劉 健， 胡 冰， 丁曉劍， 譙自健， 臧傳來

(1. 南京財經(jīng)大學(xué) 信息工程學(xué)院，南京 210023； 2. 南京郵電大學(xué) 現(xiàn)代郵政學(xué)院，南京 210003；3. 寧波大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，浙江 寧波 315211； 4. 東京大學(xué) 電氣工程與信息學(xué)院，東京 113-8656)

噪聲增益效應(yīng)普遍存在于非線性系統(tǒng)中, 學(xué)者們[1-6]對噪聲誘導(dǎo)布朗粒子逃逸問題的研究也越來越多, 并且已經(jīng)得到理論推導(dǎo)和試驗驗證的重大發(fā)展, 關(guān)聯(lián)噪聲激勵的非線性動力學(xué)被廣泛應(yīng)用于機(jī)械壽命預(yù)測、生物種群增長、化學(xué)振蕩反應(yīng)、信號估計與檢測、水下聲吶探測等領(lǐng)域, 利用噪聲提升系統(tǒng)輸出響應(yīng)被廣義上表述為振動共振現(xiàn)象。特別地, 研究布朗粒子的隨機(jī)運動來刻畫非線性系統(tǒng)的動力學(xué)特征, 利用平均首通時間指標(biāo)定量地評價粒子在勢阱間的躍遷過程。劉廣凱等[7]研究了過阻尼雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)中正弦中頻信號的隨機(jī)共振提取問題, 通過最優(yōu)系統(tǒng)參數(shù)的選取來匹配背景加性高斯白噪聲從而顯著提升信號接收性能。Fiasconaro等[8]分析了受兩種獨立的乘性和加性高斯白噪聲驅(qū)動下的腫瘤增長模型的穩(wěn)定性, 發(fā)現(xiàn)兩類不同噪聲共同作用可以增強(qiáng)模型穩(wěn)定性。郭永峰等[9]研究了互關(guān)聯(lián)的乘性和加性高斯白噪聲激勵下分段線性雙穩(wěn)系統(tǒng)的非平衡相變問題, 噪聲間的耦合參數(shù)改變了穩(wěn)態(tài)概率密度函數(shù)曲線峰值分布及誘導(dǎo)系統(tǒng)共振現(xiàn)象。

由于許多物理系統(tǒng)需要考慮各種噪聲源干擾以及多個噪聲源之間的關(guān)聯(lián)性,一些學(xué)者們[10-13]考慮了從單一噪聲源到多個噪聲源, 甚至從噪聲間的獨立性到互相關(guān)性來研究非線性系統(tǒng)的動力學(xué)共振行為。Badzey等[14]從加性高斯白噪聲驅(qū)動下的雙穩(wěn)態(tài)硅納米機(jī)械振子系統(tǒng)中觀察到共振現(xiàn)象, 發(fā)現(xiàn)通過添加白噪聲可以有效地實現(xiàn)信號強(qiáng)度的放大, 納米機(jī)械系統(tǒng)中的共振效應(yīng)對實現(xiàn)可控高速納米機(jī)械記憶單元具有重要作用。運用統(tǒng)一色噪聲理論, Cao等[15]推導(dǎo)出了由互關(guān)聯(lián)的乘性高斯色噪聲和加性高斯白噪聲驅(qū)動的雙穩(wěn)態(tài)勢模型的穩(wěn)態(tài)概率密度表達(dá)式。Liang等[16]推導(dǎo)了色關(guān)聯(lián)的色噪聲激勵的非線性動力學(xué)系統(tǒng)的近似Fokker-Planck方程。Luo等[17]分析了色關(guān)聯(lián)的乘性高斯色噪聲和加性高斯白噪聲共同作用下過阻尼雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)的輸出信噪比, 發(fā)現(xiàn)色關(guān)聯(lián)性可以誘導(dǎo)系統(tǒng)發(fā)生雙共振現(xiàn)象。靳艷飛等[18-19]分別討論了僅有色關(guān)聯(lián)噪聲激勵和色噪聲與弱信號共同激勵下分段非線性雙穩(wěn)態(tài)模型的共振現(xiàn)象。Xu[20]研究了色關(guān)聯(lián)噪聲在線性項和高階項下擾動的隨機(jī)邏輯模型的相變現(xiàn)象, 分析了噪聲的關(guān)聯(lián)性對P-分岔的影響。

上述關(guān)于非線性系統(tǒng)動力學(xué)的研究側(cè)重點在于噪聲干擾源上, 然而物理系統(tǒng)中的勢結(jié)構(gòu)對系統(tǒng)共振作用也是至關(guān)重要的, 很多學(xué)者致力于勢模型或它們的變形形式來研究非平衡相變, 勢阱深度、寬度以及勢阱壁的陡峭程度等這些因素均可改變力平衡方程, 造成勢力的微小偏差, 產(chǎn)生有益的動力學(xué)現(xiàn)象。Alfonsi等[21]和Li等[22]在欠阻尼雙穩(wěn)態(tài)隨機(jī)共振系統(tǒng)中分別討論了阱內(nèi)共振和阱間共振現(xiàn)象, 結(jié)果表明阱內(nèi)共振可以與經(jīng)典阱間共振同時存在于非線性系統(tǒng)之中。賴志慧等[23]在三穩(wěn)態(tài)勢模型中考慮噪聲和低頻諧波信號共同驅(qū)動下系統(tǒng)的輸出動態(tài)響應(yīng), 并從穩(wěn)態(tài)解曲線的角度闡述了噪聲誘導(dǎo)的三穩(wěn)系統(tǒng)隨機(jī)共振機(jī)理。Zhang等[24]研究了布朗粒子在Landau型勢結(jié)構(gòu)中的隨機(jī)運動, 發(fā)現(xiàn)功率譜放大曲線呈現(xiàn)出非典型隨機(jī)共振現(xiàn)象。此外, Arathi等[25]通過固定右半部分勢結(jié)構(gòu)來構(gòu)造一種新型非對稱勢模型, 并驗證該新型非對稱Duffing振蕩器中的系統(tǒng)共振現(xiàn)象。進(jìn)一步地, Qiao等[26]證實了這種新型可變勢阱雙穩(wěn)態(tài)勢結(jié)構(gòu)在微弱故障特征信息提取上的功效。此外,劉健等[27-28]分別討論了高斯白噪聲和時延以及非高斯噪聲激勵下的非對稱雙穩(wěn)態(tài)勢模型的動力學(xué)共振現(xiàn)象。

盡管多種類型隨機(jī)擾動噪聲源和新型勢結(jié)構(gòu)模型被大量研究用于探討非線性動力學(xué)共振現(xiàn)象, 但對于對稱雙穩(wěn)態(tài)勢模型中阱深和阱寬對粒子躍遷影響的研究甚少, 此外, 噪聲通常是色關(guān)聯(lián)的。鑒于此, 本文考慮由色關(guān)聯(lián)的乘性色噪聲和加性白噪聲共同激勵的可控雙穩(wěn)態(tài)勢模型中系統(tǒng)粒子的躍遷行為, 分析了在阱深和阱寬可變的情形下噪聲相關(guān)參數(shù)對粒子平均首通時間的影響。本文的結(jié)構(gòu)安排如下: 第二部分給出所研究的可控雙穩(wěn)態(tài)勢模型并分析可控勢阱因子對阱深和勢阱寬的控制作用; 第三部分基于概率分布密度函數(shù)的演化方程推導(dǎo)出粒子平均首通時間的解析表達(dá)式; 第四部分分別在阱深和勢阱寬兩種情形下討論不同參數(shù)對平均首通時間的影響; 第五部分總結(jié)全文。

1 可控雙穩(wěn)態(tài)勢模型

本文考慮一種反映勢阱深度和勢阱寬度可控的雙穩(wěn)態(tài)勢模型, 通過調(diào)整可控勢阱因子來改變系統(tǒng)勢阱結(jié)構(gòu), 從而研究勢阱深度和勢阱寬度的改變對隨機(jī)共振功效的影響。

色關(guān)聯(lián)的乘性色噪聲和加性白噪聲共同激勵下的可控雙穩(wěn)態(tài)勢系統(tǒng)可由下列隨機(jī)微分方程表示

(1)

式中，ε(t)和η(t)分別為色關(guān)聯(lián)的乘性高斯色噪聲和加性高斯白噪聲, 其統(tǒng)計特性為

〈ε(t)〉=〈η(t)〉=0

(2)

(3)

〈η(t)η′(t)〉=2αδ(t-t′)

(4)

(5)

式中：D和α分別為乘性色噪聲和加性白噪聲的強(qiáng)度；τ1為乘性色噪聲自相關(guān)時間；λ和τ2分別為兩噪聲間的互關(guān)聯(lián)強(qiáng)度和互關(guān)聯(lián)時間, 當(dāng)-1<λ<0時, 兩噪聲之間表示負(fù)關(guān)聯(lián), 當(dāng)0<λ<1時, 兩噪聲之間表示正關(guān)聯(lián), 當(dāng)λ=0時, 兩噪聲之間關(guān)聯(lián)性消失;t與t′為兩個不同時刻。

可控雙穩(wěn)態(tài)勢函數(shù)V(x)為

(6)

2 平均首通時間

根據(jù)隨機(jī)Liouville方程和Van-Kampen引理(P(x,t)=〈δ(x(t)-x)〉), 可得概率分布密度函數(shù)的演化方程, 即系統(tǒng)的Fokker-Planck方程為

(7)

根據(jù)統(tǒng)一色噪聲近似理論, 將式(1)中非馬爾科夫過程科轉(zhuǎn)化成一維馬爾科夫過程

(8)

式中,Γ(t)為白噪聲且有如下統(tǒng)計特性

〈Γ(t)〉=0,〈Γ(t)Γ(t′)〉=2Dδ(t-t′)

(9)

和

(x,τ1)=1+2τ1x2

(10)

利用Novikov理論、Fox方法和式(8), 可以將式(1)的漸近Fokker-Planck方程寫為

(11)

根據(jù)式(6)和式(8), 可以將式(11)的漸近Fokker-Planck方程改寫為

(12)

其中,

(13)

因此, 與式(1)相對應(yīng)的Fokker-Planck方程可表示為

(14)

其中,

(15)

(16)

其中，

(17)

通過式(15)和式(16)對式(14)進(jìn)行求解, 可以得到系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)概念密度函數(shù)為

(18)

式中，φ(x)為廣義勢函數(shù), 計算可得

(19)

其中,

穩(wěn)態(tài)概率密度函數(shù)在不同可控勢阱因子k下的變化曲線,如圖1所示。其中，實線為利用Van-Kampen引理、Novikov理論和Fox方法推導(dǎo)的式(18)中理論結(jié)果, 圓圈為直接模擬求解隨機(jī)微分方程式(1)所得結(jié)果。為了驗證理論推導(dǎo)的有效性, 不失一般性, 我們分別選取可變阱深和可變阱寬作為示例進(jìn)行分析。

圖1 穩(wěn)態(tài)概率密度函數(shù)在不同可控勢阱因子k下的變化曲線(τ1=0.2,τ2=0.3,λ=0.2,α=0.003,D=0.08)Fig.1 The steady-state probability density function Pst as a function of the variable x under different controllable potential-well factor k with τ1=0.2,τ2=0.3,λ=0.2,α=0.003,D=0.08

在可控勢阱深度情形下, 圖1(a)描述了穩(wěn)態(tài)概率密度函數(shù)在可控勢阱因子k=0.35時的曲線, 可以發(fā)現(xiàn)隨著變量x從-5～5變化, 穩(wěn)態(tài)概率密度函數(shù)呈現(xiàn)出關(guān)于x=0兩邊對稱的雙峰。同時, 左邊峰值明顯高于右邊峰值, 這說明布朗粒子位于左勢阱的概率要高于位于右勢阱的概率。穩(wěn)態(tài)概率密度函數(shù)在x=0時也趨近于零, 這是由于粒子在勢壘下處于極度不穩(wěn)定狀態(tài), 要向左右勢阱躍遷。圖1(a)中的理論推導(dǎo)結(jié)果和模擬仿真結(jié)果相吻合, 這也證實了理論推導(dǎo)過程的有效性。

在可控勢阱寬度情形下, 圖1(b)描述了穩(wěn)態(tài)概率密度函數(shù)在可控勢阱因子k=1.45時的曲線, 可以發(fā)現(xiàn)隨著變量x從-5～5變化, 穩(wěn)態(tài)概率密度函數(shù)同樣呈現(xiàn)出關(guān)于x=0兩邊對稱的雙峰, 左峰比右峰更突出, 這與圖1(a)類似。然而, 圖1(b)中峰值高度均低于圖1(a)中峰值高度, 并且峰值寬度大于圖1(a)中峰值寬度, 這是由于可控勢阱因子k在兩種可控勢阱情形下的作用不同, 在可控勢阱深度中系統(tǒng)參數(shù)為A=B=k而可控勢阱寬度中系統(tǒng)參數(shù)為A=1/k2和B=1/k4, 通過可控勢阱因子k可實現(xiàn)對阱深和阱寬的有效控制, 從而探究非線性系統(tǒng)豐富的動力學(xué)行為。圖1(b)中的理論推導(dǎo)結(jié)果和模擬仿真結(jié)果相吻合, 同樣驗證了理論推導(dǎo)過程的準(zhǔn)確性。圖1中可控勢阱因子的取值使左勢阱結(jié)構(gòu)變得更淺更緩, 這導(dǎo)致了穩(wěn)態(tài)概率密度函數(shù)中左峰占據(jù)主導(dǎo)地位。

通常, 非線性動力學(xué)特征被瞬態(tài)和穩(wěn)態(tài)這兩種性質(zhì)描述, 其中布朗粒子的平均首通時間被用于表征瞬態(tài)特性, 來研究系統(tǒng)狀態(tài)間轉(zhuǎn)換的物理內(nèi)在機(jī)理。在可控雙穩(wěn)態(tài)勢模型中, 平均首通時間刻畫了一個勢阱穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)化至另一個勢阱穩(wěn)態(tài)的特征。根據(jù)最速下降法, 可得粒子由x-所在的勢阱躍遷到x-所在的勢阱所需要的平均首通時間為

(20)

其中,

(21)

(22)

粒子由x+所在的勢阱躍遷到x-所在的勢阱所需要的平均首通時間為

(23)

其中,

(24)

(25)

3 可控雙穩(wěn)態(tài)勢模型共振分析

為了定量研究兩種不同類型可控對稱雙穩(wěn)態(tài)勢模型下的布朗粒子平均首通時間, 根據(jù)式(20)和式(23)可知, 粒子從勢阱逃逸出去至另一勢阱所需的時間與廣義勢函數(shù)有關(guān), 因而我們將分別考慮布朗粒子從左勢阱(x-)躍遷至右勢阱(x+)所需要的平均首通時間(MFPT-)與布朗粒子從右勢阱(x+)躍遷至左勢阱(x-)所需要的平均首通時間(MFPT+)。不失一般性, 本文設(shè)置模型參數(shù)ω0=β=1,k用于控制雙穩(wěn)態(tài)勢模型的可變阱深和可變阱寬。

3.1 可控勢阱深度情形

在可控勢阱深度情形下，平均首通時間作為乘性色噪聲強(qiáng)度D和加性白噪聲α的函數(shù)隨不同可控勢阱因子k的變化情況, 如圖2所示。圖2中：圖2(a)和圖2(b)分別為布朗粒子從左勢阱躍遷至右勢阱的MFPT-； 圖2(c)和圖2(d)分別為布朗粒子從右勢阱躍遷至左勢阱的MFPT+。觀察圖2(a)可知, MFPT-隨著D的增加呈現(xiàn)出先增后減的非單調(diào)趨勢, 即乘性噪聲可以誘導(dǎo)共振現(xiàn)象。隨著k的增大, 平均首通時間的最大值也在增加, 可控勢阱因子的增加帶來了勢阱深度的加深, 從而粒子從左勢阱躍遷到右勢阱所需時間也會隨之增加。然而, 圖2(c)給出MFPT+隨著D的增大而單調(diào)下降并最終趨于極小值。觀察圖2(b)可知, MFPT-隨著α的增加而單調(diào)下降, 即加性噪聲加速了布朗粒子的躍遷過程。觀察圖2(d)可知, MFPT+隨著α的增加呈現(xiàn)出先緩慢降低然后快速增加的非單調(diào)現(xiàn)象, 即存在反共振現(xiàn)象。對比圖2(b)、圖2(d)與圖2(a)、圖2(c)可以發(fā)現(xiàn), 乘性噪聲、加性噪聲及可控勢阱因子對于粒子逃逸過程的影響取決了粒子初始位置, 即MFPT-和MFPT+在相同外部參數(shù)條件下展現(xiàn)出不同的動力學(xué)特征。此外, 隨著乘性噪聲強(qiáng)度和加性噪聲強(qiáng)度的持續(xù)增加, 平均首通時間趨于統(tǒng)一和發(fā)散, 乘性噪聲對于布朗粒子躍遷過程具有魯棒性。

圖2 平均首通時間在不同可控勢阱因子k下隨著乘性色噪聲強(qiáng)度D的變化曲線(τ1=0.6,τ2=0.2,λ=0.15,α=0.003)和加性白噪聲強(qiáng)度α的變化曲線(τ1=0.5,τ2=0.5,λ=0.15,D=0.08)Fig.2 The MFPT as a function of multiplicative colored noise intensity D with τ1=0.6,τ2=0.2,λ=0.15,α=0.003 and as a function of additive white noise intensity D under different controllable potential-well factor k with τ1=0.5,τ2=0.5,λ=0.15,D=0.08 under different controllable potential-well factor k

圖3給出了平均首通時間作為可控勢阱因子k隨著不同自關(guān)聯(lián)時間τ1、互關(guān)聯(lián)時間τ2和強(qiáng)度λ的變化情，如圖3所示。圖3中：圖3(a)、圖3(b)和圖3(c)分別為布朗粒子從左勢阱躍遷至右勢阱的MFPT-; 圖3(d)、圖3(e)和圖3(f)分別為布朗粒子從右勢阱躍遷至左勢阱的MFPT+。對于不同的自關(guān)聯(lián)時間τ1, 圖3(a)中說明了平均首通時間隨著可控勢阱因子的增大而增大, 而圖3(d)指出平均首通時間呈現(xiàn)先減后增的非單調(diào)趨勢, 即反共振現(xiàn)象。在不同的自相關(guān)時間τ1下存在一個合適的k使平均首通時間最小, 隨著k的持續(xù)增大, 平均首通時間也將急劇上升, 這就說明更大的可控勢阱因子抑制了布朗粒子的逃逸活動。此外, MFPT+的反共振谷值隨著τ1的增加而增大, 峰值所對應(yīng)的k卻在減小。通過圖3(b)和圖3(e)可見, 平均首通時間隨著k的增大而持續(xù)增大, 互關(guān)聯(lián)時間τ2對粒子躍遷行為的影響較小, 在相同可控勢阱因子下, 較大的互關(guān)聯(lián)時間相對更容易激發(fā)布朗粒子的逃逸過程。從圖3(c)可知, MFPT-在不同λ下隨著D的增加呈現(xiàn)不同變化趨勢, 當(dāng)關(guān)聯(lián)強(qiáng)度λ≤0時, MFPT-隨著k增大展現(xiàn)出單調(diào)遞增的變化; 當(dāng)關(guān)聯(lián)強(qiáng)度λ>0時, MFPT-隨D增大呈現(xiàn)先增后減的非單調(diào)趨勢, 即存在合適乘性噪聲強(qiáng)度能最大限度地提升系統(tǒng)穩(wěn)定性。與圖3(c)不同之處在于, 圖3(f)中負(fù)關(guān)聯(lián)強(qiáng)度下平均首通時間隨著可控勢阱因子的增大呈現(xiàn)出先緩慢增加后急劇下降的非單調(diào)變化, 同時, 隨著λ由零向正不斷增大, 布朗粒子在兩勢阱間躍遷的平均首通時間隨之增大, 當(dāng)λ數(shù)值較大(λ=0.9)時, MFPT+隨著k增大先緩慢減小后急劇增大, 即反共振現(xiàn)象。相對于MFPT-情形而言,λ的變化對MFPT+的影響要更明顯, 也指出布朗粒子在左右不同勢阱開始躍遷的速率是不同的。此外, 隨著k增至一定數(shù)量級(k>10), 平均首通時間都會趨于極大或極小數(shù)值, 說明可控勢阱因子對布朗粒子平均首通時間的重要作用。對比圖3(a)、圖3(c)和圖3(d)、圖3(f), 自相關(guān)時間和互關(guān)聯(lián)時間的變化對MFPT+和MFPT-的影響不同, 這是由于關(guān)聯(lián)時間參數(shù)對勢結(jié)構(gòu)中左右勢阱的影響不同所致, 得出平均首通時間與布朗粒子的初始逃逸位置有關(guān)。

圖3 平均首通時間隨著可控勢阱因子k變化曲線在不同自關(guān)聯(lián)時間τ1下的變化(τ2=0.2,λ=0.9,α=0.002,D=0.001 5)和在不同互關(guān)聯(lián)時間τ2下的變化(τ1=0.8,λ=0.8,α=0.003,D=0.08)和在不同互關(guān)聯(lián)強(qiáng)度λ下的變化(τ1=0.5,τ2=0.5,α=0.001,D=0.002)Fig.3 The MFPT as a function of controllable potential-well factor k versus different τ1 with τ2=0.2,λ=0.9,α=0.002,D=0.001 5 and versus different τ2 with τ1=0.8,λ=0.8,α=0.003,D=0.08 and versus different λ with τ1=0.5,τ2=0.5,α=0.001,D=0.002

3.2 可控勢阱寬度情形

在可控勢阱寬度情形下平均首通時間作為乘性色噪聲強(qiáng)度D和加性白噪聲α的函數(shù)隨不同可控勢阱因子k的變化情況,如圖4所示。圖4中：圖4(a)和圖4(b)分別為布朗粒子從左勢阱躍遷至右勢阱的MFPT-；圖4(c)和圖4(d)分別為布朗粒子從右勢阱躍遷至左勢阱的MFPT+。從圖4(a)可知, MFPT-在不同k下隨著D的增加呈現(xiàn)先增后減的非單調(diào)趨勢, 乘性噪聲抑制布朗粒子的逃逸速率并增強(qiáng)系統(tǒng)穩(wěn)定性, 即共振現(xiàn)象。隨著k的增大, 共振峰位置向左移動, 與共振峰所對應(yīng)的乘性噪聲強(qiáng)度也隨之減小。圖4(b)給出了MFPT+在k下隨加性噪聲的變化, MFPT+隨著α的增加而單調(diào)遞減, MFPT+在較小k下下降趨勢顯著, 在較大k下緩慢下降, 這也說明了大可控勢阱因子對加性噪聲誘導(dǎo)下的粒子躍遷行為具有魯棒性。觀察圖4(c)可知, MFPT-隨著D的增大而單調(diào)下降, 乘性噪聲加速了粒子躍遷過程, MFPT-隨著k的增加而減小, 可控勢阱因子加速粒子躍遷過程。由于可控勢阱因子的增加帶來了勢阱深度的增加, 也帶來了陡峭的勢阱壁結(jié)構(gòu), 從而粒子從右勢阱躍遷到左勢阱所需時間將會減小, 這與圖4(a)中現(xiàn)象不太一致,也說明了平均首通時間和粒子初始躍遷位置以及可控勢阱因子都有緊密關(guān)系。從圖4(d)可知, 平均首通時間隨著α的增大呈現(xiàn)出先緩慢減小后急劇增大的非單調(diào)過程, 即反共振效應(yīng)。隨著k的增大, 反共振谷值位置向右移動, 平均首通時間遞減。對比圖4(a)和圖4(d)以及圖4(b)和圖4(c), 可以發(fā)現(xiàn)平均首通時間隨噪聲強(qiáng)度的變化趨勢完全相反, 證實了可控勢阱寬度和可控勢阱深度對粒子平均首通時間影響的不同。圖4與圖2中平均首通時間變化趨勢大致相同, 但可控勢阱寬度因子比可控勢阱深度因子對于粒子躍遷過程的影響要更強(qiáng)一些。相對于加性噪聲誘導(dǎo)平均首通時間的反共振現(xiàn)象, 我們要利用乘性噪聲的共振效應(yīng)來增強(qiáng)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

圖4 平均首通時間在不同可控勢阱因子k下隨著乘性色噪聲強(qiáng)度D的變化曲線(τ1=0.6,τ2=0.2,λ=0.15,α=0.003)和加性白噪聲強(qiáng)度α的變化曲線(τ1=0.5,τ2=0.5,λ=0.15,D=0.08)Fig.4 The MFPT as a function of multiplicative colored noise intensity D with τ1=0.6,τ2=0.2,λ=0.15,α=0.003 and as a function of additive white noise intensity D under different controllable potential-well factor k with τ1=0.5,τ2=0.5,λ=0.15,D=0.08 under different controllable potential-well factor k

平均首通時間作為可控勢阱因子k隨著不同自關(guān)聯(lián)時間τ1、互關(guān)聯(lián)時間τ2和強(qiáng)度λ的變化情況,如圖5所示。圖5中：圖5(a)～圖5(c)分別為布朗粒子從左勢阱躍遷至右勢阱的MFPT-； 圖5(d)～圖5(f)分別為布朗粒子從右勢阱躍遷至左勢阱的MFPT+。觀察圖5(a)和圖5(b), 發(fā)現(xiàn)MFPT-隨著可控勢阱因子k的增大呈現(xiàn)出先增大后減小的非單調(diào)趨勢, 即共振現(xiàn)象。在不同的自相關(guān)時間和互關(guān)聯(lián)時間下先后存在局部最優(yōu)的k使MFPT-達(dá)到最大值, 隨著k的持續(xù)增大, MFPT-將趨于平穩(wěn), 這與圖3(a)和圖3(b)中的曲線變化截然相反, 說明可控勢阱寬度與可控勢阱深度對粒子躍遷過程的影響不同。與圖5(a)和圖5(b)有所不同, 圖5(d)中MFPT+曲線隨著k的增大呈現(xiàn)出先減小后增大的非單調(diào)趨勢, 且在固定的k值下, MFPT+隨著τ1的增加而增大, 最終MFPT+在不同τ1變化下均趨于平穩(wěn)的統(tǒng)一值; 圖5(e)中MFPT+隨著k的增大而單調(diào)遞減, 不同τ2對MFPT+影響較小, 這表明乘性色噪聲的自關(guān)聯(lián)性和兩噪聲間的互關(guān)聯(lián)性對粒子在可控勢阱寬度情形下逃逸行為的影響不同, 適當(dāng)選取自關(guān)聯(lián)時間能增強(qiáng)噪聲增益躍遷過程。由圖5(c)和圖5(f)可知, 隨著k的增大, 平均首通時間出現(xiàn)了非單調(diào)變化趨勢, 分別為共振和反共振現(xiàn)象。觀察圖5(c), 發(fā)現(xiàn)布朗粒子從左勢阱躍遷至右勢阱的MFPT-在負(fù)關(guān)聯(lián)(λ<0)下隨著k的增加而單調(diào)遞減, MFPT-在正關(guān)聯(lián)(λ>0)下隨著k的增加先急劇增大然后緩慢下降直至平穩(wěn)狀態(tài)。相對于MFPT-情形而言, 圖5(f)中MFPT+在負(fù)關(guān)聯(lián)(λ<0)下隨著k的增加先急劇增大然后緩慢下降直至平穩(wěn)狀態(tài), 這與MFPT-中正關(guān)聯(lián)情形類似; 同時, 隨著λ由零向正不斷增大, MFPT+隨之增大, 當(dāng)λ數(shù)值較大(λ=0.9)時, MFPT+隨著k增大先緩慢減小后急劇增大, 即反共振現(xiàn)象。圖5(c)和圖5(f)中平均首通時間的變化趨勢與圖3(c)和圖3(f)類似, 說明布朗粒子的躍遷動力學(xué)行為與自相關(guān)時間有關(guān)。最后, 隨著k增加到一定數(shù)量級(k>1), 平均首通時間均趨于統(tǒng)一, 可知大尺度可控勢阱因子在可控勢阱寬度情形下占據(jù)了布朗粒子躍遷行為的主導(dǎo)作用。

圖5 平均首通時間隨著可控勢阱因子k變化曲線在不同自關(guān)聯(lián)時間τ1下的變化(τ2=0.2,λ=0.8,α=0.003,D=0.002)和在不同互關(guān)聯(lián)時間τ2下的變化(τ1=0.8,λ=0.8,α=0.003,D=0.08)和在不同互關(guān)聯(lián)強(qiáng)度λ下的變化(τ1=0.5,τ2=0.5,α=0.001,D=0.002)Fig.5 The MFPT as a function of controllable potential-well factor k versus different τ1 with τ2=0.2,λ=0.8,α=0.003,D=0.002 and versus different τ2 with τ1=0.8,λ=0.8,α=0.003,D=0.08 andversus different λ with τ1=0.5,τ2=0.5,α=0.001,D=0.002

4 結(jié) 論

在可控雙穩(wěn)態(tài)勢模型中, 研究色關(guān)聯(lián)乘性色噪聲和加性白噪聲誘導(dǎo)粒子逃逸動力學(xué)行為, 通過計算模型近似Fokker-Planck方程, 進(jìn)而推導(dǎo)出平均首通時間表達(dá)式, 分別討論了可控阱深和可控阱寬中系統(tǒng)參數(shù)對平均首通時間的影響。結(jié)果表明: 在可控勢阱深度情形中, 平均首通時間隨著噪聲強(qiáng)度增加呈現(xiàn)非單調(diào)變化趨勢, 乘性噪聲誘導(dǎo)共振現(xiàn)象, 加性噪聲誘導(dǎo)反共振現(xiàn)象。負(fù)關(guān)聯(lián)強(qiáng)度和正關(guān)聯(lián)強(qiáng)度對粒子躍遷影響不同, 并且粒子從左勢阱躍遷至右勢阱與粒子從右勢阱躍遷至左勢阱的動力學(xué)完全相反; 在可控勢阱寬度情形中, 平均首通時間隨著乘性噪聲強(qiáng)度和加性噪聲強(qiáng)度的變化同樣呈現(xiàn)共振與反共振現(xiàn)象, 但可控勢阱寬度因子比可控勢阱深度因子對于粒子躍遷過程的影響更深, 互關(guān)聯(lián)強(qiáng)度也能誘導(dǎo)布朗粒子在兩勢阱間躍遷的共振, 共振峰位置受兩噪聲間的互關(guān)聯(lián)性影響較小?？煽貏葳鍖挾纫蜃涌烧T導(dǎo)系統(tǒng)的共振與反共振現(xiàn)象。最后, 在兩種勢阱可控的情形下, 隨著可控勢阱因子增加到一定數(shù)量級, 平均首通時間均趨于統(tǒng)一, 大尺度可控勢阱因子在可控勢阱寬度情形下占據(jù)了布朗粒子躍遷行為的主導(dǎo)作用。