李 鈺 李 晨? 王常龍 梅占東 張世一

(1. 上海衛(wèi)星裝備研究所，上海 200240; 2. 上?？臻g環(huán)境模擬與驗(yàn)證工程技術(shù)研究中心，上海 200240;3. 西安電子科技大學(xué)電子信息攻防對(duì)抗與仿真技術(shù)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，西安 710071;4. 西安交通大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，西安 710049)

0 引言

航天器產(chǎn)品具有小子樣、長壽命、高可靠性和基本不可維修等特點(diǎn)，并且在發(fā)射、在軌、運(yùn)行過程中需要經(jīng)歷復(fù)雜的環(huán)境剖面。隨著智能化結(jié)構(gòu)技術(shù)的不斷發(fā)展，在航天器產(chǎn)品發(fā)射、在軌運(yùn)行過程中對(duì)溫度、加速度、應(yīng)變、形變等參數(shù)進(jìn)行實(shí)時(shí)監(jiān)測(cè)需求逐漸增多，航天器產(chǎn)品結(jié)構(gòu)健康狀態(tài)監(jiān)測(cè)逐漸成為研究熱點(diǎn)。一方面通過光纖傳感技術(shù)和無線傳感網(wǎng)絡(luò)技術(shù)實(shí)現(xiàn)對(duì)結(jié)構(gòu)健康狀態(tài)監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)的實(shí)時(shí)采集獲取，目前國內(nèi)外已在多個(gè)航天器上取得了技術(shù)應(yīng)用，而另一方面如何實(shí)現(xiàn)對(duì)長時(shí)間和多個(gè)傳感器監(jiān)測(cè)到的大量數(shù)據(jù)高效傳輸和存儲(chǔ)也是亟需關(guān)注的方向。通過采用數(shù)據(jù)壓縮算法可在保證壓縮精度的情況下獲得較高的壓縮比，減少數(shù)據(jù)的儲(chǔ)存和傳輸量，并且縮短數(shù)據(jù)處理時(shí)間，最終在較小失真的情況下使用很少的監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)描述航天器產(chǎn)品結(jié)構(gòu)運(yùn)行狀態(tài)。Ganesan 等人[1]在基于振動(dòng)的結(jié)構(gòu)故障診斷中應(yīng)用壓縮感知技術(shù)對(duì)振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行監(jiān)測(cè)與診斷，以減小數(shù)據(jù)的存儲(chǔ)量；北京衛(wèi)星環(huán)境工程研究所田引黎等人[2]提出了基于半張量積壓縮感知的形變數(shù)據(jù)重構(gòu)方法，采用該方法對(duì)形變信號(hào)進(jìn)行隨機(jī)采樣，實(shí)現(xiàn)較高精度的重構(gòu)；南京郵電大學(xué)宋春曉[3]利用壓縮感知在Lamb 波結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測(cè)中的開展了應(yīng)用研究。本文將稀疏恢復(fù)技術(shù)應(yīng)用于航天器結(jié)構(gòu)健康狀態(tài)監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)傳輸問題中，對(duì)于大量監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)將其分段處理，每一段分別通過壓縮測(cè)量，在數(shù)據(jù)接受端通過稀疏恢復(fù)算法進(jìn)行恢復(fù)，最后通過衛(wèi)星振動(dòng)試驗(yàn)數(shù)據(jù)驗(yàn)證該方法的有效性。該方案實(shí)現(xiàn)了利用低維數(shù)據(jù)傳輸高維數(shù)據(jù)的效果，為解決航天器結(jié)構(gòu)健康狀態(tài)監(jiān)測(cè)過程中數(shù)據(jù)高效傳輸提供理論支持。

1 壓縮感知原理與建模

在實(shí)際應(yīng)用中，我們需要處理和監(jiān)測(cè)的數(shù)據(jù)信號(hào)普遍是高維度或高頻率的，而采集這些大量的數(shù)據(jù)對(duì)于整個(gè)系統(tǒng)的信息存儲(chǔ)、傳輸、編譯等環(huán)節(jié)都提出了極高的要求。為了克服這一困難，由Donoho 等人[4–7]建立了壓縮感知理論體系，實(shí)現(xiàn)了用較低采樣頻率的方式恢復(fù)高維信號(hào)的技術(shù)突破，而這些工作也為稀疏信息恢復(fù)的理論[8]工作奠定了重要的基礎(chǔ)支撐。

稀疏表示、測(cè)量矩陣和重構(gòu)算法是壓縮感知基本模型的三要素，稀疏表示是壓縮感知理論的重要前提，在實(shí)際應(yīng)用中，大部分信號(hào)在小波基上展開后，其小波系數(shù)向量的稀疏性表現(xiàn)為大部分元素為0 或是較小的值，只在部分位置上有著較大的數(shù)值。從數(shù)學(xué)角度講，當(dāng)一個(gè)向量中的大部分位置的元素為零或是較小值時(shí)，我們稱該向量是稀疏的[4]。特別地，若//x//0≤k，我們也稱向量x是k稀疏的，其中

測(cè)量矩陣的設(shè)計(jì)也是壓縮感知應(yīng)用的重要條件，其對(duì)于信號(hào)重構(gòu)具有重要意義，RIP 條件[4]已被證明是測(cè)量矩陣所要滿足的充分條件，Donoho 給出了滿足此條件的測(cè)量矩陣的三個(gè)特征：

1) 列向量滿足一定的線性獨(dú)立性；

2) 測(cè)量矩陣的列向量具有某種類似噪聲的獨(dú)立隨機(jī)性；

3) 滿足稀疏度的解是滿足1 范數(shù)最小的向量。

重構(gòu)算法是完成從觀測(cè)信號(hào)到目標(biāo)信號(hào)的恢復(fù)過程，是壓縮感知的關(guān)鍵內(nèi)容，同時(shí)也是研究中的重點(diǎn)和難點(diǎn)，對(duì)于稀疏向量的恢復(fù)，可以建模為以下l0最小化[9–10]問題，而該模型就是稀疏信息恢復(fù)理論中的本源優(yōu)化問題

根據(jù)經(jīng)典線性代數(shù)理論，欠定方程組Ax=b一般有無窮多個(gè)解，但是基于解的稀疏性假設(shè)前提，l0最小化問題尋求的是這些解中最稀疏的解。因此，稀疏的先驗(yàn)假設(shè)[11–12]是極為重要的。如果航天器結(jié)構(gòu)健康狀態(tài)監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)在時(shí)域上不具備稀疏特性，可以通過變換域?qū)⑵滢D(zhuǎn)換成稀疏信號(hào)，本文將稀疏恢復(fù)技術(shù)應(yīng)用于航天器結(jié)構(gòu)健康狀態(tài)監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)傳輸問題中，對(duì)于大量監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)將其分段處理，每一段都通過壓縮測(cè)量，在數(shù)據(jù)接收端通過本文設(shè)計(jì)的稀疏恢復(fù)算法進(jìn)行恢復(fù)，從而達(dá)到利用低維數(shù)據(jù)傳輸高維數(shù)據(jù)的效果。

2 分式替代模型與算法理論分析

作為稀疏恢復(fù)中的本源模型，l0最小化模型已經(jīng)被證明為一個(gè)NP-HARD 問題，因此直接求解該問題是很困難的。尋求直接求解該模型的研究工作方向之一是啟發(fā)式算法設(shè)計(jì)，其中的代表是正交匹配追蹤算法[5](OMP)以及基于其的改進(jìn)算法。對(duì)于OMP 類型的貪婪算法[6]，其優(yōu)點(diǎn)在于它是直接被設(shè)計(jì)用來求解l0最小化模型，而且算法復(fù)雜度低。但是這類方法缺點(diǎn)主要有以下幾點(diǎn)。第一，此類算法受噪聲影響水平較大。這是因?yàn)閷?shí)際問題中的稀疏信號(hào)存在有一些較小值的分量，同時(shí)受到測(cè)量誤差的影響，容易在支撐基更新的步驟出現(xiàn)誤選，而對(duì)于OMP 算法，只要在迭代中支撐基更新出錯(cuò)，就會(huì)直接導(dǎo)致整個(gè)算法恢復(fù)失敗。第二，成功恢復(fù)的條件較為苛刻。對(duì)比于其他算法，如OMP 以及其改進(jìn)算法[13–14]，幾乎都需要對(duì)真實(shí)解的稀疏度預(yù)估。并且該預(yù)估值還需要比較接近真實(shí)解。可是在許多實(shí)際問題中，真實(shí)解的稀疏度是難以判斷的[15–16]。因此，本章將會(huì)給出一種新的替代函數(shù)與其對(duì)應(yīng)的算法，通過對(duì)其局部最優(yōu)解性質(zhì)的討論給出其收斂性證明。在本章及后面的篇幅中，我們定義函數(shù)

根據(jù)定義可以發(fā)現(xiàn)，隨著參數(shù)o趨向于0，函數(shù)的性質(zhì)與0 范數(shù)越來越接近。例如，在圖1 中所示的二維情況，當(dāng)p的取值趨向于0 時(shí)，函數(shù)的圖像與0 范數(shù)圖像越來越近。

圖1 分式函數(shù)圖像

因此，當(dāng)參數(shù)p的取值足夠小時(shí)，我們可以通過求解如下lfp模型用來恢復(fù)原問題中的稀疏向量隨后給出這個(gè)模型的局部解性質(zhì)以及根據(jù)這個(gè)性質(zhì)所衍生出的不動(dòng)點(diǎn)迭代算法。對(duì)于給定的n維向量x，定義n維對(duì)角矩陣

接下來，我們將通過以下定理展示lfp最小化模型的一個(gè)重要性質(zhì)，根據(jù)這個(gè)性質(zhì)我們可以得到一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)迭代算法。

定理1 如果x?是lfp最小化模型(5)的解且每一個(gè)分量均不為0，測(cè)量矩陣是一個(gè)滿秩矩陣，則有

證明 根據(jù)假設(shè)，因?yàn)閤?的每一分量不為0，因此在該點(diǎn)處足夠小的領(lǐng)域內(nèi)，優(yōu)化函數(shù)可以視為一個(gè)可微函數(shù)，又因?yàn)闇y(cè)量矩陣是滿秩矩陣，因此考慮其KKT 條件，定義拉格朗日對(duì)偶函數(shù)L(x,λ)為

在定理1 中，我們?cè)敿?xì)地討論了模型的局部解性質(zhì)，雖然原問題不能直接應(yīng)用KKT 條件，但是通過一定數(shù)學(xué)變化得到了類似的結(jié)果。但是注意到，上述結(jié)果是建立在解的每一個(gè)分量不為0 的前提下，如果沒有這個(gè)假設(shè)直接帶來的影響就是AE(x?)AT有可能不是可逆矩陣，為了解決這個(gè)問題，我們可以考慮求其偽逆代替原式結(jié)果。根據(jù)這個(gè)結(jié)論，很容易地得到以下不動(dòng)點(diǎn)算法。

算法1 分式lfp 最小化模型算法Require: A ∈Rm×n, b ∈Rn, p,K Ensure: x?x1 =arg minAx=b //x//1 E =E(x1)for k =1,2,··· 直到滿足終止條件do xk+1 1 =FAT(AFAT)?b S ={i||xk+1 i |∈V a}E =E(xk+1)k =k+1 end for x?=xk+1

下面給出這個(gè)算法的收斂性證明。

定理2 根據(jù)算法1 得到的序列{xk}滿足

根據(jù)引理1 的結(jié)果，我們可以發(fā)現(xiàn)，分式模型的算法從本質(zhì)上也是一種支撐基判斷方法，但是與OMP 類型的方法不同，本文所提方法是從局部最優(yōu)解性質(zhì)入手，不需要稀疏先驗(yàn)知識(shí)，因此，在每一步迭代中，我們可以用過對(duì)當(dāng)前解中過于小的分量使其值為0，加速其收斂速度，也通過選取最主要部分的支撐基應(yīng)對(duì)含有噪聲的情形。因此有以下改進(jìn)算法。

算法2 改進(jìn)的分式lfp最小化模型算法

Require: A ∈Rm×n, b ∈Rn, p,e,K Ensure: x?x1 =arg minAx=b //x//1 E =E(x1)for k =1,2,··· 直到滿足終止條件do xk+1 1 =FAT(AFAT)?b S ={i||xk+1 i |∈V a}S ={i:|xk+1 i |>e}xk+1 1 =arg minsupport(x)?S //Ax ?b//22 E =E(xk+1)k =k+1

end for x?=xk+1

3 基于衛(wèi)星振動(dòng)試驗(yàn)數(shù)據(jù)的算法驗(yàn)證

航天器結(jié)構(gòu)在發(fā)射、在軌環(huán)境下會(huì)受振動(dòng)、聲、加速度、沖擊等多種動(dòng)力學(xué)環(huán)境作用。據(jù)美國宇航局統(tǒng)計(jì)[17]，衛(wèi)星發(fā)射上天后第一天所出現(xiàn)的故障，有30%～60%是由于動(dòng)力學(xué)環(huán)境所引起的，因此對(duì)于監(jiān)測(cè)航天器結(jié)構(gòu)在振動(dòng)環(huán)境下的響應(yīng)數(shù)據(jù)是航天器結(jié)構(gòu)健康狀態(tài)監(jiān)測(cè)的一個(gè)重要內(nèi)容。通過航天器振動(dòng)環(huán)境模擬試驗(yàn)可以再現(xiàn)航天器結(jié)構(gòu)在發(fā)射飛行過程所經(jīng)受的振動(dòng)環(huán)境[18]，獲得結(jié)構(gòu)在振動(dòng)響應(yīng)。為驗(yàn)證本文提出的算法在后續(xù)航天器結(jié)構(gòu)健康狀態(tài)監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)處理中應(yīng)用的可行性，選取了某氣象衛(wèi)星整星地面振動(dòng)試驗(yàn)過程中的加速度響應(yīng)數(shù)據(jù)作為研究對(duì)象。試驗(yàn)中在衛(wèi)星不同結(jié)構(gòu)處布置了多個(gè)加速度測(cè)點(diǎn)，本文選取1 個(gè)加速度測(cè)點(diǎn)數(shù)據(jù)利用本文算法進(jìn)行了處理和分析驗(yàn)證。

根據(jù)航天器的構(gòu)造，一級(jí)液體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)通過箭體結(jié)構(gòu)傳遞時(shí)，能量逐漸損失，尤其高頻部分由于循環(huán)次數(shù)多，能量損失也多，傳遞到安裝在整流罩內(nèi)的衛(wèi)星時(shí)，推力脈動(dòng)只剩下很少的能量，一般400 Hz 以上的推力脈動(dòng)就已經(jīng)很弱。因此目前在整星振動(dòng)試驗(yàn)中通常采樣頻率在400 Hz 以下，因此這里選取采樣率為400 Hz，整個(gè)振動(dòng)試驗(yàn)時(shí)長62.5 s，故有25 000 次結(jié)果。根據(jù)點(diǎn)的方向(分別為x、y、z三個(gè)方向)以及信噪比(SNR 為40 dB 和20 dB)分別得到的6 組不同的數(shù)據(jù)，在壓縮比為0.4 的條件下，我們對(duì)每次數(shù)據(jù)直接進(jìn)行處理恢復(fù)，其中某一次恢復(fù)實(shí)驗(yàn)(分別為點(diǎn)x方向，信噪比為40 dB 和點(diǎn)x方向，信噪比為20 dB)得到的結(jié)果以及與15～25 s 放大結(jié)果如圖2、圖3 所示，圖4 給出了每種算法的結(jié)果圖，可以看出，作為經(jīng)典匹配追蹤算法如OMP 算法和CoSaMP 算法，二者在圖像的外部輪廓上出現(xiàn)了較多的“毛刺”，原數(shù)據(jù)恢復(fù)效果不如本文算法結(jié)果。

圖2 恢復(fù)信號(hào)時(shí)域圖

圖3 15～25 s 放大結(jié)果時(shí)域圖

圖4 原信號(hào)與各算法結(jié)果

經(jīng)計(jì)算得到統(tǒng)計(jì)的恢復(fù)結(jié)果誤差如表1 所示，每一小格中的三行數(shù)據(jù)從上至下依次為范數(shù)相對(duì)誤差結(jié)果、范數(shù)相對(duì)誤差結(jié)果、無窮范數(shù)相對(duì)誤差結(jié)果，從表1 可以看出，最右邊一列中的本文方法處理得到的各種相對(duì)誤差均明顯小于其他現(xiàn)有兩種算法的處理結(jié)果。

表1 相對(duì)誤差總表

為了便于處理以及更加細(xì)致化地對(duì)結(jié)果進(jìn)行分析，將每一次的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)分為25 組，每組有1 000 次數(shù)據(jù)，對(duì)每一組數(shù)據(jù)獨(dú)立進(jìn)行恢復(fù)處理。如圖5、圖6 為不同算法的部分恢復(fù)結(jié)果(時(shí)域)以及通過傅里葉變換到頻域后的結(jié)果，不論是在時(shí)域還是頻域，另外兩種算法依然在圖像上出現(xiàn)了一些凸出的“毛刺”，本文所提算法所得結(jié)果相比較能夠較好地恢復(fù)出原信號(hào)。

圖5 點(diǎn)x 方向，信噪比40 dB 條件下結(jié)果

圖6 點(diǎn)z 方向，信噪比20dB 條件下結(jié)果

將每組恢復(fù)處理得到的不同的相對(duì)誤差結(jié)果繪制成折線圖如圖7 至圖12 所示，每一行的左中右依次為范數(shù)相對(duì)誤差結(jié)果、范數(shù)相對(duì)誤差結(jié)果、無窮范數(shù)相對(duì)誤差結(jié)果的圖像，由多組圖的結(jié)果可以看出，本文所提方法的相對(duì)誤差結(jié)果(在圖中為紅線部分)在大多數(shù)組里都低于其他兩種算法的結(jié)果，其恢復(fù)效果要好于其他兩種算方法。

圖7 第一組數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)

圖8 第二組數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)

圖12 第六組數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)

圖9 第三組數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)

圖10 第四組數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)

圖11 第五組數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)

4 結(jié)論與應(yīng)用前景

本文將稀疏恢復(fù)技術(shù)應(yīng)用于航天器結(jié)構(gòu)健康狀態(tài)監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)傳輸問題中，并對(duì)所提算法進(jìn)行衛(wèi)星振動(dòng)試驗(yàn)數(shù)據(jù)恢復(fù)驗(yàn)證，對(duì)比結(jié)果表明本文所提算法處理得到的數(shù)據(jù)恢復(fù)相對(duì)誤差明顯小于經(jīng)典的匹配追蹤算法，可以較為可靠的恢復(fù)出原數(shù)據(jù)信號(hào)，在較小失真的情況下使用很少的數(shù)據(jù)描述試驗(yàn)的全過程，具有其一定的優(yōu)越性。后續(xù)將進(jìn)一步結(jié)合航天器結(jié)構(gòu)變形、振動(dòng)、應(yīng)變等多種動(dòng)態(tài)響應(yīng)數(shù)據(jù)信號(hào)處理開展應(yīng)用驗(yàn)證，為解決未來航天器結(jié)構(gòu)健康狀態(tài)監(jiān)測(cè)的關(guān)鍵技術(shù)提供支持。