桂雪娟

將含有兩個(gè)未知數(shù)，且含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是一次的兩個(gè)方程聯(lián)立起來，就構(gòu)成了二元一次方程組. 二元一次方程組的解就是組成這個(gè)方程組的兩個(gè)方程的公共解.解二元一次方程組的基本思路是消元.下面就常用的“消元”方法進(jìn)行分析說明.

一、代入消元法

代入消元法就是在解二元一次方程組時(shí)，把其中一個(gè)方程的某個(gè)未知數(shù)用含有另一個(gè)未知數(shù)的代數(shù)式表示出來，再代入到另一個(gè)方程中，進(jìn)而達(dá)到消元的目的.基本步驟是：第一步，變形.即從二元一次方程組中選取一個(gè)系數(shù)較簡(jiǎn)單的方程，然后把它變?yōu)橛煤粋€(gè)未知數(shù)的式子表示另一個(gè)未知數(shù)的形式;第二步，代入.即將變形后的方程代入到另一方程中消去某個(gè)未知數(shù)，使方程轉(zhuǎn)化為關(guān)于另一個(gè)未知數(shù)的一元一次方程，解出此方程，進(jìn)而得到該未知數(shù)的值;第三步，回代.把所求得的未知數(shù)的值代回到變形后的方程中，得出另一未知數(shù)的值，再用大括號(hào)把兩個(gè)未知數(shù)的值聯(lián)立起來;第四步，檢驗(yàn).把所得的兩個(gè)未知數(shù)的值代入另一方程中進(jìn)行檢驗(yàn)，若成立，則是原方程組的解.

例1 解下列方程組：

分析：觀察兩個(gè)方程組的特點(diǎn)，可以看出在方程組（1）中，方程①中x的系數(shù)為1，故可以直接利用代入消元法求解;方程組（2）并非一般形式，先要把它整理成一般形式，再利用代入消元法求解.

解：（1）由方程①移項(xiàng)可得x=2y + 4，

把x=2y + 4代入方程②中，可得2（2y + 4） + 3y=1，

解得y=- 1，

把y=- 1代入①中可得x=2，

所以有：x=2，

y=-1.

經(jīng)檢驗(yàn)可知，原方程組的解為x=2，y=-1.

（2）通過整理，原方程組可以轉(zhuǎn)化為

5x - 11y=-1③，

-x + 5y=3④，

由方程④可知x=5y - 3.

把x=5y - 3代入方程③中，可得5（5y - 3） - 11y=- 1，即14y=14，解得y=1.

把y=1代入x=5y - 3中，可得x=2，

x=2，

y=1.

經(jīng)檢驗(yàn)可知，原方程組的解為x=2，

評(píng)注：在解二元一次方程組時(shí)，若方程組中某一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)是1或-1，或者是可以將某一項(xiàng)作為一個(gè)整體，便于代入另一個(gè)方程中時(shí)，常常借助代入消元法進(jìn)行求解.

二、加減消元法

加減消元法即通過將方程組中的兩個(gè)方程相加或相減消去某個(gè)未知數(shù)，從而將兩個(gè)方程轉(zhuǎn)化為關(guān)于另一個(gè)未知數(shù)的一元一次方程，進(jìn)行求解.在運(yùn)用加減消元法解二元一次方程組時(shí)，要注意仔細(xì)觀察兩個(gè)方程中的同一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)，若發(fā)現(xiàn)系數(shù)互為相反數(shù)，則利用相加消元法求解;若發(fā)現(xiàn)系數(shù)相同，則利用相減消元法求解;若兩個(gè)系數(shù)既不相等，也不互為相反數(shù)，則需要運(yùn)用等式性質(zhì)，把方程兩邊同乘以適當(dāng)?shù)臄?shù)，使未知數(shù)的系數(shù)相同或互為相反數(shù)，再借助加減消元法求解.

分析：（1）觀察方程組，可以發(fā)現(xiàn)，兩個(gè)方程中未知數(shù)y的系數(shù)相同，這樣只需要把兩個(gè)方程相減，消去未知數(shù)y，得到關(guān)于x的一元一次方程即可解題.（2）觀察方程組，很容易看出，兩個(gè)方程中的未知數(shù)x、y的系數(shù)既不相同，也沒有互為相反數(shù)，此時(shí)需要運(yùn)用等式性質(zhì)把同一未知數(shù)的系數(shù)轉(zhuǎn)化為相同，因此需要將方程①兩邊同時(shí)乘以2，方程②兩邊同時(shí)乘以3，再兩式相加，消去未知數(shù)y，得到關(guān)于x的一元一次方程即可解題.

解：（1）由方程②-①可得2x=2，

解得x=1.

把x=1代入①中可得y=- 3，

x=1，

y=-3.

經(jīng)檢驗(yàn)可知，原方程組的解為x=1，y=-3.

（2）方程①×2可得8x + 6y=6③;方程②×3可得9x - 6y=45④，

③+④可得17x=51，解得x=3.

把x=3代入方程①中，可得y=- 3，

x=3，

y=-3.

經(jīng)檢驗(yàn)可知，原方程組的解為x=3，y=-3.

評(píng)注：在解二元一次方程組時(shí)，若兩個(gè)方程的同一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)相同，或系數(shù)互為相反數(shù)，或者成倍數(shù)關(guān)系，此時(shí)可利用加減消元法去破解.

總之，代入消元法和加減消元法都是解二元一次方程組最基本、最常見的消元方法，兩者既存在相通點(diǎn)，又具有不同點(diǎn).同學(xué)們?cè)诮舛淮畏匠探M時(shí)，一定要對(duì)方程中的各項(xiàng)進(jìn)行認(rèn)真觀察、分析，根據(jù)其具體特點(diǎn)，選擇最佳的求解方法.