張 程，李小波，張 浩，張冬冬，吳竑霖，汪 翔

（上海工程技術(shù)大學(xué) 城市軌道交通學(xué)院，上海 201620）

0 引 言

地鐵車輛是城市軌道交通系統(tǒng)的重要載體，其運(yùn)行的平穩(wěn)性和可靠性關(guān)系到整個(gè)地鐵交通系統(tǒng)的正常運(yùn)轉(zhuǎn)和乘客的人身、財(cái)產(chǎn)安全。而牽引系統(tǒng)是地鐵列車的核心組成部分，是全車運(yùn)行的動(dòng)力源泉。因此，圍繞列車牽引系統(tǒng)展開故障診斷和預(yù)測(cè)的研究對(duì)于提高列車的運(yùn)行可靠性有著極其重要的意義。

目前應(yīng)用廣泛的故障預(yù)測(cè)方法主要包括：時(shí)間序列法、回歸分析法、指數(shù)平滑法、結(jié)構(gòu)分析法、灰色理論法、BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法等。牛坤等人針對(duì)鐵路客流量時(shí)序特征明顯的特點(diǎn)，采用基于平穩(wěn)時(shí)間序列的鐵路客流量預(yù)測(cè)模型對(duì)短時(shí)旅客客流量進(jìn)行預(yù)測(cè)，對(duì)改善鐵路運(yùn)營(yíng)壓力具有一定意義。鄧力等人在回歸預(yù)測(cè)模型的基礎(chǔ)上，提出一種網(wǎng)絡(luò)組件故障的多元線性回歸預(yù)測(cè)模型，并利用回歸方程和系數(shù)的顯著性得到新的預(yù)測(cè)方程，預(yù)測(cè)精度明顯提高。楊博帆等人提出了一種能夠根據(jù)歷史數(shù)據(jù)計(jì)算出預(yù)測(cè)誤差，并動(dòng)態(tài)調(diào)整平滑系數(shù)及融合權(quán)值的在線預(yù)測(cè)算法，實(shí)現(xiàn)了對(duì)測(cè)量參數(shù)的準(zhǔn)確預(yù)測(cè)。黃魁等人利用Levenberg-Marquardt算法改進(jìn)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，并與灰色模型相融合構(gòu)建灰色神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)故障預(yù)測(cè)組合模型，有效解決了故障樣本數(shù)據(jù)少、預(yù)測(cè)精度低等問題?？偨Y(jié)上述預(yù)測(cè)方法，可以將其分為2類。一類是根據(jù)采集到的各種特征量來(lái)評(píng)估設(shè)備或系統(tǒng)的運(yùn)行狀態(tài)；另一類是根據(jù)歷史故障數(shù)據(jù)來(lái)預(yù)測(cè)設(shè)備或系統(tǒng)未來(lái)的故障發(fā)展趨勢(shì)。但是，現(xiàn)有預(yù)測(cè)技術(shù)還存在諸多局限性。例如：時(shí)間序列法、回歸分析法和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法需要利用大量的歷史數(shù)據(jù)，存在“周期長(zhǎng)、區(qū)域大、信度低”的缺點(diǎn)，并且沒有考慮數(shù)據(jù)波動(dòng)性較大的情況?；疑A(yù)測(cè)方法雖然不依賴大量的歷史數(shù)據(jù)，但在進(jìn)行長(zhǎng)期預(yù)測(cè)時(shí)精度會(huì)有所下降。與此同時(shí)，隨著科技的不斷發(fā)展和進(jìn)步，各類設(shè)備和系統(tǒng)的性能日益提高，其復(fù)雜程度也急劇增加，導(dǎo)致故障預(yù)測(cè)的難度較大。因此，如何構(gòu)建理想的預(yù)測(cè)模型、提高預(yù)測(cè)精度成為近些年來(lái)關(guān)注的熱點(diǎn)問題。

針對(duì)以上問題，結(jié)合地鐵牽引系統(tǒng)復(fù)雜程度高、數(shù)據(jù)樣本少、隨機(jī)因素多等特點(diǎn)，本文提出一種無(wú)偏灰色與馬爾可夫模型相結(jié)合的預(yù)測(cè)模型。一方面，該模型既利用了灰色預(yù)測(cè)模型所需數(shù)據(jù)少、短期預(yù)測(cè)精度高的優(yōu)點(diǎn)，對(duì)歷史故障數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合并得出預(yù)測(cè)值；另一方面，考慮到系統(tǒng)故障次數(shù)具有隨機(jī)波動(dòng)性，通過(guò)馬爾可夫模型尋找系統(tǒng)未來(lái)的故障狀態(tài)變化規(guī)律，從而實(shí)現(xiàn)灰色理論與馬爾可夫模型的優(yōu)勢(shì)互補(bǔ)。

1 無(wú)偏灰色預(yù)測(cè)模型

1.1 灰色理論

由于復(fù)雜裝備或系統(tǒng)自身具有的復(fù)雜性和不確定性，常常導(dǎo)致監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)不完善、數(shù)據(jù)樣本少等情況，使得故障預(yù)測(cè)難度增大。針對(duì)這種“部分信息已知，部分信息未知”的灰色系統(tǒng)，一般使用灰色理論方法對(duì)其進(jìn)行故障預(yù)測(cè)。

灰色理論的預(yù)測(cè)對(duì)象是系統(tǒng)行為特征值，也就是對(duì)在一定范圍內(nèi)變化的、與時(shí)間序列有關(guān)的灰過(guò)程進(jìn)行預(yù)測(cè)。雖然系統(tǒng)數(shù)據(jù)看起來(lái)雜亂無(wú)章，但這些數(shù)據(jù)之間可能蘊(yùn)含著潛在的規(guī)律?；疑碚摼褪窃谠紨?shù)據(jù)的基礎(chǔ)上，通過(guò)生成灰色序列來(lái)尋求其變化規(guī)律。在此過(guò)程中，灰色序列的隨機(jī)性被弱化，規(guī)律性逐漸顯現(xiàn)。

整理分析地鐵牽引系統(tǒng)故障數(shù)據(jù)資料發(fā)現(xiàn)，大部分?jǐn)?shù)據(jù)包含的信息量較少，且規(guī)律性不明顯，符合貧信息系統(tǒng)的特點(diǎn)，故選用灰色理論預(yù)測(cè)模型具有一定的適用性。但是，傳統(tǒng)的灰色（1，1）預(yù)測(cè)模型適用于數(shù)據(jù)呈指數(shù)變化趨勢(shì)的預(yù)測(cè)。因此，選用經(jīng)過(guò)灰參數(shù)優(yōu)化的無(wú)偏灰色預(yù)測(cè)模型，較好地解決了傳統(tǒng)模型在數(shù)據(jù)增長(zhǎng)率過(guò)高時(shí)失效的問題，提高了模型的預(yù)測(cè)精度。

1.2 無(wú)偏灰色模型建立步驟

（1）設(shè)原始數(shù)據(jù)序列為：

（2）累加生成新的數(shù)據(jù)序列：

（3）構(gòu)造累加矩陣和常數(shù)向量，生成的緊鄰均值序列。由此推得的數(shù)學(xué)公式為：

緊鄰生成序列為：

則存在累加矩陣和常數(shù)向量為：

（5）在計(jì)算出、的基礎(chǔ)上，再計(jì)算無(wú)偏灰色模型的參數(shù)、，其值分別為：

由此建立無(wú)偏灰色（1，1）模型：

（6）模型精度檢驗(yàn)。由模型預(yù)測(cè)函數(shù)計(jì)算出原始數(shù)據(jù)序列的擬合值之后，需要檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷念A(yù)測(cè)精度，以便判斷模型是否合理。本文采用平均相對(duì)誤差、關(guān)聯(lián)度和均方差比值這三項(xiàng)指標(biāo)來(lái)對(duì)模型進(jìn)行精度檢驗(yàn)。 常用的模型精度等級(jí)檢驗(yàn)參照表見表1。

表1 模型精度等級(jí)檢驗(yàn)參照表Tab.1 Accuracy grade inspection reference table for the model

2 無(wú)偏灰色-馬爾可夫預(yù)測(cè)模型的建立

2.1 馬爾可夫理論

馬爾可夫理論的核心思想是：在隨機(jī)過(guò)程中，系統(tǒng)在將來(lái)時(shí)刻的發(fā)展?fàn)顟B(tài)，僅與當(dāng)前時(shí)刻所處的狀態(tài)有關(guān)，而與之前狀態(tài)無(wú)關(guān)，這個(gè)特性被稱為“無(wú)后效性”或“馬爾可夫性”，這個(gè)隨機(jī)過(guò)程即為“馬爾可夫過(guò)程”。

馬爾可夫模型的預(yù)測(cè)對(duì)象是系統(tǒng)將來(lái)所處的狀態(tài)，該理論以系統(tǒng)當(dāng)前狀態(tài)和變化趨勢(shì)為基礎(chǔ)，通過(guò)構(gòu)建狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣來(lái)尋找各狀態(tài)之間的轉(zhuǎn)移規(guī)律，最終計(jì)算出下一時(shí)刻系統(tǒng)向各狀態(tài)的轉(zhuǎn)移概率，故選用馬爾可夫模型可以較好地應(yīng)對(duì)數(shù)據(jù)隨機(jī)波動(dòng)性較大的情況，從而彌補(bǔ)了無(wú)偏灰色預(yù)測(cè)方法的不足。

2.2 無(wú)偏灰色-馬爾可夫預(yù)測(cè)模型建立步驟

（1）劃分狀態(tài)。將無(wú)偏灰色模型的預(yù)測(cè)值與實(shí)際值相比較得出誤差值，根據(jù)實(shí)際情況將其分為個(gè)狀態(tài)，則任一狀態(tài)區(qū)間可記為S＝［L，U］，，1，2，…，，其中L，U分別為該狀態(tài)區(qū)間的上、下邊界。

（3）預(yù)測(cè)系統(tǒng)狀態(tài)。在確定馬爾可夫鏈一步狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣之后，按照最大概率準(zhǔn)則對(duì)矩陣的行向量進(jìn)行分析，即當(dāng)max｛P，P，…，P｝＝P時(shí)，可以認(rèn)為系統(tǒng)的狀態(tài)下一步將轉(zhuǎn)移到S，從而完成對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)的預(yù)測(cè)。

（4）計(jì)算預(yù)測(cè)值并進(jìn)行修正。根據(jù)無(wú)偏灰色模型計(jì)算得出預(yù)測(cè)值，并結(jié)合步驟（3）中預(yù)測(cè)的系統(tǒng)狀態(tài)對(duì)灰色預(yù)測(cè)值進(jìn)行修正，最終得到無(wú)偏灰色-馬爾科夫鏈預(yù)測(cè)模型的預(yù)測(cè)值。

3 牽引系統(tǒng)故障預(yù)測(cè)實(shí)例

3.1 無(wú)偏灰色模型預(yù)測(cè)

某地鐵*號(hào)線*車型2014～2020年?duì)恳到y(tǒng)受電弓模塊的故障次數(shù)原始數(shù)據(jù)見表2。

表2 2014～2020年地鐵牽引系統(tǒng)受電弓模塊故障次數(shù)統(tǒng)計(jì)表Tab.2 The number of failures of the pantograph module of the subway traction system from 2014 to 2020

根據(jù)故障原始數(shù)據(jù)建立牽引系統(tǒng)受電弓模塊無(wú)偏灰色預(yù)測(cè)模型，并進(jìn)行精度檢驗(yàn)和對(duì)2020年的故障次數(shù)進(jìn)行預(yù)測(cè)。模型建立過(guò)程如下：

（1）構(gòu)造牽引系統(tǒng)受電弓模塊故障次數(shù)時(shí)間序列集：

（2）求級(jí)比（）和可容覆蓋區(qū)間：

由于級(jí)比（）沒有全部落在可容覆蓋區(qū)間內(nèi)，所以該時(shí)間序列集不滿足灰色預(yù)測(cè)模型的要求，因此需對(duì)其作平移變換處理，使其滿足以上要求。將原始數(shù)據(jù)序列（加上100，得到數(shù)據(jù)序列為：

經(jīng)過(guò)計(jì)算，該數(shù)據(jù)序列所有的級(jí)比（）均落在可容覆蓋區(qū)間內(nèi)，滿足灰色預(yù)測(cè)模型的要求，故可以用來(lái)建模。

（3）計(jì)算累加矩陣和常數(shù)向量為：

（4）利用Matlab軟件計(jì)算相關(guān)參數(shù)，可得無(wú)偏灰色預(yù)測(cè)函數(shù)為：

則數(shù)據(jù)序列的擬合值為：

（5）將其還原便可得到原始數(shù)據(jù)的擬合值：

（6）擬合結(jié)果及誤差分析。模型擬合結(jié)果及誤差分析見表3。

表3 無(wú)偏灰色模型擬合結(jié)果統(tǒng)計(jì)表Tab.3 Statistical table of unbiased grey model fitting results

（7）預(yù)測(cè)2020年故障次數(shù)。利用無(wú)偏灰色模型對(duì)2020年受電弓模塊故障次數(shù)進(jìn)行預(yù)測(cè)，最終預(yù)測(cè)結(jié)果為73.93，與實(shí)際故障次數(shù)79相比，相對(duì)誤差為0.06，可以看出，無(wú)偏灰色預(yù)測(cè)模型的準(zhǔn)確性較高。

3.2 無(wú)偏灰色-馬爾可夫模型預(yù)測(cè)

以無(wú)偏灰色模型預(yù)測(cè)值為基礎(chǔ)建立無(wú)偏灰色-馬爾可夫模型，并進(jìn)行誤差分析和預(yù)測(cè)2020年故障次數(shù)，過(guò)程如下：

（1）比較2014～2019年?duì)恳到y(tǒng)受電弓模塊的故障次數(shù)無(wú)偏灰色擬合值與實(shí)際值，計(jì)算并分析相對(duì)誤差，將相對(duì)誤差分為4個(gè)區(qū)間，對(duì)應(yīng)4種狀態(tài)：狀態(tài)1，［010，001）；狀態(tài)2，［001，015）；狀態(tài)3，［015，030）；狀態(tài)4，［030，048］。計(jì)算各狀態(tài)的中間值為：0045，008，0225，039。

（2）根據(jù)表中已經(jīng)列出的相對(duì)誤差，可以得出相應(yīng)的狀態(tài)。接著利用修正函數(shù)，可得馬爾可夫鏈修正后的預(yù)測(cè)值。修正函數(shù)計(jì)算公式如下：

則馬爾可夫模型預(yù)測(cè)值序列為：

（3）誤差分析。無(wú)偏灰色-馬爾可夫模型的擬合結(jié)果與誤差見表4。

表4 無(wú)偏灰色-馬爾可夫模型擬合結(jié)果統(tǒng)計(jì)表Tab.4 Statistical table of unbiased grey-Markov model fitting results

已知2020年受電弓模塊無(wú)偏灰色故障預(yù)測(cè)次數(shù)為73.93，則利用修正函數(shù)可以計(jì)算出無(wú)偏灰色-馬爾可夫模型的預(yù)測(cè)值為：

而2020年受電弓模塊實(shí)際故障次數(shù)為79，相對(duì)誤差為-0.02，預(yù)測(cè)結(jié)果的準(zhǔn)確性較之前有了明顯提升。

（6）模型精度檢驗(yàn)。對(duì)2種模型的預(yù)測(cè)效果進(jìn)行比較，見圖1和表5。

表5 故障預(yù)測(cè)模型精度等級(jí)檢驗(yàn)表Tab.5 Accuracy grade inspection table of failures prediction model

圖1 2種模型的擬合結(jié)果、預(yù)測(cè)結(jié)果與實(shí)際故障次數(shù)的比較Fig.1 Comparison of fitting results，predicted results and actual failure times of the two models

根據(jù)圖1可以看出，2種預(yù)測(cè)模型的擬合結(jié)果、預(yù)測(cè)結(jié)果與實(shí)際值的變化趨勢(shì)較為符合，但無(wú)偏灰色-馬爾可夫預(yù)測(cè)模型無(wú)論是擬合結(jié)果、還是預(yù)測(cè)結(jié)果都與實(shí)際值更加貼合，準(zhǔn)確性更高。根據(jù)表5可以看出，無(wú)偏灰色模型的2項(xiàng)指標(biāo)、分別達(dá)到了一級(jí)和二級(jí)標(biāo)準(zhǔn)，有一項(xiàng)指標(biāo)達(dá)到了三級(jí)標(biāo)準(zhǔn)，因此可以認(rèn)為無(wú)偏灰色模型的預(yù)測(cè)精度等級(jí)達(dá)到了一般及以上，而本文提出的無(wú)偏灰色-馬爾可夫模型的三項(xiàng)指標(biāo)都達(dá)到了一級(jí)標(biāo)準(zhǔn)。由此可見，相比于無(wú)偏灰色模型，無(wú)偏灰色-馬爾可夫模型具有較高的預(yù)測(cè)精度，且精度等級(jí)為一級(jí)（精確）。

4 結(jié)束語(yǔ)

針對(duì)地鐵牽引系統(tǒng)故障預(yù)測(cè)問題，本文以受電弓模塊為例，在無(wú)偏灰色模型的基礎(chǔ)上，結(jié)合馬爾可夫模型來(lái)對(duì)其故障進(jìn)行預(yù)測(cè)。模型精度檢驗(yàn)結(jié)果表明：與單獨(dú)采用無(wú)偏灰色預(yù)測(cè)模型相比，無(wú)偏灰色-馬爾可夫模型的預(yù)測(cè)結(jié)果誤差更小、預(yù)測(cè)精度也更高，可為地鐵列車牽引系統(tǒng)的可靠性評(píng)估及狀態(tài)檢修提供依據(jù)，對(duì)于牽引系統(tǒng)主動(dòng)維護(hù)策略的制定具有重要的應(yīng)用價(jià)值。不足之處在于，在構(gòu)建該預(yù)測(cè)模型的過(guò)程中，系統(tǒng)狀態(tài)劃分環(huán)節(jié)易受到主觀人為因素的影響。因此，如何排除干擾因素，更加科學(xué)地處理原始數(shù)據(jù)和劃分系統(tǒng)狀態(tài)是下一步研究的重點(diǎn)。