王菊

[摘 ?要] 數(shù)學(xué)探究是提高學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力的必經(jīng)之路. 在日常教學(xué)中，教師應(yīng)為學(xué)生鋪設(shè)一條自主探究之路，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)思考、探究、交流等各種自覺(jué)活動(dòng)揭示問(wèn)題的深層結(jié)構(gòu)，從而讓學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué)探究;理解數(shù)學(xué);應(yīng)用數(shù)學(xué)

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一個(gè)不斷發(fā)現(xiàn)、不斷探索、不斷完善的過(guò)程. 在學(xué)習(xí)過(guò)程中會(huì)遇到許多有價(jià)值的問(wèn)題，若對(duì)這些問(wèn)題進(jìn)行深度探究，往往可以收獲意外的驚喜. 教學(xué)中教師要認(rèn)真研究各種教學(xué)資源，充分挖掘其中蘊(yùn)含的規(guī)律，從而通過(guò)有針對(duì)性的啟發(fā)和引導(dǎo)讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)一些結(jié)論，掌握一些方法，這樣既能激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)積極性，又能提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力，提高教學(xué)有效性. 筆者在教學(xué)中就有這樣的經(jīng)歷，現(xiàn)將其分享給大家，以期拋磚引玉.

[?]在探究中發(fā)現(xiàn)

在高三二輪復(fù)習(xí)課上，教師帶領(lǐng)學(xué)生復(fù)習(xí)了橢圓的相關(guān)知識(shí)后，給出了這樣一個(gè)問(wèn)題：

如圖1所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交橢圓+=1于P，A兩點(diǎn)，其中點(diǎn)P在第一象限，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為C，連接AC并延長(zhǎng)，交橢圓于點(diǎn)B. 求證：PA⊥PB.

題目給出后，教師先讓學(xué)生獨(dú)立思考，然后進(jìn)行小組交流，通過(guò)交流得到了多種證明方法.

師：誰(shuí)來(lái)說(shuō)一說(shuō)，你是如何證明的？（以下簡(jiǎn)單敘述學(xué)生的回答）

生1：設(shè)點(diǎn)P（x，y），則點(diǎn)A（-x，-y），C（x，0），于是可求直線AB的方程. 聯(lián)立直線AB的方程與橢圓的方程，利用韋達(dá)定理求出點(diǎn)B的坐標(biāo)（用x，y表示），可得PB的斜率. 直線PA的斜率為，若求得直線PB的斜率為-，即可證明.

生2：根據(jù)點(diǎn)差法可得（x+x）+2（y+y）k=0. 又點(diǎn)P與點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以（x-x）+2（y-y）k=0，從而證明kk=-. 要證明PA⊥PB，只要證明kk=-1，即證明k=2k即可.

生3：想法同生2，不過(guò)是先發(fā)現(xiàn)k=2k，由此聯(lián)想到要證明kk=-. 而kk=·=·=. 因?yàn)辄c(diǎn)B，P在橢圓上，所以y=2-x，y=2-x，故kk=-.

師：大家思考以上幾種方法，談?wù)勀愕母形?

生4：生1用的是一種常規(guī)的解題方法，思路清晰，易于接受，不過(guò)美中不足的是計(jì)算量較大. 生2和生3的解法獨(dú)特，計(jì)算量較小，但是對(duì)思維能力要求較高，不易想到，可以稱得上巧解.

師：分析得很有道理. 對(duì)于常規(guī)解法相信大家都已經(jīng)了如指掌了，現(xiàn)在我們一起分析一下以上兩種巧解. 回憶一下，在以前學(xué)習(xí)中，我們是否做過(guò)類(lèi)似的題目或見(jiàn)過(guò)類(lèi)似的圖形呢？

生5：我在錯(cuò)題本上看到過(guò)這樣一個(gè)題目. （教師投影展示生5的發(fā)現(xiàn)）

已知點(diǎn)A，B是橢圓C：+y2=1上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓C上異于點(diǎn)A，B的一點(diǎn)，直線PA，PB的傾斜角分別為α，β，則=________.

師：確實(shí)是一個(gè)好問(wèn)題，大家思考一下，對(duì)于這道題該如何求解呢？

生6：===，根據(jù)點(diǎn)差法易得kk=-，所以==3.

生6：我也找到了一個(gè)題目，與剛剛的題目類(lèi)似. （教師投影展示生6的筆記）

橢圓C：+=1的左、右頂點(diǎn)分別為A，A，點(diǎn)P為橢圓上一點(diǎn)且直線PA的斜率的取值范圍是[-2，-1]，則PA的斜率的取值范圍是________.

因課堂時(shí)間有限，教師沒(méi)有讓學(xué)生繼續(xù)探究，而是讓生6直接給出了之前的解題過(guò)程：根據(jù)已知易得kk=-，所以k=-，它隨著k的增大而增大，所以k的取值范圍是

，.

師：分析以上三個(gè)題目，你有什么發(fā)現(xiàn)嗎？

生7：如果A，B是橢圓+=1（a>b>0）上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓上一點(diǎn)（異于點(diǎn)A，B），則kk=-.

師：總結(jié)得非常好，那么這個(gè)結(jié)論是否可以直接應(yīng)用呢？

生齊聲答：不能，需要驗(yàn)證.

接下來(lái)，師生通過(guò)共同探究證明了結(jié)論（證明過(guò)程略）.

設(shè)計(jì)意圖：教學(xué)中教師精心設(shè)計(jì)了一個(gè)問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生挖掘題目背后的價(jià)值. 在具體實(shí)例的探究中，先讓學(xué)生進(jìn)行對(duì)比分析，由此得到一般猜想，然后通過(guò)對(duì)猜想的驗(yàn)證得到了橢圓中的一個(gè)重要結(jié)論. 在以上教學(xué)過(guò)程中，教師以生為主，鼓勵(lì)學(xué)生尋找相似題目，并結(jié)合證明過(guò)程進(jìn)行總結(jié)歸納，有效激發(fā)學(xué)生的研究興趣，培養(yǎng)學(xué)生抽象概括的能力，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

[?]在應(yīng)用中提升

師：現(xiàn)在我們一起來(lái)看看這道題. （教師用PPT給出題1）

題1 已知橢圓E：+y2=1的上、下頂點(diǎn)分別為A，A，點(diǎn)P是橢圓上一點(diǎn)（異于A，A），直線PA，PA分別交x軸于點(diǎn)M，N，若直線OT與過(guò)M，N的圓G相切，切點(diǎn)為T(mén). 求證線段OT的長(zhǎng)為定值，并求定值.

題目給出后，學(xué)生積極思考，結(jié)合上面的結(jié)論很快得到了答案.

生8：如圖2所示，點(diǎn)P與橢圓E的上、下頂點(diǎn)相連，得kk=-=-，而k= -，k=，故xMxN=4，即OM·ON=4. 根據(jù)切割線定理得OT2=OM·ON，所以O(shè)T=2.

學(xué)生順利解決題1后，探究的積極性高漲，迫不及待地想解決更多的問(wèn)題. 基于此，教師給出了題2，打算借助練習(xí)提高學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí).

題2 如圖3所示，已知點(diǎn)B是橢圓E∶+=1的下頂點(diǎn)，點(diǎn)M為橢圓E上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N是圓C：x2+y2=2上一點(diǎn)，且直線BN的斜率是直線BM斜率的2倍. 求證：直線MN恒過(guò)一定點(diǎn).

題2與前面的題目相比，難度略有提升，教師鼓勵(lì)學(xué)生合作交流，從而通過(guò)不同思維的碰撞，發(fā)現(xiàn)解決問(wèn)題的突破口.

生9：令橢圓E的上頂點(diǎn)為A，連接MA，NA，則有kk=-. 又AB為圓C的直徑，故kk=-1. 又k=2k，所以k=k，可知M，N，A三點(diǎn)共線，即直線MN恒過(guò)點(diǎn)A（0，）.

設(shè)計(jì)意圖：為了讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)在學(xué)習(xí)中的價(jià)值，教師精心設(shè)計(jì)練習(xí)，繼而通過(guò)“用”，促進(jìn)知識(shí)的深化，提高學(xué)生解決問(wèn)題的能力.

[?]再認(rèn)識(shí)、再應(yīng)用中升華

師：課后大家可以再探究一下這個(gè)結(jié)論的應(yīng)用，看看它是不是能解決更多的問(wèn)題. 課前我也做過(guò)類(lèi)似的研究，有一個(gè)問(wèn)題需要大家?guī)兔鉀Q.

已知橢圓C：+=1（a>b>0）的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，點(diǎn)M，N是橢圓C上不同于A，B的兩個(gè)不同動(dòng)點(diǎn). 連接MA，MB，NA，NB，這四條直線的斜率存在怎樣的等量關(guān)系？

生10：kk=kk=-.

師：很好，如果變形這一結(jié)論，你會(huì)得到什么呢？

生11：=.

師：很好！現(xiàn)在我們借助具體練習(xí)看一看，通過(guò)簡(jiǎn)單的變形，它會(huì)給我們解題帶來(lái)哪些便利. （教師給出題3）

題3 如圖4所示，已知橢圓C：+=1（a>b>0）的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，點(diǎn)M，N是橢圓C上不同于A，B的兩個(gè)不同動(dòng)點(diǎn)，且直線AM與NB相交于點(diǎn)T，直線AN與MB相交于點(diǎn)R，求證：TR⊥x軸.

教師讓學(xué)生獨(dú)立完成證明，教師巡視，然后點(diǎn)名讓學(xué)生給出證明過(guò)程.

生12：因?yàn)橹本€MA：y=k（x+a），NB：y=k（x-a），兩式聯(lián)立解得x=a;同理，聯(lián)立直線NA，MB的方程，解得x=a. 令==t，則有k=tk，k=tk，故x=a，x=a，即x=x，故TR⊥x軸.

師：多么精彩的推理啊！運(yùn)用變形得到的結(jié)論直接解決了問(wèn)題，有效地避免了復(fù)雜的運(yùn)算，大大地提升了解題效率. 其實(shí)，這一結(jié)論也是高考的一個(gè)重要考點(diǎn)，若解題時(shí)能夠合理應(yīng)用，往往可以優(yōu)化解題過(guò)程，提高解題效率. 現(xiàn)在我們繼續(xù)研究下一個(gè)問(wèn)題.

題4 如圖5所示，已知橢圓+=1的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，右焦點(diǎn)為F，設(shè)過(guò)點(diǎn)T（9，m）的直線TA，TB與橢圓分別相交于點(diǎn)M（x，y），N（x，y），其中m>0，y>0，y<0. 求證：直線MN必過(guò)x軸上的一個(gè)定點(diǎn).

師：題4是2010年高考江蘇卷中的一道題，這個(gè)題目在前面講解過(guò)，但是當(dāng)時(shí)我們經(jīng)歷了復(fù)雜運(yùn)算，現(xiàn)在大家一起思考，看看通過(guò)今天的學(xué)習(xí)，你是否能夠得到一個(gè)簡(jiǎn)單的證明. （學(xué)生積極思考）

生13：設(shè)直線MN與x軸相交于點(diǎn)E（m，0），則∥，所以（x-m）y-（x-m）y=0. 故m=. k=k=，k=k=，所以k=2k，即=2·，故xy+3y=2xy-6y①. 又==，所以k=2k，即=2·，故xy+3y=2xy-6y ②. 由①-②并整理得xy-xy=y-y，故m=1，所以直線MN必過(guò)x軸上的一個(gè)定點(diǎn)（1，0）.

設(shè)計(jì)意圖：在原有基礎(chǔ)上對(duì)結(jié)論進(jìn)行變形，繼續(xù)挖掘巧解的本質(zhì)，從而又得到了一結(jié)論. 另外，通過(guò)再認(rèn)識(shí)、再應(yīng)用讓學(xué)生體驗(yàn)探究在解題教學(xué)中的價(jià)值，有效激發(fā)學(xué)生的探究欲，培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性和變通性.

其實(shí)，在解題教學(xué)中經(jīng)常會(huì)遇到一些巧妙的解法，而這些巧解的給出并不是偶然的，若解題時(shí)能夠充分挖掘巧解背后的價(jià)值，往往可以將巧解轉(zhuǎn)化為通解，這樣不僅有利于提高學(xué)生的解題效率，而且有利于發(fā)散學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，培養(yǎng)學(xué)生探究發(fā)現(xiàn)的能力，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).