毛麗麗

平移、旋轉(zhuǎn)、軸對(duì)稱三大平面運(yùn)動(dòng)變換是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一. 下面以矩形中的折疊問(wèn)題為例，總結(jié)軸對(duì)稱問(wèn)題的規(guī)律，提煉解決問(wèn)題的方法.

原題呈現(xiàn)

例 （2021·湖南·衡陽(yáng)）如圖1，矩形紙片ABCD中，AB = 4，BC = 8，點(diǎn)M，N分別在矩形的邊AD，BC上，將矩形紙片沿直線MN折疊，使點(diǎn)C落在矩形的邊AD上，記為點(diǎn)P，點(diǎn)D落在G處，連接PC，交MN于點(diǎn)Q，連接CM. 下列結(jié)論：

①四邊形CMPN是菱形;

②點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，MN = 5;

③△PQM的面積S的取值范圍是4 ≤ S ≤ 5.

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.

解題分析

分析①：根據(jù)矩形性質(zhì)與折疊性質(zhì)，首先明確對(duì)應(yīng)相等的邊和角，然后根據(jù)矩形的判定方法進(jìn)行判斷.

分析②：折痕MN垂直平分CP，嘗試畫(huà)出點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)的圖形，再利用菱形CMPN的性質(zhì)解決問(wèn)題.

分析③：把握運(yùn)動(dòng)規(guī)律，動(dòng)中求靜，尋求特殊位置，求出△PQM的面積的最大值和最小值，進(jìn)而確定面積S的取值范圍.

精準(zhǔn)作答

解答①：如圖1.

方法1：由折疊可知CN = PN，CM = PM，∠PNM = ∠CNM，

∵紙片ABCD是矩形，∴PM∥CN，

∴∠PMN = ∠CNM，∴∠PNM = ∠PMN，∴PN = PM，

∴CN = PN = CM = PM，∴四邊形CMPN是菱形.

方法2：∵沿直線MN折疊，點(diǎn)C與點(diǎn)P重合，

∴直線MN為對(duì)稱軸，點(diǎn)C與點(diǎn)P為對(duì)應(yīng)點(diǎn)，∴MN垂直平分CP于Q，

∴CQ = PQ，∠MQP = ∠NQC = 90°.

∵紙片ABCD是矩形，∴PM∥CN，∴∠PMQ = ∠CNQ，

∴△CQN≌△PQM（AAS），∴MQ = NQ，∴四邊形CMPN是平行四邊形.

∵M(jìn)N⊥CP，∴四邊形CMPN是菱形.

方法3：易知四邊形CMPN是平行四邊形，

由折疊可知CN = PN，∴四邊形CMPN是菱形.

故①正確.

解答②：當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，如圖2.

連接AC，作AC的垂直平分線，交AD于點(diǎn)M，交BC于點(diǎn)N，

作點(diǎn)D關(guān)于MN的對(duì)稱點(diǎn)G，則可得到折疊后的四邊形MNPG.

在Rt△ABC中，AC = [AB2+BC2=42+82=45]，

設(shè)BN = x，則AN = CN = 8 - x，在Rt△ABN中，[42+x2=8-x2]，

解得[x=3]，∴CN = 5.

方法1：利用面積法求解. ∵S[菱形CNPM] = [AB×CN=12AC×MN]，

∴[5×4=12×45×MN]，∴MN = [25].

方法2：利用勾股定理求解.

∵四邊形CNPM為菱形，∴NQ = [12]MN，CQ = [12]AC = [25]，

在Rt△CQN中，NQ = [CN2-CQ2=52-（25）2=5]，

∵四邊形CMPN為菱形，∴MN = [25].

故②錯(cuò)誤.

解答③：∵S△PQM = [14]S菱形CMPN，而菱形CMPN的面積由CN的長(zhǎng)短決定.

如圖3，當(dāng)CN最短時(shí)，菱形CMPN的面積最小，此時(shí)S△PQM = [14×4×4=4];

如圖4，當(dāng)點(diǎn)P與A點(diǎn)重合時(shí)，CN最長(zhǎng)，菱形CMPN的面積最大，此時(shí)S△PQM = [14×5×4=5].

∴4 ≤ S ≤ 5，故③正確.

因此答案為①③.

解題策略

折疊問(wèn)題的解決大都是以軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)為切入點(diǎn)，數(shù)形轉(zhuǎn)化是解決問(wèn)題的突破口，“折”為“數(shù)”與“形”之間的轉(zhuǎn)化架起橋梁.

1. 全等變換：折疊前后的兩個(gè)圖形全等，即對(duì)應(yīng)邊相等、對(duì)應(yīng)角相等. 解題時(shí)常借助背景圖形提供的角度、線段長(zhǎng)，對(duì)條件進(jìn)行轉(zhuǎn)移、表達(dá).

2. 折痕特征：折痕即對(duì)稱軸，對(duì)稱軸上的點(diǎn)到對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離相等，對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段被對(duì)稱軸垂直平分.

3. 折疊作圖：明確對(duì)應(yīng)點(diǎn)，作對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線的垂直平分線（折痕），進(jìn)而補(bǔ)全圖形.

4. 核心計(jì)算：在直角三角形中利用勾股定理列方程求解，后續(xù)學(xué)習(xí)還會(huì)有新的建立等量的方法.

5. “秘密武器”：折疊必會(huì)出現(xiàn)角平分線和等腰三角形，可利用其性質(zhì)解題.

6. 數(shù)學(xué)思想：轉(zhuǎn)化思想、方程思想.

能力提升

1. 如圖5是一張矩形紙片ABCD，點(diǎn)M是對(duì)角線AC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在BC邊上，將矩形紙片沿DE翻折，使點(diǎn)C落在對(duì)角線AC上的點(diǎn)F處，連接DF，若MF = AB，則∠DAF = °.

2. 如圖6，將長(zhǎng)為4 cm、寬為2 cm的矩形紙片ABCD折疊，使點(diǎn)B落在CD邊的中點(diǎn)E處，壓平后得到折痕MN，則線段AM的長(zhǎng)為cm.

參考答案：1. 18 2. [138]

（作者單位：沈陽(yáng)市于洪區(qū)教育研究中心）