān)鍵是根據(jù)問題實際建立不等式（組）模型，利用不等式（組）解的情況對問題作出最佳決策。

三、函數(shù)的應(yīng)用性問題

該類問題常見的類型有：（1）一次函數(shù)的應(yīng)用性問題;（2）二次函數(shù)的應(yīng)用性問題;（3）分段函數(shù)及其他函數(shù)的應(yīng)用性問題。

[例3]（2021·金華）某游樂場的圓形噴水池中心[O]有一雕塑[OA]，從[A]點向四周噴水，噴出的水柱為拋物線，且形狀相同。如圖1，以水平方向為[x]軸，點[O]為原點建立直角坐標(biāo)系，點[A]在[y]軸上，[x]軸上的點[C]，[D]為水柱的落水點，水柱所在拋物線（第一象限部分）的函數(shù)表達(dá)式為[y=-16（x-5）2+6]。

（1）求雕塑高[OA];

（2）求落水點[C]，[D]之間的距離;

（3）若需要在[OD]上的點[E]處豎立雕塑[EF]，[OE=10 m]，[EF=1.8 m]，[EF⊥OD]。問：頂部[F]是否會碰到水柱？請通過計算說明。

簡析 （1）利用二次函數(shù)圖像上點的坐標(biāo)特征可求出點[A]的坐標(biāo)，進(jìn)而得出雕塑高[OA]的值;（2）利用二次函數(shù)圖像上點的坐標(biāo)特征，求出點[D]的坐標(biāo)，可得出[OD]的長度，由噴出的水柱為拋物線且形狀相同，可得出[OC]的長度，再由[CD=OC+OD]即可求出落水點[C]，[D]之間的距離;（3）代入[x=10]求出[y]值，進(jìn)而可得出點[10，116]在拋物線[y=-16（x﹣5）2+6]上，將[116]與1.8比較后即可得出頂部[F]不會碰到水柱。

點評 利用函數(shù)模型來解決實際問題，首先要求出函數(shù)的解析式和自變量的取值范圍，然后通過函數(shù)的增減性來確定函數(shù)的最值。

四、統(tǒng)計初步的應(yīng)用性問題

統(tǒng)計初步有關(guān)問題是初中數(shù)學(xué)應(yīng)用性問題的一個方面。隨著素質(zhì)教育對學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識要求的提高，近幾年在中考數(shù)學(xué)試題中經(jīng)常出現(xiàn)統(tǒng)計初步的應(yīng)用性問題，教師在中考總復(fù)習(xí)時應(yīng)重視。

[例4]（2019·鄂州）某校為了解全校學(xué)生對新聞、體育、動畫、娛樂、戲曲五類電視節(jié)目的喜愛情況，隨機(jī)選取該校部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，要求每名學(xué)生從中選出一類最喜愛的電視節(jié)目，以下是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的統(tǒng)計圖表的一部分。（如下表和圖2所示）

請你根據(jù)以上信息，回答下列問題：

（1）統(tǒng)計表中[m]的值為_________，統(tǒng)計圖中[n]的值為_________，A類對應(yīng)扇形的圓心角為_________度;

（2）該校共有1500名學(xué)生，根據(jù)調(diào)查結(jié)果，估計該校最喜愛體育節(jié)目的學(xué)生人數(shù);

（3）樣本數(shù)據(jù)中最喜愛戲曲節(jié)目的有4人，其中僅有1名男生。從這4人中任選2名同學(xué)去觀賞戲曲表演，請用樹狀圖或列表求所選2名同學(xué)中有男生的概率。

簡析 （1）由[B]類別人數(shù)及其百分比求出調(diào)查人數(shù)，再用調(diào)查人數(shù)減去[A]、[B]、[C]、[E]類別總?cè)藬?shù)得出[m]的值，然后根據(jù)百分比概念求出[n]，最后用360°乘以A類別人數(shù)所占比例，獲得圓心角的度數(shù);（2）根據(jù)統(tǒng)計圖表中的樣本數(shù)據(jù)來估計，答案可得;（3）利用樹狀圖或列表，將所有等可能的結(jié)果列舉出來，利用概率公式求解即可。

點評 解這類問題的關(guān)鍵是運用統(tǒng)計的思想對數(shù)據(jù)進(jìn)行耐心、細(xì)致的觀察，通過分析、比較，得到相應(yīng)的特征數(shù)，運用統(tǒng)計初步的有關(guān)知識解決問題。

五、幾何應(yīng)用性問題

該類問題常見的類型有：（1）利用全等、相似及解直角三角形等知識進(jìn)行測量的問題;（2）利用等腰三角形、圓、直角三角形等知識解決航海、氣象等方面的問題。

[例5]（2020·聊城）如圖3，小瑩在數(shù)學(xué)綜合實踐活動中，利用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識對某小區(qū)居民樓[AB]的高度進(jìn)行測量。先測得居民樓[AB]與[CD]之間的距離[AC]為[35 m]，后站在[M]點處測得居民樓[CD]的頂端[D]的仰角為[45°]，居民樓[AB]的頂端[B]的仰角為[55°]，已知居民樓[CD]的高度為[16.6 m]，小瑩的觀測點[N]距地面[1.6 m]。求居民樓[AB]的高度（精確到[1 m]）。（參考數(shù)據(jù)：[sin55°≈0.82]，[cos55°≈0.57]，[tan55°≈1.43]）

簡析 過點[N]作[EF∥AC]交[AB]于點[E]，交[CD]于點[F]，通過解[Rt△DFN]得到線段[NF]的長度，進(jìn)而得到線段[NE]的長度，再解[Rt△BEN]得到[BE]的長度。

點評 解這類問題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確理解一些專有術(shù)語（如仰角、俯角、坡角、坡比、方位角、海拔等）的含義，在理解題意的基礎(chǔ)上準(zhǔn)確畫出圖形，把題目中的已知量和未知量轉(zhuǎn)化到圖形中，然后運用相應(yīng)的幾何知識來解決問題。

六、綜合應(yīng)用性問題

對應(yīng)用性問題的考查，是近年中考數(shù)學(xué)的一大熱點，有些試題同時考查多種應(yīng)用性問題，要綜合利用多種模型和各種知識才能解決。

[例6]（2018·南充）某銷售商準(zhǔn)備在南充采購一批絲綢，經(jīng)調(diào)查，用10 000元采購A型絲綢的件數(shù)與用8 000元采購B型絲綢的件數(shù)相等，一件A型絲綢進(jìn)價比一件B型絲綢進(jìn)價多100元。

（1）求一件A型、B型絲綢的進(jìn)價分別為多少元？

（2）若銷售商購進(jìn)A型、B型絲綢共50件，其中A型的件數(shù)不大于B型的件數(shù)，且不少于16件，設(shè)購進(jìn)A型絲綢[m]件。

①求[m]的取值范圍;

②已知A型的售價是800元/件，銷售成本為[2 n]元/件;B型的售價為600元/件，銷售成本為[n]元/件。如果[50≤n≤150]，求銷售這批絲綢的最大利潤[w]（元）與[n]（元）的函數(shù)關(guān)系式（每件銷售利潤=售價-進(jìn)價-銷售成本）。

簡析 （1）根據(jù)題意，用分式方程解題;（2）①根據(jù)所提供條件，列出關(guān)于[m]的不等式組，可求得[m]的取值范圍;②根據(jù)題意，列出銷售利潤[y]與[m]的函數(shù)關(guān)系式，討論所含字母[n]的取值范圍，則[w]與[n]的函數(shù)關(guān)系式可得。

[例7]（2021·盤錦）某工廠生產(chǎn)并銷售A，B兩種型號車床共14臺，生產(chǎn)并銷售1臺A型車床可以獲利10萬元;如果生產(chǎn)并銷售不超過4臺B型車床，則每臺B型車床可以獲利17萬元，如果超出4臺B型車床，則每超出1臺，每臺B型車床獲利將均減少1萬元。設(shè)生產(chǎn)并銷售B型車床[x]臺。

（1）當(dāng)[x>4]時，完成以下兩個問題：

①請補(bǔ)全下面的表格：

②若生產(chǎn)并銷售B型車床比生產(chǎn)并銷售A型車床獲得的利潤多70萬元，問：生產(chǎn)并銷售B型車床多少臺？

（2）當(dāng)[0

簡析 （1）①由題意知，生產(chǎn)并銷售B型車床[x]臺時，生產(chǎn)并銷售A型車床[（14-x）]臺，當(dāng)[x>4]時，每臺B型車床可以獲利[17-（x-4）=（21-x）]萬元，②由題意得方程[10（14-x）+70=17-（x-4）x]，解得[x1=10]，[x2=21]（舍去）;（2）當(dāng)[00]，故當(dāng)[x=4]時總利潤[W]最大，為[3×4+140=152]（萬元）;當(dāng)[x>4]時，[W=10（14-x）+17-（x-4）x]，整理得[W=-x2+11x+140]，因為[-1<0]，所以當(dāng)[x=-112×（-1）=5.5]時總利潤[W]最大，又由題意知[x]只能取整數(shù)，所以當(dāng)[x=5]或[x=6]時，總利潤[W]最大，為[-52+11×5+140=170]（萬元）。

點評 綜合應(yīng)用性問題在突出綜合性的同時強(qiáng)調(diào)應(yīng)用性，這類問題一般注意聯(lián)系學(xué)生的生活實際，關(guān)注社會熱點，注重學(xué)科知識的內(nèi)在聯(lián)系和整合，能夠有效考查學(xué)生收集信息和處理信息的能力、模型轉(zhuǎn)化能力、分析綜合能力、計算和表達(dá)的能力。解決這類問題的關(guān)鍵是根據(jù)題目的已知條件，分析數(shù)量關(guān)系，靈活運用分析法或綜合法把隱蔽的“中間問題”找出來，迅速地找到解題的切入點，建立相關(guān)的數(shù)學(xué)模型。

縱觀近幾年來全國各地的中考數(shù)學(xué)試題，通過歸類分析可知，應(yīng)用性問題的解題關(guān)鍵是：在準(zhǔn)確理解題意的基礎(chǔ)上，利用已知條件，運用方程（組）、不等式（組）、函數(shù)、統(tǒng)計初步、幾何等數(shù)學(xué)知識，分析實際問題中內(nèi)在的、本質(zhì)的關(guān)系，建立數(shù)學(xué)模型解決問題。

[ ? 參 ? 考 ? 文 ? 獻(xiàn) ? ]

[1] ?杜志建.2020福建中考幫：中考數(shù)學(xué)[M].烏魯木齊： 新疆青少年出版社，2019.

[2] ?潘振南.2016中考總復(fù)習(xí)導(dǎo)與練：數(shù)學(xué)：泉州專版[M]. 長春：吉林大學(xué)出版社，2015.

（責(zé)任編輯 黃春香）