摘 要：數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師可嘗試從代數(shù)出發(fā)講授函數(shù).數(shù)是對(duì)事物的抽象，是具體的，代數(shù)用文字或符號(hào)表示普遍的數(shù)，在此基礎(chǔ)上，教師可引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)代數(shù)產(chǎn)生的原因、代數(shù)式的分類、代數(shù)與運(yùn)算法則、代數(shù)與方程、代數(shù)與公式等.為描述運(yùn)動(dòng)變化的數(shù)學(xué)，人們?cè)诖鷶?shù)基礎(chǔ)上發(fā)明了函數(shù).教師可從代數(shù)式的不定結(jié)果、代數(shù)與方程、代數(shù)與數(shù)軸、代數(shù)變量間關(guān)系等角度全面講述函數(shù)概念.

關(guān)鍵詞：代數(shù);方程;數(shù)軸;變量;函數(shù)

中圖分類號(hào)：G632?? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A? ?文章編號(hào)：1008-0333（2022）24-0008-03

收稿日期：2022-05-25

作者簡(jiǎn)介：胡乙（1982.5-），男，江蘇省南京人，碩士，講師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

1 代數(shù)的產(chǎn)生及其功能早期人們將數(shù)字與實(shí)際物品聯(lián)系在一起，此時(shí)數(shù)與對(duì)象不可分割，人們不能從中提取數(shù)字.隨著生產(chǎn)實(shí)踐發(fā)展，人們對(duì)數(shù)的認(rèn)識(shí)也逐漸深化，能從一支筆、一個(gè)人、一張紙中抽象出數(shù)字1，隨著抽象思維的不斷發(fā)展，人們嘗試對(duì)數(shù)再次進(jìn)行抽象，用代名詞、文字、符號(hào)等代表任意數(shù)，例如用a代表1，2，3，…，等，研究文字或代名詞算術(shù)的學(xué)問(wèn)稱為代數(shù)學(xué).一般算術(shù)是一定的，具體的，而代數(shù)是不確定的、普遍的，為了深入研究生活中各種變化規(guī)律，人們?cè)诖鷶?shù)的基礎(chǔ)上又發(fā)明了函數(shù).由于代數(shù)能運(yùn)用文字做幫手，故人們可用其表示算術(shù)法則、解方程、描述數(shù)學(xué)公式等.

1.1 代數(shù)與算術(shù)法則

以算術(shù)運(yùn)算為例，其有一定的法則與規(guī)律，當(dāng)描述加法交換律時(shí)，人們不能簡(jiǎn)單地歸納為2+3=3+2，因?yàn)檫@個(gè)敘述只是上述規(guī)律的一個(gè)特點(diǎn).當(dāng)人們要表示整數(shù)之間關(guān)系時(shí)，必須用文字來(lái)代替具體的數(shù)字，即用代名詞來(lái)表示任意符合要求的數(shù)，這個(gè)代名詞表示的數(shù)不是固定的，而是變化的，比如用a+b=b+a描述加法交換律，上述過(guò)程可稱為算術(shù)的基本規(guī)律，其他算術(shù)基本規(guī)律也可用代數(shù)表示.有了算術(shù)規(guī)則，人們可以寫出任意代數(shù)運(yùn)算的表達(dá)式，簡(jiǎn)稱代數(shù)式.最簡(jiǎn)單的代數(shù)式為單項(xiàng)式，比如axk.兩個(gè)及以上的單項(xiàng)式組合為多項(xiàng)式，如x+1.略為復(fù)雜的多項(xiàng)式如x3+x2+1等，由于在計(jì)算中要弄清各個(gè)對(duì)象數(shù)量關(guān)系，人們逐漸用代數(shù)來(lái)探索方程的普遍的系統(tǒng)的解法.

1.2代數(shù)與解方程

數(shù)學(xué)中最基礎(chǔ)的部分為算術(shù)，當(dāng)人們發(fā)現(xiàn)算術(shù)中某些數(shù)量關(guān)系問(wèn)題難以用普通算術(shù)方法解決，于是轉(zhuǎn)而運(yùn)用代數(shù)方法.王貴水指出：“用文字代表數(shù)的學(xué)問(wèn)即為代數(shù).為了尋找系統(tǒng)的、普遍的求解數(shù)量問(wèn)題的解法，產(chǎn)生了以解方程為原理的初等代數(shù).”代數(shù)與方程密不可分.用數(shù)字、文字或符號(hào)表示兩個(gè)量相同的表達(dá)式稱為等式，其描述了各個(gè)對(duì)象數(shù)量間的數(shù)量關(guān)系，含有未知數(shù)的等式就是方程.如果用文字表示未知數(shù)，人們把尚未知道的數(shù)用代數(shù)表示，運(yùn)用移項(xiàng)或約同類項(xiàng)的復(fù)原方法來(lái)求解未知數(shù)，這是代數(shù)的優(yōu)點(diǎn)，并且它可以解決原本用普通算術(shù)方法難以解決的問(wèn)題.

1.3 代數(shù)與公式公式是特殊的方程，它說(shuō)明了各個(gè)對(duì)象之間的關(guān)系.例如，人們用代數(shù)描述正方形面積公式S=a2，a為邊長(zhǎng).當(dāng)a=1cm時(shí)，此時(shí)人們?cè)诖硪话銛?shù)的代數(shù)中代入了特殊的數(shù)字.教師引導(dǎo)學(xué)生思考：如果將a與S視為兩個(gè)口袋，當(dāng)代入不同的a時(shí)，S數(shù)值有何變化？S與a是否對(duì)應(yīng)？比如輸入1個(gè)a，是否會(huì)出現(xiàn)2個(gè)S值？這里學(xué)生只要能判斷兩個(gè)口袋（集合）之間對(duì)應(yīng)關(guān)系即可，教師運(yùn)用數(shù)與代數(shù)知識(shí)，初步引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)集合，為學(xué)生日后學(xué)習(xí)函數(shù)打下基礎(chǔ).

2 代數(shù)與函數(shù)的聯(lián)系

隨著生產(chǎn)發(fā)展與科學(xué)技術(shù)的進(jìn)步，人們需要研究變化與運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)，比如為了計(jì)算太陽(yáng)與月亮的運(yùn)動(dòng)軌跡，為了計(jì)算子彈、炮彈的彈道等，人們必須發(fā)明研究變化之術(shù)的學(xué)問(wèn)，即函數(shù).學(xué)生可將函數(shù)理解為描述變化和運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)語(yǔ)言.教師可與從代數(shù)式、代數(shù)方程、代數(shù)與數(shù)軸、代數(shù)變量等方面引導(dǎo)學(xué)生理解函數(shù).

2.1 從代數(shù)式的結(jié)果出發(fā)理解函數(shù)

代數(shù)可代表變動(dòng)的數(shù)，從代數(shù)式可初步理解函數(shù)的特點(diǎn).假設(shè)存在代數(shù)式x2+1，且x的值不固定，則該代數(shù)式?jīng)]有確定的數(shù)，學(xué)生可用x2+1=f（x）描述以上過(guò)程，以上代數(shù)式的值稱為x的值的函數(shù).R·柯朗與H·羅賓直接將代數(shù)式的不定結(jié)果視為函數(shù)，并提出不同量之間如果有物理關(guān)系則會(huì)出現(xiàn)函數(shù)概念，變量為集合中的一個(gè)元素.

最簡(jiǎn)單的函數(shù)為單項(xiàng)式函數(shù)，其表達(dá)式為f（x）=axk，a為任意實(shí)數(shù)，k是任意正整數(shù)，其也是單項(xiàng)式的次數(shù).此類函數(shù)有f（x）=1，f（x）=-3x2等.

稍為復(fù)雜的為多項(xiàng)式函數(shù)，它是由兩個(gè)或者兩個(gè)以上單項(xiàng)式函數(shù)加在一起的和，如f（x）=1-3x2，其中單項(xiàng)式的最高次數(shù)代表該多項(xiàng)式的次數(shù).

更加復(fù)雜的為有理函數(shù)，它表示為一個(gè)多項(xiàng)式與另一個(gè)多項(xiàng)式的比值.例如：f（x）=x3+1x+5，，f（x）=x2x+1，f（x）=x2-2x2+2等.

此外，還有自變量x以指數(shù)形式出現(xiàn)的指數(shù)函數(shù)以及三角函數(shù)等.

2.2 從代數(shù)解方程出發(fā)理解函數(shù)

代數(shù)能用字母表示未知數(shù)，從求解方程角度，教師可運(yùn)用代數(shù)引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)的作用.在早期解方程過(guò)程中，人們總是嘗試代入特殊的數(shù)字進(jìn)行求解，例如，欲求解x2+2x-1=0，則人們可以嘗試代入兩個(gè)特殊的值，使得代數(shù)式結(jié)果一個(gè)大于0，一個(gè)小于0.假設(shè)x=1，則x2+2x-1=2>0.假設(shè)x=0，則x2+2x-1=-1<0.故x的值應(yīng)該位于0與1之間，取x=0.5，則x2+2x-1=0.25>0，故0與0.5之間，一定有某個(gè)值使得原代數(shù)式為0，后續(xù)計(jì)算以此類推，直到求出x為止.

在求解方程的過(guò)程中，人們每次都要寫下諸如此類代數(shù)式，對(duì)于更為復(fù)雜的方程，如6x4-5x3+4x2+2x-1=0，如果每次都要完整寫出此類代數(shù)式，則增加了負(fù)擔(dān)、降低了效率.為提高效率，正如人們用乘法代替加法一樣，在解方程中，人們可仿照代數(shù)用一個(gè)字母，比如y代表此類代數(shù)式，這種簡(jiǎn)化的代數(shù)形式即為函數(shù).黃風(fēng)義認(rèn)為函數(shù)是代數(shù)的高級(jí)運(yùn)算形式.對(duì)于x2+2x-1的結(jié)果，當(dāng)用字母y來(lái)代表時(shí)，即y=x2+2x-1，該等式的含義是指，當(dāng)x取某個(gè)數(shù)值，經(jīng)過(guò)這個(gè)代數(shù)式運(yùn)算后，得到y(tǒng)的相應(yīng)數(shù)值.當(dāng)x取不同數(shù)值，經(jīng)過(guò)同樣代數(shù)式計(jì)算后，得到的y一般也不同.為了體現(xiàn)x的值決定y的值，人們可以擴(kuò)展字母的個(gè)數(shù)，附加其他字母來(lái)代表x決定y的這個(gè)事實(shí).例如，對(duì)于yx=x2+2x-1，其清楚地表明x決定y，y依賴于x.用yx代表x2+2x-1，即令yx=x2+2x-1，總之，人們用一個(gè)字母或者符號(hào)代表某個(gè)運(yùn)算表達(dá)式，簡(jiǎn)稱函數(shù).有時(shí)人們也可用fx來(lái)代表函數(shù)，其中字母f是函數(shù)單詞（function）的首字母.

2.3 從代數(shù)與數(shù)軸出發(fā)理解函數(shù)

數(shù)、函數(shù)是數(shù)學(xué)的基本單元.在測(cè)量連續(xù)量與離散量時(shí)，為便于比較大小，笛卡爾創(chuàng)造性地將數(shù)以幾何形式表示為直線數(shù)軸上的點(diǎn)，如此將難以直接比較的量轉(zhuǎn)化為易于比較的量，通過(guò)比較數(shù)軸上的不同點(diǎn)與原點(diǎn)的距離，即可知道兩個(gè)量的大小.數(shù)軸是以原點(diǎn)為中心，向兩端無(wú)限延伸的直線.原點(diǎn)與0相對(duì)應(yīng)，原點(diǎn)右邊表示正數(shù)，其左邊表示負(fù)數(shù).人們可以將任意實(shí)數(shù)x描述為數(shù)軸上的點(diǎn)，可以在數(shù)軸上設(shè)定單位長(zhǎng)度，這個(gè)點(diǎn)與原點(diǎn)的距離用設(shè)定的單位長(zhǎng)度表示，即為實(shí)數(shù)x.如果x是一個(gè)固定實(shí)數(shù)，是具體的、個(gè)別的，則每個(gè)x都可以用數(shù)軸上某個(gè)確定的點(diǎn)表示，且數(shù)軸上每個(gè)點(diǎn)只能表示一個(gè)x.如果x是代數(shù)符號(hào)，是不確定的、普遍的數(shù)，則它是一個(gè)在數(shù)軸上不斷移動(dòng)的點(diǎn)，假設(shè)在數(shù)軸上存在多個(gè)不確定的代數(shù)移動(dòng)點(diǎn)，要研究其中的數(shù)量關(guān)系，就需要用到函數(shù).卡爾·P·西蒙等主張從代數(shù)與數(shù)軸出發(fā)理解函數(shù)，并視函數(shù)為數(shù)軸上實(shí)數(shù)的對(duì)應(yīng)法則.

從代數(shù)與數(shù)軸考察，函數(shù)表示某一確定的對(duì)應(yīng)規(guī)則，它使得對(duì)于數(shù)軸上的每個(gè)實(shí)數(shù)，都有函數(shù)確定的唯一的數(shù)軸上的實(shí)數(shù)與之對(duì)應(yīng).如果一個(gè)函數(shù)需要向任意一個(gè)實(shí)數(shù)x賦值，使得它所賦的值比實(shí)數(shù)x本身多2個(gè)單位，此時(shí)可將函數(shù)寫成f（x）=x+2，該函數(shù)給2以4值，可以寫成f（2）=4，同樣，另一個(gè)函數(shù)使得它所賦的值是實(shí)數(shù)x本身，則可以寫成g（x）=x，fx與g（x）表示不同的函數(shù).

2.4 從代數(shù)變量出發(fā)理解函數(shù)

代數(shù)為函數(shù)的發(fā)展提供了有力工具.人們用代數(shù)x可表示直線上可以任意移動(dòng)的點(diǎn)，因?yàn)榇藊表示變動(dòng)的數(shù)量，故人們稱為變量，變量的產(chǎn)生為函數(shù)的研究提供了方向和思路，人們可將函數(shù)視為描述變化和運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)語(yǔ)言.生活中的變量現(xiàn)象非常普遍，如果物體的面積與重量不斷變化，則以上兩個(gè)量即為變量.如果司機(jī)開(kāi)車時(shí)不斷調(diào)整速度，則速度值也是變量.此外，人的呼吸、脈搏隨著情緒不斷變化，家中的自來(lái)水表、煤氣表隨著能源的消耗亦是不斷變化，以上皆為單個(gè)變量，單個(gè)變量只能孤立地描述事物的一個(gè)方面性質(zhì)，為了應(yīng)對(duì)生活中的復(fù)雜問(wèn)題，為全面描述事物的狀態(tài)，人們?cè)O(shè)想存在多個(gè)變量，力求從多個(gè)變量出發(fā)以更加全面地理解事物.正如醫(yī)生看病時(shí)，不光要測(cè)量心跳，還要測(cè)量血壓、體溫，與僅僅測(cè)量心跳一個(gè)變量相比，以上該組變量一般能更為完整地描述病情.綜上，從代數(shù)變量出發(fā)，教師可將函數(shù)解釋為描述了各個(gè)變量間關(guān)系的數(shù)學(xué)語(yǔ)言.

除了單個(gè)變量外，兩個(gè)變量間具有的關(guān)聯(lián)變化是最簡(jiǎn)單的情形，即一個(gè)變量變動(dòng)如何影響另一個(gè)變量值，學(xué)生對(duì)此也容易理解.例如商品價(jià)格對(duì)其銷售量產(chǎn)生影響，貨幣投放量對(duì)本地區(qū)銀行利率有影響，原料的投入對(duì)產(chǎn)品的產(chǎn)出有影響等等.為幫助學(xué)生理解，教師可運(yùn)用生產(chǎn)機(jī)器的比喻來(lái)講授函數(shù).

整個(gè)函數(shù)如同一臺(tái)用電腦程序控制的生產(chǎn)機(jī)器.假設(shè)有兩個(gè)口袋A、B，電腦程序是某類代數(shù)運(yùn)算法則，A口袋里裝有原料，向機(jī)器投入原料后機(jī)器按電腦程序進(jìn)行生產(chǎn)并產(chǎn)出產(chǎn)品，這些產(chǎn)品存入B口袋.假設(shè)電腦程序?yàn)橥度?單位原料，可產(chǎn)生2單位的產(chǎn)品，以此類推，投入x單位原料，則可產(chǎn)生2x單位產(chǎn)品.假設(shè)這里只投入3次原料，A口袋中投入原料分別為1單位、2單位、3單位時(shí)，相應(yīng)的則B口袋中產(chǎn)出分別為2單位、4單位、6單位.從函數(shù)考察：A口袋為限制輸入量，它決定了B口袋的輸出，電腦程序或者運(yùn)算法則為f，用函數(shù)描述為：

f：A→B，f： x→2x1

（1）表示：函數(shù)必有投入與產(chǎn)出，缺一不可.A口袋為投入，每一次投入必產(chǎn)生一個(gè)產(chǎn)品，這個(gè)產(chǎn)品存在于B口袋中.在具體的運(yùn)算程序2x控制下，機(jī)器對(duì)x進(jìn)行加工，產(chǎn)出產(chǎn)品值為2x.教師可用口袋比喻集合解釋函數(shù)定義， 如果A口袋中每一個(gè)投入物都能在B口袋中找到僅僅一個(gè)對(duì)應(yīng)產(chǎn)出，則具體運(yùn)算關(guān)系f就是函數(shù).A口袋為定義口袋，B口袋為上域口袋，兩個(gè)口袋間不同的對(duì)應(yīng)關(guān)系決定了函數(shù)的類型.

總之，函數(shù)是代數(shù)式的不定結(jié)果，是高級(jí)的代數(shù)表達(dá)形式，表明了數(shù)軸上實(shí)數(shù)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，是描述各個(gè)變量間關(guān)系的數(shù)學(xué)語(yǔ)言.

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[責(zé)任編輯：李 璟]