廖 書, 方章英, 楊煒明

(重慶工商大學數(shù)學與統(tǒng)計學院，重慶 400067)

0 引言

眾所周知，各類型傳染病的傳播對象、傳播途徑和傳播規(guī)律是關(guān)系到人類生活和國計民生的重大問題，長久以來一直是研究者致力探索的重要內(nèi)容。近年來隨著社會的不斷進步，科學技術(shù)的不斷發(fā)展，研究者逐漸尋找到傳染病更多的預防策略和有用的政策法規(guī)，媒體效應作為一種重要防控手段吸引了研究者的注意。媒體效應指采用圖像、聲音、語言文本、網(wǎng)絡等多種媒體傳播形式的宣傳，使傳播效應立體化、持續(xù)化，能獲得世界每一個角落人們的關(guān)注和幫助，讓點狀效應持續(xù)發(fā)酵，以期達到項目或者事件的最大成果和效益。在傳染病研究中引入媒體效應這一有力因素，可以使各個國家各個階層的人們迅速通過媒體途徑了解傳染病的相關(guān)信息，既不會對傳染病一無所知，毫無察覺，也不會有談病色變的恐懼心理，正確認識各類疾病的感染原因、傳播方式、預防方法等，從而積極預防、規(guī)避風險、穩(wěn)定情緒，最大限度控制傳染病的流行。

Liu 等人[1]首次建立一個含媒體影響因子函數(shù)為f(E,I,H)=e?a1E?a2I?a3H的EIH模型。Kaymakamzade 等人[2]建立并分析兩個分別用來控制HIV 和AIDS 傳染病模型，他們的研究表明媒體效應在這兩種疾病的防控中起到了顯著的作用，并且還討論了模型中最敏感和最有效的參數(shù)。Xiao 和Zhao[3]在經(jīng)典媒體模型的基礎上，改進生成一個分段平滑發(fā)生率，以此更好地反應媒體效應的作用。其結(jié)果驗證了盡管增強媒體效應作為防控傳染病的手段不會徹底消除該流行病，但會極大的降低感染者的人數(shù)以及延緩傳染病爆發(fā)的時間。Khan 等[4]研究帶媒體效應的乙肝模型，在該文章中不僅分別證明了當R0<1 和R0>1 時平衡點的穩(wěn)定性，還運用最優(yōu)控制理論尋求最優(yōu)解。更多可參考文獻[5–9]。

注意到在部分涉及到媒體效應的傳染病研究中，研究者往往采用時間連續(xù)模型，但是傳染病的統(tǒng)計數(shù)據(jù)往往不是連續(xù)的，而是在一定的時間間隔下搜集得到的離散數(shù)據(jù)。所以若能在保持連續(xù)模型的性質(zhì)的基礎上有效離散出相應的離散傳染病模型可以更好的利用統(tǒng)計的數(shù)據(jù)來進行數(shù)值模擬，還可以在收集數(shù)據(jù)時更加有效、便捷，所以對于離散模型的研究更具有現(xiàn)實意義。目前最為廣泛使用的離散方法是1994 年由Mickens 提出的有限差分方法[10–12]，通過該方離散化后的模型能夠保持包括解的正性、單調(diào)性、周期解的存在性、分支行為、平衡點的穩(wěn)定性等的微分方程解的動力學性質(zhì)。相關(guān)文獻還可以參見[13–18]。

不得不注意到，在現(xiàn)實的傳染病系統(tǒng)中，時滯效應和擴散現(xiàn)象更是不可忽略的因素，這二者會共同影響傳染病模型的精確度和真實性。而同時考慮時滯和空間擴散的偏微分系統(tǒng)比較困難，研究的起步較晚，現(xiàn)有的文獻也不多，可參見文獻[19–22]。Mahaffy 和Pao[23]率先在1984 年提出一個具有空間效應的時滯微分方程的基因控制模型。Wang 等[24]建立了具有時滯和雙線性感染率的偏微分方程模型，并證明空間是齊次時平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性分析。Hattf 和Yousfi[25]建立了一個帶時滯和空間擴散的肝炎HBV 模型，滿足Neumann 邊值條件和非線性感染率，并建立李雅普諾夫函數(shù)證明無病平衡點和地方病平衡點的穩(wěn)定性。Xu 和Ma[26]也同樣建立一個帶時滯和空間擴散的肝炎HBV 模型，通過對特征根的分析討論平衡點的穩(wěn)定性，再通過比較準則，證明平衡點的全局穩(wěn)定性。Geng 等[27]建立一個帶時滯和空間擴散的病毒感染模型，用NSFD 方法離散原連續(xù)模型，該文章的結(jié)果證明離散后的模型與原連續(xù)模型保持相同的動力學性質(zhì)。

為了更好的制定傳染病控制策略，本文首先建立含有媒體效應的模型。其次，必須考慮到時滯對模型造成的影響：不但媒體在信息收集上產(chǎn)生一定的滯后性，通常人們在接受到相關(guān)的媒體信息后，一般很難馬上作出反應，才是再次產(chǎn)生時滯。最后，由于傳染病除了在時間上的演化發(fā)展，大多還存在空間上的擴散現(xiàn)象，進而最終建立起帶擴散項的時滯微分模型。進一步，利用非標準有限差分方法建立相應的離散模型，證明平衡點的全局穩(wěn)定性。最后，數(shù)值模擬可以驗證理論結(jié)果。

1 PDE 模型及基本性質(zhì)

我們將易感者分為無意識的易感者S(x,t)，和有意識的易感者A(x,t)兩類，且暫時只考慮個體與個體之間直接傳播的傳染方式。在傳染病剛開始爆發(fā)時，部分原本沒有警惕的易感者，在不同時間和不同地點，逐漸接受到媒體報道的有關(guān)疾病信息之后，慢慢轉(zhuǎn)變成有意識的易感者；但隨著傳播高峰過去之后，部分有意識者在信息耗散之后又轉(zhuǎn)回成無意識者，具體模型為

其中I(x,t)代表感染者在t時刻x處的密度，M(x,t)表示在t時刻x處該地區(qū)由媒體引發(fā)的意識程序的累積密度?？?cè)丝贜(x,t) =S(x,t)+I(x,t)+A(x,t)。Λ 表示易感者的輸入率，β為病菌傳播率，μ為自然死亡率，u1為因病死亡率，γ為復原率，α為有意識個體到無意識個體的轉(zhuǎn)移率，η為意識的傳播率，ξ為媒體項目的貫徹率，?為媒體由于無效的耗散率。所有的參數(shù)均為正數(shù)。? ∈RN為有界區(qū)域，??是光滑的。進一步，Di是空間擴散系數(shù)，空間擴散可以認為是隨機的布朗運動。

定義Banach 空間中的連續(xù)函數(shù)ω:[?τ,0]→R4+，且模為

2 全局穩(wěn)定性

3 NSFD 離散模型

4 數(shù)值模擬

在此進行數(shù)值模擬以驗證前三章的理論結(jié)果。首先選取下面的參數(shù)值：Λ = 5, ?=0.01, η= 0.000 1, u1= 0.005, μ= 0.000 5, γ= 0.003, ξ= 70, α= 1.4, β=0.000 008, γ= 0.003。初始條件設為I(x,0) = 10× exp(?x), S(x,0) = 9 000×exp(?x), A(x,0) = 2 000×exp(?x), M(x,0) = 1 000×exp(?x)，其中x ∈[0,50]，取Di=0.01。此刻R0=4.0>1，模型有一個地方病平衡點E?=(1 062.5,16.488,8 756.1,115 420)。圖1 為取τ2= 0, τ1= 10 時的數(shù)值模擬結(jié)果，在圖1(b)中可看出染病者在初期就有一次劇烈的爆發(fā)，感染者人數(shù)快速增加到48 人左右，但隨著控制措施的逐漸實施，疫情慢慢得到有效控制，感染者人數(shù)開始降低，經(jīng)過一個較長的時間(約為600 天以后)，I趨于其平衡點約為16.488。圖1 的(a)、(c)和(d)也可以看出系統(tǒng)的解S、A和M最終均收斂于地方病平衡點。圖2 展示取不同τ1的值15 和18 時，I隨時間變化的趨勢，與圖1(b)比較可看出隨時滯的增加，感染者人數(shù)也大幅增加，且延遲了I達到最終平衡點的時間。

圖1 當R0 >1, τ2 =0, τ1 =10 時，曲線代表隨著時間的變化

圖2 當R0 >1, τ2 =0, τ1 取不同值時，曲線代表I 隨著時間的變化

再令τ1= 0, τ2= 10，如圖3(b)所示，此時染病者人數(shù)在傳染病爆發(fā)初期達到38 左右的峰值，再慢慢回落最終趨于其穩(wěn)定值。圖3 的(a)、(c)和(d)也可看出系統(tǒng)的解S、A和M最終均收斂于各自的地方病平衡點。

圖3 當R0 >1, τ1 =0, τ2 =10 時，曲線代表隨著時間的變化

再同樣改變τ2的值到15 和18 如圖4 所示并與圖3(b)比較，得到類似的結(jié)論，時滯的增加會帶來感染者人數(shù)的增加以及推遲達到解的平衡點的時間。

圖4 當R0 >1, τ1 =0, τ2 取不同值時，曲線代表隨著時間的變化

5 結(jié)論

本文學習一類具有空間擴散和多時滯的傳染病模型，并以媒體效應為主要預防手段。隨后再采用非標準有限差分方法離散該連續(xù)模型，其保持和原連續(xù)模型一樣的動力學性質(zhì)。在數(shù)值模擬部分，可看出時滯對傳染病的影響，當時滯變大時，不但會增加感染者人數(shù)還會延遲系統(tǒng)解達到平衡點的時間。因此，為了控制傳染病的傳播，應該盡可能的采用媒體效應這一手段，媒體在每一次傳染病爆發(fā)時就迅速收集有用信息再快速傳播出去，相關(guān)政策部門也要大力加強各種宣傳工作，使接收到訊息的人越來越多，從而最終控制好傳染病的流行。