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        中國古籍中的勾股定理

        2022-05-30 10:48:04潘華偉
        初中生世界·八年級(jí) 2022年11期
        關(guān)鍵詞:繩索秋千勾股定理

        潘華偉

        “折竹抵地”

        《九章算術(shù)》是中國古代的一部數(shù)學(xué)專著,是《算經(jīng)十書》中最重要的一部,成書于公元一世紀(jì)左右。全書總結(jié)了戰(zhàn)國、秦、漢時(shí)期的數(shù)學(xué)成就,是一本綜合性的歷史著作,也是當(dāng)時(shí)世界上最簡練、有效的應(yīng)用數(shù)學(xué)著作。它的出現(xiàn)標(biāo)志著中國古代數(shù)學(xué)形成了完整的體系。

        《九章算術(shù)》中有一道“折竹”問題:“今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺。問:折者高幾何?”題意是:一根竹子原高1丈(1丈=10尺),中部有一處折斷,竹梢觸地面處離竹根3尺。試問折斷處離地面多高(如圖1)?

        我們可以設(shè)竹子折斷處離地面x尺,如圖2,構(gòu)造直角三角形,則斜邊為(10-x)尺,根據(jù)勾股定理,得x2+32=(10-x)2,解得x=[9120]。故折斷處離地面[9120]尺。

        “秋千蕩高”

        《直指算法統(tǒng)宗》也是中國古代數(shù)學(xué)名著。該書共17卷,卷1和卷2介紹數(shù)學(xué)名詞、大數(shù)、小數(shù)和度量衡單位以及珠算盤式圖、珠算各種算法口訣等,并舉例說明具體用法;卷3至卷12按“九章”次序列舉各種應(yīng)用題及解法;卷13到卷16為“難題”解法匯編;卷17是“雜法”。書后附錄《算經(jīng)源流》一篇,著錄了北宋元豐七年(1084年)以來的數(shù)學(xué)書目51種。從中國古代數(shù)學(xué)的整個(gè)發(fā)展過程來看,從流傳的長久、廣泛和深入程度來講,這是任何一部數(shù)學(xué)著作都不能相比的。

        《直指算法統(tǒng)宗》中曾以《西江月》為詞牌,敘述了一道“蕩秋千”的問題:“平地秋千未起,踏板一尺離地。送行二步與人齊,五尺人高曾記。仕女佳人爭蹴,終朝笑語歡嬉。良工高士素好奇,算出索長有幾?”

        譯文:有一架秋千,當(dāng)它靜止時(shí),踏板離地1尺,將它往前推送10尺(水平距離)時(shí),踏板就和人一樣高。這個(gè)人的身高為5尺,秋千的繩索始終拉得很直,試問繩索有多長?

        我們可以將原問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題,得到圖3。其中 AC=1尺,EB=10尺,BD=5尺。我們可以設(shè)OA=OB=x尺,因?yàn)镋C=BD=5尺,AC=1尺,所以EA=4尺,OE=OA-AE=(x-4)尺。在Rt△OEB中,根據(jù)勾股定理,得x2=(x-4)2+102,解得x=14.5。故秋千繩索的長度是14.5尺。

        同學(xué)們,你能用剛才的知識(shí)和方法解答下面這道中考題嗎?

        勘測(cè)隊(duì)按實(shí)際需要構(gòu)建了平面直角坐標(biāo)系,并標(biāo)示了A、B、C三地的坐標(biāo),數(shù)據(jù)如圖4所示(單位:km)。筆直鐵路經(jīng)過A、B兩地。

        (1)A、B間的距離為?km;

        (2)計(jì)劃修建一條從C到鐵路AB的最短公路l,并在l上建一個(gè)維修站D,使D到A、C的距離相等,則C、D間的距離為?km。

        因?yàn)锳、B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同,我們得到AB∥x軸,所以AB=12-(-8)=20,所以A、B間的距離為20km。根據(jù)“兩點(diǎn)之間垂線段最短”,我們可以求出最短公路l,即過C點(diǎn)作l⊥AB于點(diǎn)E。連接AC,作AC的垂直平分線交直線l于點(diǎn)D,則點(diǎn)D是所求的位置(如圖5)。由(1)可知:CE=1-(-17)=18,AE=12,設(shè)CD=x,所以AD=CD=x,由勾股定理得x2=(18-x)2+122,解得x=13,所以CD=13。故C、D間的距離為13km。

        (作者單位:江蘇省南京市鼓樓實(shí)驗(yàn)中學(xué))

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