楊文金

一、數(shù)形結(jié)合思想

將數(shù)量關(guān)系與幾何圖形的性質(zhì)結(jié)合起來進(jìn)行分析，并通過數(shù)的運(yùn)算去尋找圖形之間的聯(lián)系，同時(shí)結(jié)合題中所給的已知條件去構(gòu)造圖形，或結(jié)合已知圖形去尋找數(shù)量之間的關(guān)系，這種解決問題的思想即為“數(shù)形結(jié)合”思想.

例1 如圖1，實(shí)數(shù)[-5]，[15]，m在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A，B，C，點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)為D. 若m為整數(shù)，則m的值為.

解析：先求出點(diǎn)D表示的數(shù)，再得到m的取值范圍，最后在范圍內(nèi)找整數(shù)解即可.

∵點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)為D，點(diǎn)B表示的數(shù)為[15]，

∴點(diǎn)D表示的數(shù)為[-15].

∵點(diǎn)A表示[-5]，點(diǎn)C位于A，D兩點(diǎn)之間，

∴[-15

∵m為整數(shù)，∴[m=-3]. 故應(yīng)填[-3].

二、從“特殊到一般”，又從“一般到特殊”的思想

從特殊去探索一般，再通過一般去研究特殊，這是數(shù)學(xué)中常用的重要思維方法. 在探索二次根式的性質(zhì)過程中，就是運(yùn)用“從特殊到一般”的思想方法，從具體例子猜想，并歸納二次根式的性質(zhì).

例2 觀察下列等式：x1 = [1+112+122] = [32] = 1 + [11×2];

x2 = [1+122+132] = [76] = 1 + [12×3];x3 = [1+132+142] = [1312] = 1 + [13×4];…

根據(jù)以上規(guī)律，計(jì)算x1 + x2 + x3 + … + x2020 - 2021 = .

解析：x1 + x2 + x3 + … + x2020 - 2021 = 1 + [11×2] + 1 + [12×3] + 1 + [13×4] + … + 1 + [12020×2021] - 2021= 2020 + 1 - [12] + [12] - [13] + [13] - [14] + … + [12020] - [12021] - 2021 =? - [12021]. 故應(yīng)填 - [12021].

三、轉(zhuǎn)化思想

在研究和解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，經(jīng)常將復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化成簡(jiǎn)單問題，將疑難問題轉(zhuǎn)化成容易問題，將未解決的問題轉(zhuǎn)化成已解決的問題.

例3 設(shè)[6-10]的整數(shù)部分為[a]，小數(shù)部分為[b]，則[2a+10b]的值是（）.

A. 6? ? ? B. [210] ? C. 12? ?D. [910]

解析：首先根據(jù)[10]的整數(shù)部分可確定[a]的值，進(jìn)而確定[b]的值，然后將[a]與[b]的值代入計(jì)算即可得到所求代數(shù)式的值.

易得9 < 10 < 16，所以[9<10<16]，即[3<10<4]，∴[2<6-10<3]，

∴[6-10]的整數(shù)部分[a=2]，∴小數(shù)部分[b=6-10-2=4-10]，

∴[2a+10b=2×2+104-10=4+104-10=6]. 故選A.

四、分類討論思想

有的數(shù)學(xué)問題可能有多種情況出現(xiàn)，在未具體指明是哪種情況時(shí)，需要對(duì)各種情況分類考慮，以保證解答完整準(zhǔn)確，做到不重不漏.

例4 已知a，b是等腰三角形的兩邊長，且a，b滿足[2a-3b+5] + （2a + 3b - 13）2 = 0，則此等腰三角形的周長為（）.

A. 8 ? ? ? B. 6或8 ? C. 7 ? ? ? ?D. 7或8

解析：∵[2a-3b+5] + （2a + 3b - 13）2 = 0，∴[2a-3b+5=0，2a+3b-13=0，]解得[a=2，b=3.]

當(dāng)b為底時(shí)，三角形的三邊長為2，2，3，∵2 + 2 > 3，∴符合題意，∴周長為7;

當(dāng)a為底時(shí)，三角形的三邊長為2，3，3，∵2 + 3 > 3，∴符合題意，∴周長為8.

此等腰三角形的周長為7或8. 故選D.

五、整體思想

整體思想是從整體角度思考問題，即將局部放在整體中觀察、分析，探究并解決問題.

例5 若x = [2] + 1，則代數(shù)式x2 - 2x + 2的值為（）.

A. 7 ? ? ? ? ? ?B. 4 ? ? ? ? C. 3 ? ? ? ? ? ? ? ?D. 3 - [2]

解析：∵x = [2] + 1，∴x - 1 = [2]，∴（x - 1）2 = 2，即x2 - 2x + 1 = 2，

∴x2 - 2x = 1，∴x2 - 2x + 2 = 3. 故選C.