范連眾 劉雪蓮 邢媛媛 高婷

摘要：《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》明確給出了“綜合與實踐”部分的內容標準、質量標準和教學建議，這是數(shù)學教師進行課堂教學的行動指南。明確課程標準的要求，理解現(xiàn)實實施過程中的問題，掌握在日常教學中培養(yǎng)學生模型觀念和應用意識的基本策略，是開展“綜合與實踐”課程的前提和關鍵。依據(jù)七年級數(shù)學教學內容的特點，可以從問題情境的創(chuàng)設和問題串的設計入手來開展“綜合與實踐”，確保學生具備課程標準要求的基本素養(yǎng)。

關鍵詞：模型觀念;應用意識;初中數(shù)學;“綜合與實踐”

人類社會從農業(yè)社會發(fā)展到工業(yè)社會，一直到當今的信息社會，人們對數(shù)學、對數(shù)學教育的認識、理解和要求都在不斷地發(fā)生變化。在信息社會，數(shù)學已不僅僅是思維、還是語言、更是文化，已經(jīng)滲透到社會生活的方方面面，特別是它與計算機、工程技術等現(xiàn)代技術學科的結合，正為現(xiàn)實世界帶來巨大的變化。同時，信息技術的發(fā)展使數(shù)學學科從研究內容到研究手段，從研究思想到研究成果等方面都得到了新的發(fā)展機遇。《中國學生發(fā)展核心素養(yǎng)》要求發(fā)展學生的“關鍵能力”，這種“關鍵能力”可以比較集中地概括為用新技術獲取和處理信息的能力、主動探究能力、分析和解決問題的能力、合作交流能力、終身學習的能力等。

我國在2000年頒布的《九年義務教育全日制初級中學數(shù)學教學大綱（試用修訂版）》中首次引入“探究性活動、實習作業(yè)”;2002年開始實施的《義務教育數(shù)學課程標準（實驗稿）》將“綜合與實踐”和“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”“概率與統(tǒng)計”一起，構成中學數(shù)學課程的四大學習主題，成為我國義務階段數(shù)學教育走向現(xiàn)代化數(shù)學教育的標志;2011年頒布的《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》則強調數(shù)學課程要特別注重發(fā)展學生的應用意識，指出“在整個數(shù)學教育的過程中都應該培養(yǎng)學生的應用意識，綜合實踐活動是培養(yǎng)應用意識很好的載體”;《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》將“綜合與實踐”賦予了更艱巨的任務，強調以項目式學習的方式，表現(xiàn)出跨學科學習的特點，這都表現(xiàn)出“綜合與實踐”發(fā)展的時代特征。

一、明確課程標準和教材中“綜合與實踐”的內容，正確理解課程內涵

在進行“綜合與實踐”的教學之前，教師先要洞察課程標準中“綜合與實踐”的內容要求演變。表1從概念界定、常見形式、內容要求三個維度對三版課程標準中的“綜合與實踐”進行比較，從中可以看出其演變過程。

在此基礎上，教師要明確“綜合與實踐”的學習內容、課程目標、教學特征及現(xiàn)有教材中相關內容特點。

（一）明確“綜合與實踐”的學習內容

《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》中對初中學段的“綜合與實踐”提出了更明確的要求，就是在社會生活和科學技術的真實情境中，結合方程與不等式等具體的數(shù)學知識內容，經(jīng)歷現(xiàn)實情境數(shù)學化，探索數(shù)學關系、性質與規(guī)律的過程;就是要用數(shù)學的思維方法，運用數(shù)學與其他相關學科的知識，綜合地、有邏輯地分析問題，經(jīng)歷分工合作、試驗調查、建立模型、計算反思、解決問題的過程;就是要用數(shù)學的語言將現(xiàn)實問題轉化為數(shù)學問題，經(jīng)歷用數(shù)學方法解決問題的過程。

由此可見，初中階段的“綜合與實踐”學習內容不是具體的數(shù)學知識點，而是表現(xiàn)出以真實的問題為載體，以解決問題為重點，以經(jīng)歷過程為標志，以數(shù)學知識的應用為關鍵，以獲得活動經(jīng)驗，發(fā)展創(chuàng)新意識和實踐能力為目標的思想方法特征。

（二）明確“綜合與實踐”的課程目標

初中階段“綜合與實踐”的課程目標，不是簡單地解決傳統(tǒng)意義的應用題，而是通過發(fā)現(xiàn)、提出、分析和解決問題的過程，使學生感悟數(shù)學知識之間、數(shù)學與其他學科知識之間、數(shù)學與科學技術和社會生活之間的聯(lián)系，積累數(shù)學活動經(jīng)驗，體會數(shù)學的科學價值，發(fā)展應用意識、創(chuàng)新意識和實踐能力，進而逐步形成“會用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)實世界”“會用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界”“會用數(shù)學的語言表達現(xiàn)實世界”的核心素養(yǎng)。作為四個課程領域之一，“綜合與實踐”課程目標應既服務于數(shù)學課程的總目標，同時又承擔著特有的使命。它包括幫助學生積累與條理化自身的數(shù)學活動經(jīng)驗，特別是綜合運用數(shù)學知識、技能和方法分析問題、解決問題等方面的經(jīng)驗;發(fā)展學生發(fā)現(xiàn)問題和提出問題的能力;幫助學生獲得分析問題、解決問題的基本方法，體驗解決問題方法的多樣性，發(fā)展創(chuàng)新意識;發(fā)展學生與他人合作、交流的意識和能力;以及讓學生在活動過程中體驗獲得成功的樂趣、鍛煉克服困難的意志、建立自信，體會數(shù)學的應用價值。

（三）明確“綜合與實踐”的教學特征

基于“綜合與實踐”的內容特點和課程目標，其課堂教學表現(xiàn)出更鮮明的教學特征，即經(jīng)歷數(shù)學學習、探究的過程;在與他人合作交流、解決問題的過程中，嚴謹、準確地交流，表達自己的觀點，形成批判性思維和創(chuàng)新意識。

1.注重問題特征

“綜合與實踐”的開展都是圍繞問題解決來進行，應表現(xiàn)出更強的探究性。無論是真實的實際問題，還是純數(shù)學問題，基本素材都應基于學生的現(xiàn)實，包括生活現(xiàn)實、數(shù)學現(xiàn)實、其他學科現(xiàn)實。問題應具有綜合性、開放性，有助于表現(xiàn)出學生思維的開放性、層級性。特別是要注意挖掘數(shù)學與其他學科的聯(lián)系，表現(xiàn)出跨學科解決問題的時代特點。

2.注重教學特征

“綜合與實踐”的一個顯著教學特征是重過程而非結果，包括使學生經(jīng)歷獨立思考與合作交流的過程，經(jīng)歷分析問題與解決問題的過程，經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問題與提出問題的過程。另一個顯著教學特征是重個性化思考、方法，而非標準化程序、“最優(yōu)化”解法。課堂上，教師更希望聽到學生這樣回答問題：我對問題的理解是……我的解決方法設計是……我還能想到……還有一個顯著教學特征是重方法而非知識。開展“綜合實踐”并非新知識學習，而是注重引導學生在建立數(shù)學建模的過程中發(fā)現(xiàn)數(shù)學關系，在從事數(shù)學探究過程中領悟探究的策略和方法的學習。

3.注重活動特征

“綜合與實踐”的主體是學生，其具備活動特征。教學中，應充分體現(xiàn)出學生活動的自主性。一般而言，活動過程主要包含：確定研究課題—設計解決方案—實施研究活動—撰寫研究報告—交流等。學生只有親身經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)與提出問題、分析與解決問題、反思與調整、概括與總結的全過程，才能積累數(shù)學活動經(jīng)驗，提升數(shù)學素養(yǎng)。

4.注重評價特征

由于“綜合與實踐”的教學具有目標多元、過程內涵豐富、結果非標準等特點，對于學生從事“綜合與實踐”學習的行為評價絕非是簡單地打分所能完成的。通常，針對不同的活動形式（個人、團隊），評價的指標重心不盡相同。總體上應呈現(xiàn)指標多元化、行為描述化、結果等級化等基本特征。目的是激勵學生，使他們感受數(shù)學應用的廣泛性。

（四）明確現(xiàn)有教材中相關內容特點

現(xiàn)有的各版本教材中，已經(jīng)設置了一些“綜合與實踐”的內容。如人教版、北師大版教材中的“數(shù)學活動”“課題學習”等欄目，內容上注意貼近學生生活和認識水平，可以讓學生體會數(shù)學思想，加深對數(shù)學的理解，開闊學生的視野，引領學生用數(shù)學的思考方式細致地觀察周圍生活。在教學中，教師同時需要將這些內容與學生自身實際生活相結合，充分挖掘學生身邊的相關內容，采用合理教學的方式，以更好地實現(xiàn)教學目標。

人教版七年級數(shù)學教材在各個章節(jié)的最后都安排了“數(shù)學活動”，為開展“綜合與實踐”提供了內容素材，其在各章節(jié)的常規(guī)教學中，也都注意所提問題來源于現(xiàn)實世界。如在七年級上冊第二章“整式的加減”之后安排了數(shù)學活動：分別從探索規(guī)律，實際應用和日歷表中的數(shù)字規(guī)律，引導學生綜合運用整式的相關知識解決數(shù)學問題和實際問題，進一步發(fā)展學生的數(shù)感和符號意識。在第三章“一元一次方程”的內容設計中，從基本概念的學習到方程的解法，實際問題背景貫穿始終，在此基礎上，教材還特意設計了“實際問題與一元一次方程”一節(jié)課，除了涉及傳統(tǒng)意義上的配套類、工程類應用題之外，還以當今社會真實的打折購物、球賽積分、電話計費為背景，設計了探究性學習活動。這一設計思路，在七年級下冊第八章“二元一次方程組”的學習中，得到了進一步地延續(xù)和發(fā)展，其第三節(jié)課設計的3個實踐與探索內容，進一步發(fā)展了學生的模型觀念和應用意識。學生在社會生活和科學技術的真實情境以及數(shù)學知識的橫向聯(lián)系、縱向拓展中，結合方程（組）等具體的學習內容，經(jīng)歷了現(xiàn)實情境數(shù)學化的過程，感悟了如何從數(shù)學的角度發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，逐步形成了“三會”的核心素養(yǎng)。

二、厘清模型觀念與應用意識的內涵，暢通實施渠道

學生具備一定的模型觀念和應用意識是開展“綜合與實踐”的基本保障。教師只有厘清模型觀念與應用意識的內涵，通過扎扎實實的日常教學，才能暢通實施“綜合與實踐”的渠道。

（一）厘清模型觀念的內涵，合理建模

《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》指出，在小學階段學生形成模型意識的基礎之上，學生在初中學段要形成模型觀念。教師對運用數(shù)學模型解決實際問題要有清晰的認識，要知道數(shù)學建模是數(shù)學與現(xiàn)實聯(lián)系的基本途徑;要使學生初步感知數(shù)學建模的基本過程，從現(xiàn)實生活或具體情境中抽象出數(shù)學問題，用數(shù)學符號建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學問題中的數(shù)量關系和變化規(guī)律，求出結果并討論結果的意義。模型觀念有助于學生開展跨學科主題學習，感悟數(shù)學應用的普遍性。

在七年級的數(shù)學學習中，方程、方程組、不等式、不等式組的學習都需要學生經(jīng)歷用數(shù)學符號提煉現(xiàn)實生活中的等價關系和不等價關系的過程，方程就是用等號將相互等價的兩件事情聯(lián)系起來。方程只是闡述了一個事實本身，是一個沒有經(jīng)過任何加工的事實本身，只是在說明兩件事情是等價的。方程模型觀念的核心在于建模、化歸。解一元一次方程就是最終將方程化歸為x=a的形式，即將含有未知數(shù)的項放到方程的一邊，將不含未知數(shù)的項放到方程的另一邊，就可以解出未知數(shù)的值，解的具體過程要用到四則運算。學生用自然語言闡述數(shù)學的事實，然后抽象成數(shù)學表達，最后用數(shù)學符號建立方程，解決問題，這正是建模的過程。

（二）厘清應用意識的內涵，解決問題

應用意識主要是指有意識地利用數(shù)學的概念、原理和方法解釋現(xiàn)實世界中的現(xiàn)象與規(guī)律，解決現(xiàn)實世界中的問題。教師要使學生能夠感悟現(xiàn)實生活中蘊含著大量與數(shù)量和圖形有關的問題，可以用數(shù)學的方法予以解決;初步了解數(shù)學作為一種通用的科學語言在其他學科中的應用，通過跨學科主題學習建立不同學科之間的聯(lián)系。應用意識有助于學生用學過的知識和方法解決簡單的實際問題，養(yǎng)成理論聯(lián)系實際的習慣，發(fā)展實踐能力。

例如，七年級學生學會抽象——將關系抽象為數(shù)學符號，要經(jīng)歷兩個過程，一個是抽象過程，一個是運算過程。這兩個過程都含有邏輯問題，每一步都不能出錯。列方程解實際問題需要學生具體問題具體分析，要在錯綜復雜的事實中，將最本質的東西抽象出來，同時在運算中遵循最佳的途徑，將復雜的問題簡單化，這種優(yōu)化思想對于人的思維習慣的影響是深遠的。日常教學中，教師只有將這些工作做實，使學生具備一定的探究能力、模型觀念和應用意識，才能為開展“綜合與實踐”提供保證。

三、探索“綜合與實踐”的教學策略，助力課程實施落地

課堂上，設計恰當?shù)膯栴}情境和問題串引導學生學習是發(fā)展學生模型思想和應用意識的基本策略。好的問題情境能夠充分調動起學生原有的生活經(jīng)驗和數(shù)學經(jīng)驗，更能促使學生由情境引起數(shù)學意義上的思考。好的問題串在一般觀念的引領下，連貫系統(tǒng)，自然而然，可助力學生的數(shù)學學習。

人教版數(shù)學教材在七年級下冊第八章“二元一次方程組”中有這樣的安排：在學習完方程組的解法之后有一節(jié)探究活動，3個探究問題既各具特色，又指向同一目標，使學生在經(jīng)歷建模過程中感悟二元一次方程組的模型價值;經(jīng)歷估算與精確計算的比較，體悟數(shù)學模型的應用價值。

（一）創(chuàng)設生活化的問題情境，幫助學生理解數(shù)學術語

借助生活場景來構建問題情境，既能夠使學生主動融入到熟悉的環(huán)境中，感受到數(shù)學知識與生活的聯(lián)系，強化對生活問題的探究動機，又能夠以生活問題為導向，使學生結合自身的生活經(jīng)驗與認知，不斷感受蘊含在問題中的數(shù)學原理，建立數(shù)學世界與現(xiàn)實世界的聯(lián)結。學生運用已有經(jīng)驗，化解對生澀的數(shù)學術語的理解，為探究活動的開展掃清障礙。以“探究活動二：面積劃分問題”為例，教師設計了下面的問題情境。

1.把一個長為200 m，寬為100 m的長方形土地分成面積比為1∶3的兩個長方形部分，可以怎么分？你能畫出示意圖嗎？

這一情境的設計意圖是從學生熟悉的學習經(jīng)驗出發(fā)，在解決簡單數(shù)學問題的過程中使學生體會“怎么分”的數(shù)學表述，同時一題多解，減輕學生的心理壓力，助力教學難點的突破。

2.在一片面積為200 m2的土地上種植甲種農作物，已知該農作物的單位面積產量為10 kg/m2，則該土地的農作物總產量為_____________;

在一片面積為200 m2的土地上種植甲、乙兩種農作物，且種植面積相等，已知甲、乙兩種農作物的單位面積產量分別為10 kg/m2和30 kg/m2，則該土地的兩種農作物總產量為。

這一情境的設計意圖是引導學生根據(jù)生活經(jīng)驗，在解決簡單實際問題的過程中認識、分析陌生的實際問題背景，并能應用于實際問題，為探究活動提供方法經(jīng)驗。

與此類似，在學習“探究活動三：方案決策問題”時，學生需要理解復雜的單位，為此教師設計了下面的情境。

某快遞公司發(fā)快遞的費用細則如下：每千米0.2元，每千克0.2元（kg[?]km）。

（1）1 kg的貨物運送2 km，需要付_____________元的運費;

（2）2 kg的貨物運送2 km，需要付_____________元的運費;

（3）已知A市到B市距離為30 km。若從A市運送20 kg的貨物到B市，選擇該公司需付費用為_____________元。

（二）注重思維發(fā)展規(guī)律，逐步喚醒學生已有的模型意識

經(jīng)過小學階段和初中七年級上半學期的學習，學生已有了初步的模型意識。因此，熱身問題的設計需要能夠喚醒學生已有的模型意識，這就要求熱身題目必須起到“搭臺階”的作用，要既簡單、不擠占課堂時間，又為后續(xù)問題做準備。同時，熱身題要切中要害，直指問題本質，要啟發(fā)學生的模型意識。在“探究活動一：大牛小牛問題”中，教師創(chuàng)設了這樣的情境：

一種商品有大小瓶兩種包裝，3大瓶、4小瓶共裝108千克產品，2大瓶、3小瓶共裝76千克，那么4大瓶、2小瓶能裝多少千克？

本題簡單易做，能有效地引發(fā)學生運用已有模型意識設未知數(shù)、找等量關系、列方程組，對接下來的探究活動產生了潛移默化地影響。美國課程理論家施瓦布指出，課程死氣沉沉，是由于課程研究者脫離了他們所研究的對象——實際教育情境。合適的問題情境能啟發(fā)學生的模型意識，聚焦研究問題的本質。情境的設計與使用是樹立模型觀念與發(fā)展應用意識的“起跑線”，是教學設計必須考慮的基本問題。

（三）圍繞核心問題設計階梯型問題串，引導學生感悟數(shù)學模型的應用價值

學生只有自己經(jīng)歷建模的過程才能感悟數(shù)學模型的應用價值，這就要求與例題相關的問題串設計要有階梯性、條理性和啟發(fā)性，能促進學生自己找到等量關系、建立數(shù)學模型、厘清解題思路。同時，教師也要通過問題串強化學生的模型意識，進而轉化成模型觀念。對于“大牛小牛問題”，教師在出示例題之后，可以提出以下問題串并引導學生思考。

1.（緊跟熱身問題，針對例題再次提出）“包含哪些相等關系？”“你都能直接求出哪些量？”（引導學生找到建模依據(jù)，建立數(shù)學模型）

2.“怎樣檢驗李大叔的估計呢？”（體會運用模型觀念解決問題）

對于“面積劃分問題”，教師將產量比的關系改為相等關系，重在引導學生體會用方程組模型描述相等關系，之后再給出單位產量之比和總產量之比，更合適學生現(xiàn)有的知識水平。

據(jù)統(tǒng)計資料，甲種作物的單位面積產量是10 kg/m2，乙種作物的單位面積產量是30 kg/m2，現(xiàn)要把一塊長200 m，寬100 m的長方形土地，分為兩塊小長方形土地，分別種植這兩種作物。怎樣劃分這塊土地，能使甲、乙兩種作物的產量相等？

在“方案決策問題中”，教師設計了下面的問題串，引導學生學會分析問題。

1.從題目敘述中你直接獲取了哪些信息？請有條理地表述出來。

2.怎樣理解“這批產品的銷售款比原料費與運輸費的和多多少元？”我們必須知道哪些量？

3.你能先列表梳理已知量，進而計算出運輸費用，再列出方程組嗎？

階梯型的問題串設計，可引導學生逐步認識到問題的本質，使其學會分析問題的一般方法，為問題解決創(chuàng)造條件。

（四）設計引發(fā)學生深入思考的課后討論題，促使學生應用數(shù)學模型

現(xiàn)實生活中的問題復雜多變，在很多實際問題中，我們無法進行精確統(tǒng)計，但可以忽略掉無關或不關鍵因素，抽象出數(shù)量和關系，并運用數(shù)學模型這種語言進行表達、計算、分析和預估，這對學生來說是非常重要的數(shù)學素養(yǎng)。所以，設計的問題要能促使學生樹立模型觀念，產生應用數(shù)學模型的愿望。因此，課后討論問題的設計也充分體現(xiàn)了教師的教學格局和教育智慧。在“大牛小牛問題”的課后討論中，教師提出這樣的問題：“實際生活中，還有這樣用估計進行計算的實例嗎？”

這一問題的提出意在使學生了解生活中還有很多需要估計的實例，知道雖然無法具體精確統(tǒng)計數(shù)據(jù)，但考慮到測量誤差和實際操作中的損失等因素，可以對總體情況進行比較準確地估計，如家里裝修時提前估計所需材料及數(shù)量就可以少跑路，少花錢;食堂提前估計用餐人數(shù)就可以在既提供服務的同時又節(jié)約成本。這一問題還能促進學生理解模型的廣泛應用，使他們利用數(shù)學模型進行初步預測和估計。此外，樹立模型觀念，產生應用數(shù)學模型的愿望，也能為學生未來形成模型思想做好鋪墊。

在學習活動中，學生需要自己感悟數(shù)學模型的價值，這是難能可貴的數(shù)學學習經(jīng)驗。所以，教師必須做到不替代，只引領，可緊跟例題提出諸如“你還有其他的計算方法嗎？”之類的問題，這樣可啟發(fā)學生選取不同的等量關系、不同的數(shù)學模型（一元一次方程、算術），甚至是不同的思維方向;意在使學生體悟到各種方法和模型之間的不同，感悟到二元一次方程組模型的價值。

課后思考問題“你能用李大叔估計的范圍來推斷大牛和小牛的飼料數(shù)值嗎？”意在激發(fā)學生的逆向思維，引出控制變量法和反證法的思想，促進學生的深入思考，也能夠拓寬學生的視野、發(fā)散學生的思維。當學生運用逆向思維，提出運用控制變量法的解決方法具有局限性之后，教師再總結當定量和不定量同時出現(xiàn)時，要從定量入手建立數(shù)學模型解決問題，更突顯出模型運用的價值。

總之，開展“綜合與實踐”，需要教師在教學中注重教學方式的變化，積極尋找契機發(fā)展學生自主探索、合作交流與實踐創(chuàng)新的數(shù)學學習方式;通過現(xiàn)實的、有趣的、富有挑戰(zhàn)性的數(shù)學學習內容引導學生主動地從事觀察、實驗、猜測、驗證、推理、交流、反思等數(shù)學活動，發(fā)展學生的模型觀念和應用意識。

參考文獻：

[1]林崇德.21世紀學生發(fā)展核心素養(yǎng)研究[M].北京：北京師范大學出版社，2016.

[2]范連眾.初中數(shù)學教科書習題發(fā)展研究[M].長春：東北師范大學出版社，2021.

（責任編輯：楊強）