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        一種在LUC基礎(chǔ)上改進(jìn)的密碼體制及其安全性分析

        2022-05-30 00:21:04杜珍珍陸正福
        實(shí)事求是 2022年2期
        關(guān)鍵詞:安全性

        杜珍珍,周 同,陸正福

        (1.銅陵職業(yè)技術(shù)學(xué)院,安徽 銅陵 244000;2.云南大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,云南 昆明 650091)

        引言

        LUC密碼體制[1]是一種可以替代RSA的公鑰密碼體制,特別是其不存在乘法的封閉性,在用于身份驗(yàn)證時(shí)可以抵抗適應(yīng)性攻擊,所以此時(shí)它的安全性高于RSA。為了能使LUC 密碼體制在實(shí)際中有很好的應(yīng)用,許多學(xué)者對(duì)LUC密碼體制進(jìn)行研究[2],設(shè)計(jì)快速算法,并利用其設(shè)計(jì)秘密共享方案及數(shù)字簽名方案[3,4,5]。

        本文通過(guò)引入盲因子,結(jié)合LUC與RSA密碼體制,構(gòu)造新的密碼體制,使其計(jì)算量低于LUC 密碼體制,接近于RSA 密碼體制,又擁有LUC 密碼體制可以抵御乘法攻擊的特性。

        一、預(yù)備知識(shí)

        (一)Lucas序列及LUC密碼體制[1,2]

        Lucas 序列可定義為:選兩個(gè)非負(fù)整數(shù)P和Q,構(gòu)成二次式x2-Px+Q=0,其根為,其中D是方程的判別式,即D=P2-4Q,如果選P和Q,使,則Lucas序列可定義為:

        對(duì)于Lucas 序列,公鑰密碼體制主要研究Vn(P,Q),在此只研究Vn(P,1)

        它有下面的兩個(gè)重要性質(zhì):

        性質(zhì)1 設(shè)a,b為任意正整數(shù),則有Va b(P,1)=Va(Vb(P,1) ,1)

        性質(zhì)2 設(shè)a,b為任意正整數(shù),則有Vb(V a(P,1) ,1)=V a(Vb(P,1) ,1)

        LUC密碼體制的基本思想:

        ①取兩個(gè)不同的大素?cái)?shù)f,w(保密)

        ③隨機(jī)選取整數(shù)e,滿足

        ④計(jì)算d,滿足,同時(shí)刪除f和w(其中N,e為公鑰,d為私鑰)。

        加密算法:C=Ve(P,1) modN

        解密算法:P=Vd(C,1) modN

        LUC密碼體制的證明:

        加密:由二次式x2-Px+ 1=0,設(shè)其特征方程的根為則有Lucas 序列性質(zhì)得

        解密:由二次式x2-Ve(P,1)x+1=0,設(shè)其特征方程的根為,則有方程根與系數(shù)的關(guān)系

        (二)H-LUC密碼體制的相關(guān)知識(shí)

        1.H-LUC序列簡(jiǎn)介

        定義 設(shè)P,k為正整數(shù)(P>k),構(gòu)造序列

        則有

        性質(zhì)3 設(shè)a,b為任意正整數(shù),則有

        性質(zhì)4 設(shè)a,b為任意正整數(shù),則有

        證明性質(zhì)3左邊=(P-k)ab+k,右邊=((P-k)b+k-k)a+k=(P-k)ba+k=(P-k)ab+k,即證等式成立.證明性質(zhì)4由性質(zhì)3得

        2.H-LUC密碼體制

        取兩個(gè)奇素?cái)?shù)f和w(保密)。計(jì)算N=fw(公開(kāi)),(保密)。隨機(jī)選取e(公開(kāi)),滿足計(jì)算d,滿足 (保密)。

        構(gòu)造LUC公鑰體制表示如下:

        公鑰:N,e;私鑰:d(陷門信息f,w);P為小于N的一個(gè)正整數(shù);

        加密算法:C=M e(P,k)modN

        解密算法:P=M d(C,k)modN

        二、安全性分析

        關(guān)于H-LUC密碼體制的安全性分析:

        (一)H-LUC序列和離散對(duì)數(shù)問(wèn)題的計(jì)算關(guān)系

        定理1 對(duì)于任意的(x為整數(shù)),可以找到一個(gè)正整數(shù)來(lái)構(gòu)造H- LUC 序列,在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi),有

        證明:因?yàn)椋顁-k=g,設(shè)是由r,k產(chǎn)生的序列,則

        定理2 對(duì)于任意的和由r,k產(chǎn)生的序列,對(duì)于正整數(shù)x,有在域GF(p)或GF(p2)中可以找到兩個(gè)元素g和y,使在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi),z=Mx(r,k)=y+k和y=gx成立.

        證明:設(shè)Mt(r,k)是由r,k產(chǎn)生的序列,

        則z-k=(r-k)x,由,令r-k=g,則由定 理1,y=gx. 因此,對(duì)于任意給定的,在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi),我們?cè)谟騁F(p)或GF(p2)中能找到依賴于r和k的兩個(gè)元素g和y,使得y=gx。

        定理3 如果一個(gè)算法AL在GF(p)上能夠用來(lái)解決H-LUC 問(wèn)題,那么在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi),算法AL在域GF(p)或GF(p2)上也能用來(lái)解決離散對(duì)數(shù)問(wèn)題。

        證明:對(duì)于任意給定的且對(duì)某些未知的正整數(shù)x,有y=gx,我們想在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)通過(guò)算法AL計(jì)算出x。對(duì)任意給定的g和y,通過(guò)定理1,在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi),可以找到兩個(gè)正整數(shù),構(gòu)造序列Mt(r,k),使得成立.由于AL 能用來(lái)解決H-LUC 問(wèn)題,則可以用算法AL 去計(jì)算x,使Mx(r,k)=y+k=gx+k成立,因而滿足y=gx。

        定理4 如果算法AL′在域GF(p)或GF(p2)中能用來(lái)解決離散對(duì)數(shù)問(wèn)題,則對(duì)于任意給定的,AL′能用來(lái)計(jì)算正整數(shù)x,使得在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi),成立。

        從定理3 和定理4 可知,如果算法AL能解決GF(p)上的H-LUC 問(wèn)題,則在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)算法AL也能解決GF(p)上的離散對(duì)數(shù)問(wèn)題;另一方面,如果算法AL′能解決GF(p)或GF(p2)上的離散對(duì)數(shù)問(wèn)題,則在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi),算法AL′也能解決H-LUC 問(wèn)題。因此,我們得到的結(jié)論是,H-LUC 函數(shù)的計(jì)算安全問(wèn)題在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)等價(jià)于一般的離散對(duì)數(shù)問(wèn)題。

        (二)若N=fw被因子分解,則H-LUC 并沒(méi)有被攻破。

        因?yàn)槿鬴,w已知,則便可算出.

        解密密鑰d關(guān)于e滿足:

        故d也不難求得,但由于在設(shè)計(jì)密碼體制時(shí),P是公開(kāi)的,k是保密的,所以此時(shí)明文并不能被恢復(fù)。因此H-LUC 的安全性不僅依賴于因子分解的困難性,還依賴于盲因子k。

        (三)LUC 公鑰體制的抗攻擊性高于RSA,是因?yàn)椴捎肔ucas 數(shù)列來(lái)取代RSA 中冪的產(chǎn)生,不存在乘法的封閉性,即對(duì)于MdLd=(ML)d,如果知道M、M dmodN、L和LdmodN,則在不知道d的情況下,ML和(ML)dmodN也能被計(jì)算出來(lái).而LUC 不具有乘法的封閉性,故在用于身份驗(yàn)證時(shí)可以抵抗此種攻擊.該方案中所使用的H-LUC 數(shù)列,也不存在乘法的封閉性,所以其在用于身份驗(yàn)證時(shí)安全性也高于RSA,且計(jì)算量低于LUC。

        三、實(shí)驗(yàn)分析

        (一)文章在Java 平臺(tái)上,取隨機(jī)數(shù)r的長(zhǎng)度為2000 比特位,隨機(jī)素?cái)?shù)f,w都為1500 比特位,密鑰k為3000比特位,分別測(cè)試LUC算法、H-LUC算法(Java庫(kù)里的求模冪算法)、RSA算法(Java庫(kù)里的求模冪算法)的運(yùn)行時(shí)間.在此,文章通過(guò)實(shí)驗(yàn)來(lái)演示LUC密碼算法與H-LUC密碼算法和RSA密碼算法的實(shí)現(xiàn)時(shí)間(見(jiàn)圖1)。

        測(cè)試平臺(tái):CPU Intel—T6600(主頻2.2GHZ,雙核),內(nèi)存2G,操作系統(tǒng)Windows-XP。

        圖1:算法運(yùn)行時(shí)間比較

        結(jié)束語(yǔ)

        密鑰管理是計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)中研究的一個(gè)熱點(diǎn)問(wèn)題,許多學(xué)者對(duì)其進(jìn)行研究,主要從兩個(gè)方面入手,一是減小計(jì)算量,二是增加安全性。LUC是一種可以替代RSA的密碼體制,相比RSA公鑰密碼體制,具有能夠抵抗共模攻擊的優(yōu)點(diǎn),但其實(shí)現(xiàn)效率相對(duì)較低,文章結(jié)合RSA 與LUC 密碼體制的特點(diǎn)構(gòu)造HLUC序列,并給出其安全性證明。通過(guò)理論分析與實(shí)驗(yàn)表明,文章由H-LUC序列構(gòu)造的密碼算法運(yùn)算效率高于LUC密碼算法,略微低于RSA算法。

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