賀洪秋

蘇科版八（下）第11章“反比例函數(shù)”是初中函數(shù)內(nèi)容的重要組成部分，是介于一次函數(shù)與二次函數(shù)之間的一個(gè)過渡函數(shù)，在函數(shù)的學(xué)習(xí)過程中，起到了承前啟后的作用。本節(jié)課是本章的復(fù)習(xí)課，筆者從生活情境出發(fā)，自始至終利用同一個(gè)背景函數(shù)y=[4x]，層層遞進(jìn)，融和了基本知識(shí)、基本技能、基本思想方法，有效地啟發(fā)和推動(dòng)學(xué)生對(duì)知識(shí)的內(nèi)化。在這個(gè)過程中，力求發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)?；谶@樣的想法，筆者設(shè)計(jì)了如下環(huán)節(jié)。

一、創(chuàng)設(shè)情境

師：我打算周末帶家人去焦山游玩，家里沒有口罩了，我讓兒子去超市買，他回來后列了個(gè)表（如表1）。你能從學(xué)習(xí)過的一次函數(shù)和反比例函數(shù)中確定一種函數(shù)來表示其變化規(guī)律嗎？請求出它的函數(shù)表達(dá)式。

【設(shè)計(jì)意圖】從學(xué)生感興趣的生活情境入手，結(jié)合時(shí)事和文化背景，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)就在我們身邊；對(duì)比一次函數(shù)和反比例函數(shù)特征，從數(shù)的角度進(jìn)行數(shù)據(jù)分析，得到反比例函數(shù)表達(dá)式的一般形式，進(jìn)而構(gòu)建出反比例函數(shù)表達(dá)式的三種等價(jià)形式（y=[kx]，xy=k，y=x-1）以及變量的取值范圍；自然地過渡到從“形”的角度解決此問題，在平面直角坐標(biāo)系中描點(diǎn)、畫線，觀察圖形形狀，滲透“數(shù)形結(jié)合”的思想方法。

二、動(dòng)手實(shí)踐

師：請同學(xué)們在平面直角坐標(biāo)系中描出三個(gè)點(diǎn)A（1，4）、B（2，2）、C（4，1），根據(jù)三個(gè)點(diǎn)之間的關(guān)系，你能發(fā)現(xiàn)什么？

生1：我發(fā)現(xiàn)A、B、C三點(diǎn)不共線，得出它們在反比例函數(shù)圖像上。

生2：我知道該函數(shù)的圖像是雙曲線，所以圖像還有一支，在第三象限。根據(jù)雙曲線的中心對(duì)稱性，我還可以畫出另一支圖像。

生3：當(dāng)k＞0時(shí)，反比例函數(shù)圖像過第一、三象限；k＜0時(shí)，反比例函數(shù)圖像過第二、四象限。

【設(shè)計(jì)意圖】反比例函數(shù)的知識(shí)要點(diǎn)就是它的圖像與性質(zhì)。筆者通過讓學(xué)生自己畫圖，主動(dòng)搭建知識(shí)框架，引出了反比例函數(shù)的對(duì)稱性、增減性等。

例1 已知點(diǎn)A（-2，y1）、B（-1，y2）都在反比例函數(shù)y=[4x]的圖像上，則y1與y2的大小關(guān)系為__________。

師：你是怎樣得到y(tǒng)1與y2的大小關(guān)系的？

生4：代入法、性質(zhì)法、圖像法。

變式訓(xùn)練1 已知點(diǎn)A（x1，y1）、B（x2，y2）（x1＜0＜x2）都在反比例函數(shù)y=[4x]的圖像上，則y1與y2的大小關(guān)系為__________。

變式訓(xùn)練2 已知點(diǎn)A（x1，y1）、B（x2，y2）（x1＜x2）都在反比例函數(shù)y=[4x]的圖像上，則y1與y2的大小關(guān)系為__________。

【設(shè)計(jì)意圖】比較大小題型可以考查學(xué)生對(duì)反比例函數(shù)性質(zhì)的理解，也能檢驗(yàn)學(xué)生利用圖像解決問題的能力。變式訓(xùn)練1把特殊值一般化，讓學(xué)生感受利用圖像解決問題的必要性；變式訓(xùn)練2要討論A、B兩點(diǎn)所在象限的三種情況，可培養(yǎng)學(xué)生的分類意識(shí)和邏輯能力。

例2 結(jié)合函數(shù)y=[4x]的圖像回答下列問題：當(dāng)x＞1時(shí)，y的取值范圍為__________；當(dāng)x＜1時(shí)，y的取值范圍為 __________；當(dāng)y＞1時(shí)，x的取值范圍為__________?。

【設(shè)計(jì)意圖】在例2中，已知一個(gè)變量的取值范圍，求另一個(gè)變量的取值范圍，目前學(xué)生用代數(shù)方法解不等式是解決不了的，只能結(jié)合圖像來研究。同時(shí)，有的問題答案是多段的，解決問題時(shí)教師要提醒學(xué)生注意臨界值能否取到以及不能漏解兩大易錯(cuò)點(diǎn)。該類題型能夠培養(yǎng)學(xué)生的圖形意識(shí)和分析能力。

例3 若反比例函數(shù)y=[4x]的圖像與一次函數(shù)的圖像交于A（-4，m）、B（n，4），如圖1，你能根據(jù)題意提出一個(gè)問題并指定同學(xué)解決嗎？

【設(shè)計(jì)意圖】本題開放性的問法讓學(xué)生打開自己的思路，拓展思維，充分尊重學(xué)生的思維方式和解決問題的方法，讓學(xué)生出題考學(xué)生的設(shè)計(jì)也會(huì)讓他們更加積極地參與到活動(dòng)中來。學(xué)生在提出問題的過程中更能理解題目的考點(diǎn)和要求，提出問題比解決問題更能訓(xùn)練思維。

例4 如圖2，雙曲線交矩形OCED于A、B兩點(diǎn)，已知點(diǎn)E（2，4），點(diǎn)A為CE的中點(diǎn)。

（1）求線段AB的長；

（2）在線段OA上存在一點(diǎn)M，當(dāng)△MOB的面積等于[34]時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；

（3）是否存在一點(diǎn)N，使得O、A、B、N四點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形？若存在，請直接寫出N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由。

【設(shè)計(jì)意圖】本題綜合性較強(qiáng)，是對(duì)學(xué)生掌握了基礎(chǔ)知識(shí)后的綜合運(yùn)用與提升，也是對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的檢驗(yàn)。

師：你能發(fā)現(xiàn)反比例函數(shù)的美嗎？

生5：對(duì)稱美——圖像中心對(duì)稱。

生6：曲線美——雙曲線。

生7：簡潔美——表達(dá)式只有一個(gè)參數(shù)。

生8：距離美——圖像和坐標(biāo)軸永不相交。

師：在本節(jié)課開頭，我們以買口罩過程中所涉及的“銷售問題”為背景，得到了反比例函數(shù)y=[4x]及其圖像，你還能給該函數(shù)賦予其他不同的實(shí)際背景嗎？

【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)之美，培養(yǎng)欣賞美的能力，知道數(shù)學(xué)不僅是一門理性學(xué)科，也可以很感性。

三、教學(xué)反思

本節(jié)課的每一個(gè)問題都緊緊圍繞著同一個(gè)反比例函數(shù)來探索研究，不斷延伸該反比例函數(shù)，變化出新的問題，考查了多個(gè)知識(shí)點(diǎn)，使學(xué)生無需重新熟悉新問題的背景，很有連貫性，大大地提高了課堂效率。同時(shí)，本節(jié)課培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，發(fā)展建模意識(shí)，讓學(xué)生學(xué)會(huì)抓住問題本質(zhì)，掌握“在生活中發(fā)現(xiàn)問題→抽象出函數(shù)表達(dá)式→畫出圖像→結(jié)合圖像研究性質(zhì)→回歸生活解決問題”的過程。最終，在完成知識(shí)體系建構(gòu)的同時(shí)，培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

（作者單位：江蘇省鎮(zhèn)江市江南學(xué)校）

專家點(diǎn)評(píng)

“反比例函數(shù)”是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容。賀老師從生活情境出發(fā)，引發(fā)學(xué)生多方面思考，提高學(xué)生核心素養(yǎng)，具體表現(xiàn)在以下三個(gè)方面：

巧妙的問題設(shè)計(jì)。問題是課堂中的重要元素，沒有問題的課堂是沒有活力的，問題串的設(shè)計(jì)是課堂教學(xué)的重要組成部分。賀老師巧妙設(shè)計(jì)問題，把知識(shí)點(diǎn)串聯(lián)起來。如，根據(jù)三個(gè)點(diǎn)之間的關(guān)系，你能發(fā)現(xiàn)什么？你怎么得到y(tǒng)1與y2的大小關(guān)系？等等。

真實(shí)情境的問題設(shè)計(jì)能有效激發(fā)學(xué)生的興趣，提升課堂效率。

頻繁的師生互動(dòng)。師生互動(dòng)的過程是教師和學(xué)生不斷溝通的過程，主要有三個(gè)特點(diǎn)：一是溝通，二是平等，三是開放。本節(jié)課的推進(jìn)始終是在師生互動(dòng)的方式下進(jìn)行的，教師作為引導(dǎo)者，在平等的狀態(tài)下與學(xué)生交流，可以看出學(xué)生生成非常自然，思維始終處于活躍狀態(tài)。

多角度的問題思考。多角度思考問題就是從不同的角度、不同的方向去思考問題，以感知、記憶、聯(lián)想、理解為基礎(chǔ)，尋求多樣性答案的一種展開性思維方式，它在課堂教學(xué)中能培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性思維。賀老師在比較函數(shù)的大小關(guān)系時(shí)，啟發(fā)學(xué)生用代入法、性質(zhì)法、圖像法等不同方式比較大??；接下來的一題多變，層層深入，使得知識(shí)結(jié)構(gòu)化，網(wǎng)絡(luò)化；最后，從不同角度總結(jié)出反比例函數(shù)圖像的對(duì)稱美、曲線美、距離美、簡潔美。

（點(diǎn)評(píng)專家：倪軍，江蘇省特級(jí)教師，南京市鼓樓區(qū)教師發(fā)展中心中學(xué)研訓(xùn)部主任）