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        由一道中考題說起

        2022-05-30 10:48:04吳凡
        初中生世界·九年級(jí) 2022年10期
        關(guān)鍵詞:定義

        吳凡

        圓是初中數(shù)學(xué)幾何學(xué)習(xí)中的重要圖形之一,也是中考的考查熱點(diǎn)。本文由一道中考真題說起,深入剖析和總結(jié)歸納,以幫助同學(xué)們加深對(duì)圓的理解和掌握。

        例題 (2022·江蘇南京)如圖1,在△ABC中,AB=AC,點(diǎn)D、E在BC上,BD=CE。過A、D、E三點(diǎn)作⊙O,連接AO并延長(zhǎng),交BC于點(diǎn)F。

        (1)求證:AF⊥BC;

        (2)若AB=10,BC=12,BD=2,求⊙O的半徑長(zhǎng)。

        一、分析探究

        本題考查三角形和圓的相關(guān)知識(shí),涉及全等三角形的性質(zhì)及其判定、勾股定理、垂直平分線的定義、等腰三角形“三線合一”、軸對(duì)稱圖形等知識(shí)。解題的關(guān)鍵是要弄清已知條件是哪些,隱含條件有哪些,我們可以運(yùn)用哪些定義或定理來進(jìn)行證明和求解。我們先來剖析題目中的條件(如圖2)。

        二、解法列舉

        第(1)問是證明兩條線的垂直關(guān)系,

        ∵AB=AC,∴∠B=∠C。

        證法一(三次全等):如圖3,連接AD、AE、DO、EO。

        在△ABD和△ACE中,

        ∵AB=AC,∠B=∠C,BD=CE,

        ∴△ABD≌△ACE(SAS)。∴AD=AE。

        在△AOD和△AOE中,

        ∵AD=AE,AO=AO,OD=OE,

        ∴△AOD≌△AOE(SSS)。

        ∴∠DAO=∠EAO。

        在△AFD和△AFE中,

        ∵AD=AE,∠DAF=∠EAF,AF=AF,

        ∴△AFD≌△AFE(SAS)。

        ∴∠DFA=∠EFA。

        又∵∠DFA+∠EFA=180°,

        ∴∠DFA=∠EFA=90°。∴AF⊥BC。

        證法二(三次全等):如圖3,連接AD、AE、DO、EO。

        由證法一可證△ABD≌△ACE,△AOD≌△AOE,∴AD=AE,∠DAO=∠EAO。

        ∴∠FOD=∠FOE。

        在△OFD和△OFE中,

        ∵OD=OE,∠FOD=∠FOE,OF=OF,

        ∴△OFD≌△OFE(SAS)?!唷螪FA=∠EFA。

        又∵∠DFA+∠EFA=180°,

        ∴∠DFA=∠EFA=90°?!郃F⊥BC。

        證法三(兩次全等+等腰三角形“三線合一”):如圖3,連接AD、AE、DO、EO。

        由證法一可證△ABD≌△ACE,△AOD≌△AOE,∴AD=AE,∠AOD=∠AOE。

        ∴△ADE是等腰三角形。

        又∵∠DAO=∠EAO,

        ∴AF⊥DE,即AF⊥BC。

        證法四(一次全等+垂直平分線的定義):如圖3,連接AD、AE、DO、EO。

        由證法一可證△ABD≌△ACE,∴AD=AE。

        又∵OD=OE,∴AO垂直平分DE。

        ∴AF⊥BC。

        證法五(一次全等+垂直平分線的定義):如圖3,連接AD、AE、DO、EO。

        ∵BD=CE,∴BD+DE=CE+DE,即BE=CD。

        在△ABE和△ACD中,

        ∵AB=AC,∠B=∠C,BE=CD,

        ∴△ABE≌△ACD(SAS)?!郃D=AE。

        又∵OD=OE,∴AO垂直平分DE。

        ∴AF⊥BC。

        證法六(兩次全等+等腰三角形三線合一):如圖4,延長(zhǎng)AF交⊙O于點(diǎn)M,連接AD、AE、MD、ME。

        由證法一可證△ABD≌△ACE,∴AD=AE。

        ∵AM是⊙O的直徑,

        ∴∠ADM=∠AEM=90°。

        在Rt△ADM和Rt△AEM中,

        ∵AD=AE,AM=AM,

        ∴Rt△ADM≌Rt△AEM(HL)。

        ∴∠DAM=∠EAM。

        ∵AD=AE,∴△ADE是等腰三角形。

        又∵∠DAF=∠EAF,

        ∴AF⊥DE,即AF⊥BC。

        證法七(一次全等+圓的相關(guān)知識(shí)+等腰三角形“三線合一”):如圖4,延長(zhǎng)AF交⊙O于M點(diǎn),連接AD、AE、MD、ME。

        由證法一可證△ABD≌△ACE,

        ∴AD=AE。

        ∴△ADE是等腰三角形,[AD]=[AE]。

        ∵AM是⊙O的直徑,

        ∴[ADM]-[AD]=[AEM]-[AE],∴[DM]=[ME]。

        ∴∠DAM=∠EAM。

        ∵AD=AE,∠DAF=∠EAF,

        ∴AF⊥DE,即AF⊥BC。

        第(2)問是運(yùn)用勾股定理或者相似來建立方程求圓的半徑,請(qǐng)看解法:

        解法一(勾股定理):如圖3,在△ABC中,∵AB=AC,AF⊥BC,∴BF=CF=[12]BC。

        ∵AB=10,BC=12,∴BF=6。

        在Rt△ABF中,∠AFB=90°,

        ∴AF=[AB2-BF2]=[102-62]=8。

        設(shè)⊙O的半徑為r,則在Rt△DOF中,

        DF=BF-BD=6-2=4,OF=AF-AO=8-r。

        ∴ DF2+OF2 =DO2,

        即? 42+(8-r)2=r2,解得r=5。

        解法二(勾股定理):如圖4,延長(zhǎng)AF交⊙O于M點(diǎn),連接AD、DM。

        由解法一可得AF=8。

        在Rt△ADF中,∠AFD=90°,

        ∴AD=[AF2+DF2]=[82+42]=[45]。

        設(shè)⊙O的半徑為r,

        ∵AM是⊙O的直徑,∴∠ADM=90°,

        ∴AM2-AD2=FD2+MF2,

        即(2r)2-([45])2=42+(2r-8)2,解得r=5。

        此類問題在圓的證明、計(jì)算求解中屬于常見問題,同學(xué)們需要先看懂圖形,會(huì)識(shí)圖,找出其中的基本圖形,結(jié)合題目中的已知條件,進(jìn)行知識(shí)串聯(lián),挖掘出隱藏條件,再分析所要證明的結(jié)論或所要求解的線段長(zhǎng)度,思考證明該結(jié)論或要求解的未知量需要哪些角度,最后借助相關(guān)定理、定義、判定、性質(zhì)等知識(shí)解決問題。

        (作者單位:江蘇省南京市致遠(yuǎn)初級(jí)中學(xué))

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