許紫珩
一、“日歷”問(wèn)題
例1 如圖1,用一個(gè)“T”形框在2022年11月的日歷上可以框出5個(gè)數(shù)。例如,圖中兩個(gè)“T”形框中的5個(gè)數(shù)的和分別是31和92。如果“T”形框在圖1中框出的5個(gè)數(shù)的和是91,那么這5個(gè)數(shù)中最大的數(shù)是___________。
【解析】由圖1可知,“T”形框分兩種情況。設(shè)“T”形框中最小的數(shù)為x,用含x的代數(shù)式分別表示其余的數(shù),根據(jù)圖中框出的5個(gè)數(shù)的和是91,列出方程,求解即可。
【點(diǎn)評(píng)】本題的主要思路是借助整式的加減,探究和表示實(shí)際問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系。在整式的學(xué)習(xí)之后,同學(xué)們對(duì)整式有了基本認(rèn)識(shí),但對(duì)于抽象字母的理解可能還停留在概念和加減運(yùn)算上。希望同學(xué)們?cè)诤罄m(xù)學(xué)習(xí)中注重加強(qiáng)理論與生活的聯(lián)系,借助“月歷求和”等情景以及學(xué)過(guò)的知識(shí),慢慢體會(huì)從特殊到一般的探究過(guò)程。
二、“代數(shù)推理”問(wèn)題
例2 已知:[abc]是一個(gè)三位數(shù),其中a+b+c能夠被9整除,試說(shuō)明,這個(gè)三位數(shù)能夠被9整除。
【解析】此題考查了列代數(shù)式和整式的加減。將“[abc]是一個(gè)三位數(shù)”“a+b+c被9整除”通過(guò)代數(shù)式表示出來(lái)是第一個(gè)難點(diǎn);運(yùn)用整體思想,將代數(shù)式變形成能被9整除的形式,是本題的第二個(gè)難點(diǎn)。
解:由題可知,這個(gè)三位數(shù)可表示為100a+10b+c。
∵a、b、c的和能被9整除,
∴可設(shè)a+b+c=9k,其中k為正整數(shù)。
∴100a+10b+c=99a+9b+(a+b+c)
=99a+9b+9k
=9(11a+b+k)。
∵a、b、k均為正整數(shù),
∴11a+b+k為正整數(shù)。
∴100a+10b+c能被9整除。
∴這個(gè)三位數(shù)能夠被9整除。
【點(diǎn)評(píng)】用字母a表示百位上的數(shù)字,字母b表示十位上的數(shù)字,字母c表示個(gè)位上的數(shù)字,合理運(yùn)用“用字母表示數(shù)”,式子100a+10b+c便具有三位數(shù)的一般特點(diǎn)。將多項(xiàng)式進(jìn)行某種變形,通過(guò)整體變換進(jìn)行求解是該種類(lèi)型常見(jiàn)的解題思路,即從條件出發(fā),整體考慮,逆向思考,將待求解的式子通過(guò)法則湊成已知條件的形式,尋找已知條件和待求解式子之間的關(guān)聯(lián),然后進(jìn)行整體變換。
三、“比大小”問(wèn)題
例3 已知a<b,試比較a與[a+b2]的大小。
【解析】代數(shù)式的大小比較,通常可以用作差法進(jìn)行代數(shù)推理。而本題中,代數(shù)式所表示的數(shù)比較特殊,我們也可以通過(guò)數(shù)形結(jié)合的思想,將其直觀地在數(shù)軸上表示出來(lái),即可解決問(wèn)題。
解法一:[a+b2-]a=[b-a2]。
∵a<b,
∴b-a>0。
∴[b-a2]>0。
∴[a+b2]>a。
解法二:記a、b在數(shù)軸上表示的點(diǎn)分別為A、B。
∵a<b,
∴A、B兩點(diǎn)在數(shù)軸上的表示如圖2所示。
設(shè)點(diǎn)C表示的數(shù)為[a+b2],則點(diǎn)C是線段AB中點(diǎn),在數(shù)軸上的表示如圖3所示。
∴點(diǎn)C在點(diǎn)A右邊,即[a+b2]>a。
【點(diǎn)評(píng)】我們?cè)诶谩白鞑罘ā苯鉀Q這類(lèi)問(wèn)題的時(shí)候,還可以對(duì)代數(shù)式具有的幾何意義進(jìn)行一些思考。雖然我們已經(jīng)能夠初步理解符號(hào)的意義,也能對(duì)周?chē)氖挛镒龀鲆恍┹^為簡(jiǎn)單的概括,但如果我們能夠通過(guò)幾何直觀的方式,將代數(shù)式與數(shù)軸等幾何圖案進(jìn)行結(jié)合,那么我們還可以更為深刻地、直觀地理解一些代數(shù)式相關(guān)的問(wèn)題。
(作者單位:江蘇省南京市旭東中學(xué))