呂軍 庫福立 黃華

摘 要：線性代數(shù)是考研數(shù)學(xué)的一個考查內(nèi)容，而行列式又是線性代數(shù)中的一個重要組成部分，其在求解線性方程組等問題上有較廣泛的應(yīng)用.因而掌握行列式的定義及計(jì)算就顯得尤為重要，行列式的計(jì)算特別是高階行列式的計(jì)算較為復(fù)雜，但又具有一定的規(guī)律性和技巧性.本文對高階行列式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)進(jìn)行歸納分析，并給出相應(yīng)的計(jì)算方法，旨在為考生在計(jì)算行列式時提供一定的幫助.

關(guān)鍵詞：行列式;上（下）三角行列式;范德蒙德行列式;性質(zhì)

中圖分類號：G632?? 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A?? 文章編號：1008-0333（2022）27-0035-03

行列式是線性代數(shù)中的基本內(nèi)容，最初源于對線性方程組的求解，是由德國數(shù)學(xué)家萊布尼茨和日本數(shù)學(xué)家關(guān)孝和于17世紀(jì)先后提出.當(dāng)然行列式的應(yīng)用不僅在于求解方程組，在物理學(xué)、力學(xué)、工程技術(shù)等方面都有著重要的應(yīng)用.

對于一般的低階（二階或三階）行列式，可以直接利用對角線法則來計(jì)算，但對于高階（四階及以上）就沒有那么簡單.考生因高階行列式的形式較為復(fù)雜，所以在計(jì)算時會感覺較為吃力.雖然高階行列式結(jié)構(gòu)較復(fù)雜，但是在計(jì)算時還是能夠根據(jù)其自身具有的特點(diǎn)來選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄇ蠼?，這樣會使其計(jì)算變得更加簡單，起到事半功倍的效果.其實(shí)無論是低階還是高階行列式，其計(jì)算的中心思想就是“降階”和“化零”.本文在其中心思想下對高階行列式的計(jì)算進(jìn)行了歸納總結(jié)，這樣會使考生在面對高階行列式時能夠運(yùn)用巧妙的計(jì)算方法，從而提高行列式計(jì)算的能力.

1 行列式的定義

定義1 由n個自然數(shù)1，2，…，n組成的一個沒有重復(fù)的有序數(shù)組i1i2…in稱為一個n級排列.n級排列一共有n！個.

定義2 在一個n級排列中，如果一個較大的數(shù)排在一個較小數(shù)之前，就稱這兩個數(shù)構(gòu)成一個逆序.一個排列中逆序的總數(shù)，稱為這個排列的逆序數(shù)，用τ（i1i2…in）表示排列i1i2…in的逆序數(shù).

定義3 由n2個元素aij（i，j=1，2，…，n）組成的記號

參考文獻(xiàn)：

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[2] 李學(xué)銀，盛集明.線性代數(shù)及其應(yīng)用[M].北京：科學(xué)出版社，2018.

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[責(zé)任編輯：李 璟]

收稿日期：2022-06-25

作者簡介：呂軍（1988.4-），男，湖北省鄂州人，碩士，講師，從事分形幾何與小波分析研究.

庫福立（1986.1-），男，湖北省麻城人，碩士，講師，從事調(diào)和分析與小波分析研究.

黃華（1981.9-），男，重慶市秀山人，碩士，副教授，從事模糊數(shù)學(xué)與智能計(jì)算研究.

基金項(xiàng)目：新疆維吾爾自治區(qū)教研教改項(xiàng)目（PT-2021012）;

新疆農(nóng)業(yè)大學(xué)校級教改立項(xiàng)（XJJY2020072）;

新疆農(nóng)業(yè)大學(xué)校級教改立項(xiàng)（2021ZHGG07）