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        遇等腰需分類

        2022-05-30 10:48:04劉頓
        關(guān)鍵詞:頂角鈍角三邊

        劉頓

        一、遇到邊,需分類

        例1 (2021·青海)已知a,b是等腰三角形的兩邊長,且a,b滿足[2a-3b+5] + (2a + 3b - 13)2 = 0,則此等腰三角形的周長為( ).

        A. 8 B. 6或8 C. 7 D. 7或8

        解析:∵[2a-3b+5] + (2a ?+ ?3b - 13)2 = 0,∴[2a-3b+5=0,2a+3b-13=0,]解得[a=2,b=3.]

        若以b為底,則三邊長為2,2,3;若以a為底,則三邊長為2,3,3.

        ∵2 + 2 > 3, 2 + 3 > 3, ∴等腰三角形的周長為7或8. 故選D.

        二、遇到角,需分類

        例2 (2021·黑龍江·牡丹江)過等腰三角形頂角的頂點(diǎn)的一條直線,將該等腰三角形分成的兩個(gè)三角形均為等腰三角形,則原等腰三角形的底角為 .

        解析:①如圖1,在△ABC中,AC = BC,AD = CD,CD = BD,

        ∴AD = CD = BD. 設(shè)∠A = x°,易得x = 45,

        則原等腰三角形的底角是45°.

        ②如圖2,在△ABC中,AB = AC,BD = AD,AC = CD,

        ∴∠B = ∠C = ∠BAD,∠CDA = ∠CAD.

        ∵∠CDA = 2∠B,∴∠CAB = 3∠B.

        ∵∠BAC + ∠B + ∠C = 180°,∴5∠B = 180°,∴∠B = 36°,

        ∴原等腰三角形的底角為36°. 故應(yīng)填45°或36°.

        三、遇到高,需分類

        例3 等腰三角形一腰上的高與另一邊的夾角為50°,試求頂角的大小.

        解析:△ABC是等腰三角形,且∠BAC為頂角,CD是腰AB上的高.

        (1)當(dāng)?shù)妊切问卿J角三角形時(shí),如圖3,∠ACD = 50°,則∠BAC ?= 40°.

        (2)當(dāng)?shù)妊切问氢g角三角形時(shí),分兩種情形:

        如圖4,當(dāng)∠BCD = 50°時(shí),∠B = 40°,∴∠BAC = 180° - 2∠B = 100°;

        如圖5,當(dāng)∠ACD = 50°時(shí),∠CAD = 40°,∴∠BAC = 180° - ∠CAD = 140°.

        故這個(gè)等腰三角形頂角的度數(shù)為100°或140°或40°.

        四、遇到中線,需分類

        例4 在△ABC中,AB = AC,AC上的中線BD把三角形的周長分為24 cm和30 cm兩個(gè)部分,求三角形的三邊長.

        解析:設(shè)三角形的腰AB = AC = x,如圖6,

        若AB + AD = 24 cm,則x + [12]x = 24,解得x = 16.

        ∵△ABC的周長為24 + 30 = 54 (cm),

        ∴三邊長分別為16 cm、16 cm、22 cm.

        若AB + AD = 30 cm,則x + [12]x = 30,解得x = 20.

        ∵周長為24 + 30 = 54 (cm),∴三邊長分別為20 cm、20 cm、14 cm.

        ∵16 + 16 > 22,14 + 20 > 20,

        ∴三角形的三邊長分別是16 cm、16 cm、22 cm或20 cm、20 cm、14 cm.

        五、遇到垂直平分線,需分類

        例5 等腰三角形一腰的垂直平分線與另一腰所在直線的夾角為40°,求此等腰三角形的頂角.

        解析:當(dāng)?shù)妊切蔚捻斀菫殇J角時(shí),如圖7,

        ∵EF為AB的垂直平分線,∴∠AEF = 90°.

        ∵∠AFE = 40°,∴∠A = 50°.

        當(dāng)?shù)妊切蔚捻斀菫殁g角時(shí),如圖8,

        ∵EF為AB的垂直平分線,∴∠AEF = 90°.

        ∵∠AFE = 40°,∴∠EAF = 50°,

        ∴∠BAC = 180° - 50° = 130°.

        綜上所述,此等腰三角形的頂角為50°或130°.

        分層作業(yè)

        難度系數(shù):★★★★ 解題時(shí)間:8分鐘

        在△ABC中,∠ACB = n°(0 < n < 180),點(diǎn)D,E在直線AB上,且AD = AC,BE = BC,試用含n的式子表示∠DCE的度數(shù).

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