程國(guó)勇，王兆源，劉大海

（1.中國(guó)民航大學(xué)交通科學(xué)與工程學(xué)院，天津 300300；2.深圳市地質(zhì)局，廣東 深圳 518023）

條形基礎(chǔ)的太沙基地基極限承載力理論[1]是最具代表性和應(yīng)用最廣泛的地基承載力理論，其地基極限承載力計(jì)算通式為

式中：Nq、Nc、Nγ為地基承載力系數(shù)；q 為基礎(chǔ)兩側(cè)外荷載；c 為土體粘聚力；γ 為地基土重度；B 為基礎(chǔ)底面寬度。

文獻(xiàn)[1-2]給出了基底完全光滑及完全粗糙情況下Nq和Nc的確切解析式如下

式中：ψ 為基礎(chǔ)下剛性核兩側(cè)邊與水平面夾角；φ 為摩擦角。 但其對(duì)于Nγ僅給出了含有待定系數(shù)的準(zhǔn)解析式如下

式中kpγ為被動(dòng)土壓力系數(shù)，需經(jīng)試算確定。

文獻(xiàn)[3-8]給出了基底特定情況下Nγ的經(jīng)驗(yàn)公式或基于經(jīng)驗(yàn)公式的數(shù)值表。在基底完全光滑條件下（ψ=π/4+φ/2），常見(jiàn)的經(jīng)驗(yàn)公式如下

在基底完全粗糙條件下（ψ=φ），常見(jiàn)的經(jīng)驗(yàn)公式不僅包括式（5），還有其他經(jīng)驗(yàn)公式如下

從式（5）～式（8）可以看出，以上這些經(jīng)驗(yàn)公式差別較大且相互間可能存在矛盾，對(duì)公式的來(lái)歷、考慮因素等缺乏系統(tǒng)的闡述而難以深究。 這種狀況給地基承載力理論的學(xué)習(xí)及應(yīng)用帶來(lái)不少困惑。 文獻(xiàn)[9-10]對(duì)Nγ的確切表達(dá)式進(jìn)行了研究，并給出了基底完全粗糙條件下Nγ的解析解和基底一般粗糙條件下的完整解析解如下

但經(jīng)進(jìn)一步的嚴(yán)格理論分析發(fā)現(xiàn)，式（9）及式（10）在推導(dǎo)過(guò)程中存在疏漏。

根據(jù)上述分析，基于極限平衡原理對(duì)太沙基地基極限承載力這一經(jīng)典問(wèn)題重新進(jìn)行了嚴(yán)格理論分析，對(duì)以往研究的不足進(jìn)行了糾正并與相關(guān)文獻(xiàn)資料進(jìn)行了對(duì)比，進(jìn)一步促進(jìn)太沙基地基極限承載力理論的學(xué)習(xí)和應(yīng)用，并為相關(guān)研究工作提供參考或借鑒。

1 地基極限承載力的理論分析

1.1 參數(shù)說(shuō)明

參數(shù)說(shuō)明如表1 所示。

表1 參數(shù)說(shuō)明Tab.1 List of parameters

1.2 原理

本研究仍采用太沙基地基極限承載力理論的3條假定[1-2]：

（1）基礎(chǔ)底面粗糙，剛性核與兩側(cè)面與水平面夾角為ψ；

（2）不考慮基底以上基礎(chǔ)兩側(cè)土體抗剪強(qiáng)度影響，僅將其看作均布荷載；

（3）地基中滑動(dòng)土體分為三角形壓密區(qū)（剛性核）、朗肯被動(dòng)區(qū)以及對(duì)數(shù)螺旋線過(guò)渡區(qū)。

太沙基理論計(jì)算圖示如圖1 所示。

圖1 太沙基理論計(jì)算圖示Fig.1 Calculation scheme of Terzaghi’s formulas

從圖1 中可看出，當(dāng)?shù)鼗l(fā)生破壞時(shí)，土體沿bde和bd′e′滑動(dòng)，和是對(duì)數(shù)螺旋曲線，de 和d′e′是直線，與水平面的夾角等于，即ade 及a′d′e′區(qū)為朗肯被動(dòng)區(qū)。 從圖1 中可得到三角形壓密區(qū)（剛性核）aa′b 與對(duì)數(shù)螺旋曲線過(guò)渡區(qū)a′bd′之間分界線段a′b 長(zhǎng)度，計(jì)算公式如下

取aa′b 為隔離體，受力分析如圖2 所示。

圖2 剛性核受力分析Fig.2 Analysis of rigid core force

根據(jù)幾何條件可知Ep與豎直方向夾角為ψ-φ，根據(jù)靜力平衡條件可得

從式（13）可以看出，只要求出了Ep，則地基的極限承載力就可確定。

1.3 剛性核側(cè)面被動(dòng)土壓力Ep 的求解

從上述分析可知， 地基極限承載力qu求解的關(guān)鍵在于首先要求得Ep。為便于求解，取a′bd′e′為隔離體， 并分解為以下3 種情況分別求解Ep的反作用力及

僅考慮地基土自重情況下（即q=0、c=0、γ ＞0），隔離體a′bd′e′受力情況如圖3 所示。

圖3 重力引起的被動(dòng)土壓力Fig.3 Passive earth pressure caused by gravity

從圖3 中可看出，G1、G2分別為朗肯被動(dòng)區(qū)a′d′e′及對(duì)數(shù)螺旋線過(guò)渡區(qū)a′d′b 的重力；滑動(dòng)面上反力分布為三角形且分別與各自的法線夾角為φ。分別求隔離體a′bd′e′所受外力對(duì)于a′的力矩（以順時(shí)針為正）。

1）G1對(duì)于a′點(diǎn)力矩Mγ1（順時(shí)針）

G1對(duì)于a′點(diǎn)力矩Mγ1（順時(shí)針）可表示為

式中G1可表示為

2）G2對(duì)于a′點(diǎn)力矩Mγ2（逆時(shí)針）

G2對(duì)于a′點(diǎn)力矩Mγ2（逆時(shí)針）可表示為

式中Rr可表示為

僅考慮基礎(chǔ)兩側(cè)外荷載作用（即q ＞0、c ＞0、γ ＞0）情況下，隔離體a′bd′e′受力情況，如圖4 所示。

圖4 外荷載引起的被動(dòng)土壓力Fig.4 Passive earth pressure caused by load

式中

2）外荷載q 對(duì)a′點(diǎn)的力矩Mq2（順時(shí)針）

Mq2可表示為

僅考慮土體粘聚力c 時(shí)（即q=0、c ＞0、γ=0）情況下，隔離體a′bd′e′受力情況如圖5 所示。

圖5 粘聚力引起的被動(dòng)土壓力Fig.5 Passive earth pressure caused by cohesion

滑動(dòng)面上土體粘聚力c 對(duì)于a′點(diǎn)的力矩（順時(shí)針）表示為

1.3.4 被動(dòng)土壓力匯總

上述3 種情況分別求得的被動(dòng)土壓力進(jìn)行疊加，即

1.4 地基承載力系數(shù)的計(jì)算

根據(jù)剛性核的受力分析，將式（33）代入式（13）并整理可得

根據(jù)式（1）可得Nq、Nc、Nγ3 個(gè)承載力系數(shù)。

1.5 對(duì)比分析

從上述分析過(guò)程可以看出，依據(jù)太沙基地基極限承載力理論最初的假設(shè)及計(jì)算模型，經(jīng)嚴(yán)格理論推導(dǎo)可得到3 個(gè)承載力系數(shù)的確切表達(dá)式。 其中：Nγ與當(dāng)前文獻(xiàn)研究均不同， 而Nq和Nc兩個(gè)系數(shù)的表達(dá)式和相互關(guān)系表述與所有土力學(xué)教材或文獻(xiàn)完全一致。

將本研究所得Nγ與當(dāng)前文獻(xiàn)經(jīng)驗(yàn)公式或數(shù)值進(jìn)行列表對(duì)比，如表2 所示。

表2 文中Nγ 公式與當(dāng)前文獻(xiàn)經(jīng)驗(yàn)公式或數(shù)值對(duì)比Tab.2 Comparsion of the Nγ formula in this thesis with empirical formulas or statistics in cited works

2 結(jié)語(yǔ)

本研究從太沙基地基承載力這一經(jīng)典課題出發(fā)，通過(guò)數(shù)學(xué)推導(dǎo)的方法得出3 個(gè)地基承載力系數(shù)的解析解，拓寬了原有理論的適用范圍，提出結(jié)論如下。

（1）從太沙基地基極限承載力理論基本假設(shè)及計(jì)算模型出發(fā)，經(jīng)嚴(yán)格力學(xué)分析可得到承載力系數(shù)Nγ的確切表達(dá)式而不必附加其他條件，例如待定系數(shù)、試算等。 對(duì)此問(wèn)題的澄清不僅對(duì)太沙基地基極限承載力理論的完備有學(xué)術(shù)價(jià)值，對(duì)地基極限承載力理論的學(xué)習(xí)、工程應(yīng)用及學(xué)術(shù)研究也有參考價(jià)值。

（2）在以前類似研究的基礎(chǔ)上重新推導(dǎo)得到Nγ的表達(dá)式，糾正了以前研究過(guò)程中的漏項(xiàng)及筆誤，并通過(guò)了反復(fù)校核。 基于相同假定及計(jì)算模型同步推導(dǎo)得出的另外兩個(gè)承載力系數(shù)Nq和Nc與當(dāng)前所有土力學(xué)教材或文獻(xiàn)完全一致，也從側(cè)面間接印證了所求Nγ表達(dá)式的正確性。

（3）由于基本假定及計(jì)算模型等方面與實(shí)際情況的差異，理論推導(dǎo)得到的Nγ未必能直接用于工程實(shí)踐，需要利用實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行修正，與此問(wèn)題的理論探究并不沖突。將文中Nγ表達(dá)式與其他經(jīng)驗(yàn)公式或數(shù)值表進(jìn)行列表展示也僅為便于應(yīng)用和理解，相互之間并不能相互驗(yàn)證或糾正。