翁桂英，宋國(guó)富，連博勇，陳麗娜

（仰恩大學(xué) 數(shù)學(xué)系，福建 泉州 362014）

2016 年全國(guó)高校思想政治工作會(huì)議提出，要把立德樹(shù)人作為中心環(huán)節(jié)，堅(jiān)持把思想政治工作貫穿教育教學(xué)的整個(gè)過(guò)程。如何挖掘?qū)I(yè)課程中的思政元素，充分發(fā)揮專(zhuān)業(yè)課的育人效果，是各個(gè)高校和教師改革亟需研究和解決的重要課題。目前，已有多位學(xué)者從不同方面闡述了“課程思政”在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程中的意義、價(jià)值和實(shí)施路徑[1-3]。而在當(dāng)今，“互聯(lián)網(wǎng)＋”已經(jīng)給教育帶來(lái)巨大的改變。尤其自2020年新冠肺炎肆虐全球以來(lái)，高等教育面臨全面線(xiàn)上教學(xué)，或線(xiàn)上+線(xiàn)下的混合教學(xué)新模式，因此課程思政也要探討新內(nèi)容，新方法。

在2020年的新冠疫情中，全國(guó)人民在黨中央的統(tǒng)一領(lǐng)導(dǎo)下，眾志成城抗擊疫情，中國(guó)人民所展現(xiàn)出來(lái)的抗疫精神和抗疫力量令人贊嘆，這些都是最生動(dòng)也最深刻的現(xiàn)實(shí)意義的思政素材。把握疫情防控中的教育契機(jī)，深入挖掘概率論論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的思政元素，將抗疫中彰顯的科學(xué)理性、積極合作、勇于奉獻(xiàn)的價(jià)值觀等內(nèi)容融入平時(shí)的教學(xué)中，培養(yǎng)學(xué)生用概率統(tǒng)計(jì)的思維看待問(wèn)題，勇于探索的科學(xué)精神，激發(fā)學(xué)生愛(ài)國(guó)主義熱情。

基于以上情況，本文主要在教學(xué)內(nèi)容上，利用線(xiàn)上的優(yōu)秀資源，將課程內(nèi)容與疫情素材有效結(jié)合，以實(shí)際案例的形式呈現(xiàn)，避免講大道理，提升思政工作的親和力以及概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)應(yīng)用的針對(duì)性，強(qiáng)化價(jià)值引領(lǐng)。在教學(xué)形式上，借助線(xiàn)上教學(xué)平臺(tái)，將案例在線(xiàn)上發(fā)布，通過(guò)“線(xiàn)上+線(xiàn)下”的混合教學(xué)，充分發(fā)揮課程思政作用。通過(guò)近期的教學(xué)，研究總體思路如圖1。

圖1 “課程思政”教學(xué)研究思路

課程思政和專(zhuān)業(yè)課程相融合是以后教學(xué)改革的重要課題，其教學(xué)內(nèi)容和方法還在不斷實(shí)踐和探討中，下面先介紹概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的“課程思政”案例。

1 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的思政案例設(shè)計(jì)實(shí)踐

1.1 復(fù)查的重要性（貝葉斯公式的應(yīng)用）

案例1假設(shè)某核酸檢測(cè)試劑篩查準(zhǔn)確率高達(dá)99%?，F(xiàn)據(jù)權(quán)威部門(mén)對(duì)一地統(tǒng)計(jì)報(bào)告，某地區(qū)有0.5%的人真正感染了新冠肺炎?，F(xiàn)對(duì)來(lái)自于該地區(qū)的一人進(jìn)行核酸檢測(cè)。問(wèn)：

（1）若被檢者第一次核酸檢測(cè)呈陽(yáng)性，則他確實(shí)感染了此疾病的概率。

（2）若被檢者第一次核酸檢測(cè)呈陽(yáng)性，再進(jìn)行第二次核酸檢測(cè)（復(fù)查）仍然呈陽(yáng)性，問(wèn)此時(shí)他確實(shí)被感染的概率。

分析一般同學(xué)會(huì)有這樣的印象：核酸檢測(cè)準(zhǔn)確率既然為0.99，現(xiàn)在有人被診斷為陽(yáng)性（被感染），說(shuō)明此人被感染的概率為0.99。如果此人被感染的概率真的有那么高，為什么人們經(jīng)常需要二次核酸檢測(cè)（復(fù)查）？以下從貝葉斯公式的角度來(lái)分析這個(gè)問(wèn)題。

解（1）設(shè)A={被檢者被感染}，B={被檢者核酸檢測(cè)呈陽(yáng)性}，

（2）注意復(fù)查只需在第一次核酸檢測(cè)呈陽(yáng)性的人中進(jìn)行即可，所以此時(shí)真正被感染此疾病的概率P(A)被修正為0.332，即第二次進(jìn)行核酸檢測(cè)時(shí)，P(A)=0.332。類(lèi)似（1）的做法，計(jì)算可得新的

由（1）可知，檢驗(yàn)者真正被感染的概率僅為33.2%。說(shuō)明一次的陽(yáng)性結(jié)果完全不足以說(shuō)明此人被感染。而從第（2）題的結(jié)果可以看出，若被檢者第二次核酸檢測(cè)仍然呈現(xiàn)陽(yáng)性時(shí)確實(shí)感染此疾病的概率高達(dá)98%?？梢?jiàn)，復(fù)查呈陽(yáng)性，那么基本可以確診。這也是為什么在疾病診斷中需要復(fù)查的原因。當(dāng)然實(shí)際問(wèn)題中，因?yàn)樾鹿诓《镜臐摲?、高傳染性等因素影響，醫(yī)學(xué)工作者要確診新型肺炎，也不是僅看兩次核酸檢測(cè)結(jié)果，而是要多次檢測(cè)，結(jié)合CT、臨床特征等。

貝葉斯公式在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程中的重要作用眾所周知，但學(xué)生往往一知半解。這里結(jié)合社會(huì)熱點(diǎn)，每個(gè)學(xué)生都身臨其境，學(xué)習(xí)興趣自然提高。借助案例，引導(dǎo)同學(xué)，在對(duì)待實(shí)際問(wèn)題時(shí)，應(yīng)該科學(xué)地看待數(shù)據(jù)，認(rèn)真分析數(shù)據(jù)背后的原理。不要輕信與傳播謠言，未經(jīng)證實(shí)，就大肆轉(zhuǎn)發(fā)，制造恐怖氣氛。在教學(xué)形式上，題（1）較為簡(jiǎn)單，在課堂上可以直接講解，而題（2）必須要對(duì)貝葉斯公式先驗(yàn)概率和后驗(yàn)概率有一定理解后才能應(yīng)用，因此可以課后布置在線(xiàn)上教學(xué)平臺(tái)，鞏固練習(xí)。

1.2 攜手合作，共同抗疫（獨(dú)立性的應(yīng)用）

案例2假設(shè)3個(gè)皮匠甲、乙和丙各自獨(dú)立解決某問(wèn)題的概率分別為0.6，0.55，0.45，諸葛亮單獨(dú)解決某問(wèn)題的概率為0.9。如果這3個(gè)皮匠精誠(chéng)合作，能否頂?shù)蒙现T葛亮？

解用A1，A2，A3分別表示皮匠甲 、乙、丙獨(dú)立解決該問(wèn)題，B表示諸葛亮解決該問(wèn)題。

由條件可知P(A1)=0.6，P(A2)=0.55，P(A3)=0.45則問(wèn)題被三個(gè)皮匠解決的概率為

即3個(gè)智商一般的皮匠通過(guò)精誠(chéng)合作以0.001的微弱優(yōu)勢(shì)勝過(guò)智商超群的諸葛亮。

同樣道理，將“三個(gè)臭皮匠抵過(guò)諸葛亮”案例進(jìn)行推廣，得到下面的n重伯努利的例子，此案例可以布置在線(xiàn)上的學(xué)習(xí)平臺(tái)，讓學(xué)生課后練習(xí)，加強(qiáng)掌握。

案例3假定每個(gè)人只有萬(wàn)分之一的機(jī)會(huì)對(duì)抗疫做出貢獻(xiàn)，并且每個(gè)人是否做出貢獻(xiàn)是相互獨(dú)立的。求n個(gè)人攜手合作，對(duì)抗疫做出貢獻(xiàn)的概率。

解設(shè)Ai= {第i個(gè)人做出貢獻(xiàn)}，則P(Ai)=0.0001，利用事件的獨(dú)立性性質(zhì)，則n個(gè)人攜手合作，做出貢獻(xiàn)的概率為

可見(jiàn)，只要合作的人數(shù)足夠多，即n→∞時(shí)，肯定對(duì)社會(huì)做出貢獻(xiàn)，并且這種可能性隨著合作人數(shù)的增加越來(lái)越大。因此在疫情面前，我們應(yīng)該響應(yīng)國(guó)家號(hào)召，攜手合作，防控疫情。用案例滲透“勿以善小而不為”“滴水石穿”等諺語(yǔ)道理，育德于教。聯(lián)系實(shí)際， 在過(guò)去的一年時(shí)間，全國(guó)人民集體佩戴口罩，配合體溫檢測(cè)，核酸檢測(cè)等，同學(xué)們感受到中國(guó)人民的團(tuán)結(jié)合作精神，對(duì)中國(guó)特色社會(huì)主義道路更加自信，更深刻地認(rèn)識(shí)到中國(guó)特色社會(huì)主義制度的巨大優(yōu)勢(shì)，并且體會(huì)到制度優(yōu)勢(shì)帶給我們的幸福感和優(yōu)越感，為自己能夠生長(zhǎng)在中國(guó)感到驕傲和自豪。

1.3 護(hù)士配備問(wèn)題[4]（泊松分布的應(yīng)用）

案例4為保證病人在輸液過(guò)程中不出意外，某方艙醫(yī)院要配備流動(dòng)護(hù)士，及時(shí)處理突發(fā)情況。假設(shè)每位病人在輸液過(guò)程中發(fā)生意外是相互獨(dú)立的，每位病人發(fā)生意外的概率是1%，對(duì)有500名輸液病人的方艙醫(yī)院如何配備護(hù)士最合理？醫(yī)院要求病人發(fā)生意外不能及時(shí)處理的概率應(yīng)小于2%?，F(xiàn)有三種方案：

方案一：每1名護(hù)士負(fù)責(zé)20名病人；

方案二：每5名護(hù)士負(fù)責(zé)200名病人；

方案三：由10名護(hù)士負(fù)責(zé)全部500名病人。

問(wèn)：哪種方案最科學(xué)合理？

分析很容易看出，方案三比方案一和方案二減少了護(hù)士數(shù)量，疫情期間，在醫(yī)護(hù)人員缺乏的情況下，方案三肯定是我們的首選。但方案三能否符合醫(yī)院的要求，即病人發(fā)生意外不能及時(shí)處理的概率小于2%？而安全管理中的事故次數(shù)、意外次數(shù)等服從泊松分布，因此本題轉(zhuǎn)化為用泊松分布求病人發(fā)生意外不能及時(shí)處理的概率問(wèn)題。

解設(shè)X1，X2，X3分別表示三種方案發(fā)生意外的人數(shù)，由題意，每位病人發(fā)生意外的概率p=0.01，將病人發(fā)生意外看成稀有事件，利用泊松分布建立三種方案病人發(fā)生意外的概率分布模型。

對(duì)于方案一，此時(shí)λ1=0.2，X1～P(0.2)則在1名護(hù)士負(fù)責(zé)20名病人情況下，同時(shí)有2名及以上病人發(fā)生意外時(shí)將不能對(duì)每一位病人及時(shí)處理，這時(shí)所求概率為

對(duì)于方案二，此時(shí)λ2=2，X2～P(2)，則病人發(fā)生意外不能及時(shí)處理的概率為

方案三中，λ3=5，X3～P(5)，則不能能及時(shí)處理的概率為

由以上計(jì)算結(jié)果可知三種方案均滿(mǎn)足要求。雖然方案三任務(wù)重了（平均一名護(hù)士負(fù)責(zé)50位病人），但其工作效率不僅沒(méi)有降低，反而提高了，而且病人發(fā)生意外不能得到及時(shí)處理的可能性也最小，因此是我們最好的選擇。另外，泊松分布在實(shí)際應(yīng)用中非常廣泛，此時(shí)可以引導(dǎo)同學(xué)借助互聯(lián)網(wǎng)，搜索本專(zhuān)業(yè)泊松分布的應(yīng)用案例，或一些經(jīng)典案例，在線(xiàn)上共享，教師和同學(xué)們?cè)诰€(xiàn)上共同討論、交流。

1.4 減少驗(yàn)血工作量問(wèn)題[5]（數(shù)學(xué)期望的應(yīng)用）

2020年5月，武漢推進(jìn)1 000萬(wàn)人全民核酸檢測(cè)，這是當(dāng)時(shí)全球前所未見(jiàn)的大型公共措施。數(shù)萬(wàn)醫(yī)護(hù)人員和志愿者付出了巨大的辛勞，以“合并樣本”的模式10天完成檢測(cè)。那么為什么要5到10人樣本打包進(jìn)行檢測(cè)？這就涉及減少驗(yàn)血工作量的經(jīng)典問(wèn)題。

案例5現(xiàn)在要對(duì)某種疾病進(jìn)行普查，為此要抽驗(yàn)N個(gè)人的血，可用兩種方法進(jìn)行。（1）將每個(gè)人的血液分別去驗(yàn)，這時(shí)需要檢驗(yàn)N次；（2）按k個(gè)人一組進(jìn)行分組，把從k個(gè)人抽出的血液混合在一起進(jìn)行一次檢驗(yàn)，如果檢驗(yàn)結(jié)果為陰性，則說(shuō)明這k個(gè)人的血液均為陰性，這樣，這k個(gè)人總共檢驗(yàn)了一次；如果檢驗(yàn)結(jié)果為陽(yáng)性，則再對(duì)這k個(gè)人的血液分別進(jìn)行檢驗(yàn)，這時(shí)這k個(gè)人總共進(jìn)行了1 +k次檢驗(yàn)。 假設(shè)每個(gè)人檢驗(yàn)呈陽(yáng)性的概率為p，且這些人的試驗(yàn)反應(yīng)是相互獨(dú)立的。 那么第二種方法能否減少驗(yàn)血次數(shù)？若能減少，應(yīng)如何選取分組人數(shù)k為最優(yōu)？

解只需考慮第二種方法。設(shè)X為每個(gè)人所需檢驗(yàn)次數(shù)，則X的分布律為

X 1 k 1+ 1 k(1-p)k (1-p)k P

每個(gè)人平均需要檢驗(yàn)的次數(shù)

例如，當(dāng)p=0.1，k=2，此時(shí)。即若檢驗(yàn)人數(shù)N=10000，則可減少3100次，即減少31%的工作量。

那么在實(shí)際問(wèn)題中，最優(yōu)分組人數(shù)k具體應(yīng)如何選取？設(shè)在高風(fēng)險(xiǎn)地區(qū)，佩戴口罩時(shí)被感染新冠的概率為p=3.1%，不戴口罩時(shí)被感染的概率為p=17.4%[6]。 我們采用這兩個(gè)概率，另取3個(gè)患此疾病的概率p=0.01，p=0.005，p=0.001。假設(shè)需要檢查的人數(shù)為10 000個(gè)，考慮k的范圍：k=2, 3, …50，對(duì)比5個(gè)概率值下減少的工作量。 繪制圖形如圖2：

圖2 分組人數(shù)與減少的驗(yàn)血工作量關(guān)系

由圖可見(jiàn)，對(duì)應(yīng)不同城市的患病概率p，分組人數(shù)k取5到10人一組，其減少的工作量基本達(dá)到峰值。特別是針對(duì)突發(fā)傳染病，在疾病發(fā)生概率未知或數(shù)據(jù)不夠全面的情況下，采取5到10人一組進(jìn)行檢測(cè)是比較合理的。因此在2020年初，武漢合理地采用5人一組“合并檢驗(yàn)”模式，10天內(nèi)完成全民大檢測(cè)。 而在2020年下半年，我們學(xué)校組織全校教職工到醫(yī)院核酸檢測(cè)，采用的就是“10人一組”的檢測(cè)方式，究其原因就是我們學(xué)校所處是疫情低風(fēng)險(xiǎn)地區(qū)。

此時(shí)也可引導(dǎo)同學(xué)在線(xiàn)上討論，方法二是否一定比方法一減少工作量？比如，取患此疾病的概率p=0.3，那么情況又是如何？同時(shí)，將數(shù)學(xué)軟件的畫(huà)圖程序命令分享給同學(xué)，加強(qiáng)同學(xué)的自主思考、解決問(wèn)題能力，培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)，自己檢驗(yàn)學(xué)習(xí)成效。

2 結(jié)論

在互聯(lián)網(wǎng)背景下，結(jié)合同學(xué)們關(guān)心的社會(huì)熱點(diǎn)，借助案例，既進(jìn)行了德育，引導(dǎo)大家科學(xué)看待實(shí)際問(wèn)題，增強(qiáng)民族自信，培養(yǎng)愛(ài)國(guó)主義情懷，也讓同學(xué)們體會(huì)到概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)知識(shí)的廣泛應(yīng)用，提高了同學(xué)們學(xué)習(xí)的積極性；創(chuàng)新教學(xué)方法，采用線(xiàn)上和線(xiàn)下混合形式，取長(zhǎng)補(bǔ)短，易于操作，學(xué)生也更能消化專(zhuān)業(yè)知識(shí)。總之，概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的課程思政還處于探索與嘗試階段，教師應(yīng)該對(duì)實(shí)踐教學(xué)進(jìn)行不斷反思，改進(jìn)，才能做到“教書(shū)”和“育人”的有效統(tǒng)一。